河南省新乡市红旗区第一中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省新乡市红旗区第一中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1B．2C．3D．4
3．若点、、在反比例函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，，分别切于点，，切于点，分别交，于点，，若，则的周长是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，是的弦，是的直径，已知，，连接，若D是的中点，则的长（ ）
A．B．C．D．
8．若圆锥的底面圆半径是，圆锥的侧面展开图是一个半径为扇形，则此扇形的圆心角为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
9．中，，若是弧上一点，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．的面积B．的面积
C．的面积D．的面积
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是 ．
12．一空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ．
13．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的长为 ．
14．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在中，，点D为边上一动点，将沿过点D的直线折叠，使点C的对应点落在射线上，连接，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为 ．

三、解答题
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，且，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：∽；
(2)若正方形的边长为，求的长．
18．九年级一班数学兴趣小组对本班同学对《研学》项目的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

(1)九年级一班共有学生______名；
(2)九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？
(3)该校德育处决定从九年级一班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若调查的A类的4人中，刚好有2名男生和2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的2人恰好为一名男生和一名女生的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交丁点，已知点的坐标为．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标；
(3)直接写出不等式的解集．
20．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）

21．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
(1)___________， ___________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
22．如图，点C在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
23．【问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：①，时不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是分式方程；
④为任意实数）是一元二次方程；
⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．C
【分析】把点的坐标代入函数解析式，分别求出函数值，即可比较大小．
【详解】解：根据题意，，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用把点的坐标代入函数解析式求函数值比较简单．
4．C
【分析】设该种商品平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，由此即可列出方程．
【详解】解：设该种商品平均每次降价的百分率为，
第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，
经两次降价，现售价每件32.4元
可列方程为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
5．C
【分析】列举出所有情况，找出和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，有10组：1＋2，1＋3，1＋4，1＋5，2＋3，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋5，
和为偶数的有4组：1＋3， 1＋5， 2＋4， 3＋5，
∴和为偶数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查列举法求概率，采用列举法求概率解题的关键是找出所有存在的情况，涉及到概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．D
【分析】根据切线长定理可得，的周长可转化为进行求解．
【详解】直线分别与⊙O相切于点，
，
的周长（cm）．
故选：D．
【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查圆周角定理，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线定理，证明为的中位线是解题的关键，属于中考常考题型．
由直径所对的圆周角是直角得，根据含角的直角三角形的性质得，证明是的中位线，由三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
是的中点，
是的中位线，
故选：B．
8．C
【分析】根据圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：设这个圆心角度数为n°，
由题意得：，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求扇形圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．首先根据题画出图形，然后在优弧上取点D，连接，根据圆周角的性质，即可求得的度数，又由圆内接四边形的性质，即可求得的度数．
【详解】解：如图：在优弧上取点D，连接，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：D．
10．D
【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，，
∴，，，．
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换．
11．或
【分析】本题考查了位似变换，直接利用与位似比为，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案．
【详解】解：∵与位似比为，且点的坐标为，
∴它的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题主要考查三视图的知识和圆柱表面面积、圆锥侧面面积的计算，由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形和长方形的组合体，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥和圆柱的组合体，结合图形可得出母线及底面半径，圆柱的高，继而可求出这个几何体的表面积．
【详解】解：依题意知这个几何体是圆锥和圆柱的组合体，
圆锥的底面半径，母线长为3，
圆柱的底面半径，高为2，
则这个几何体的表面积是．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：

为直径，且，，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，由旋转角，可知；连接，构造全等三角形，用，计算面积即可．
【详解】解：如图，连接，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴，
，
∴．
故答案为：．
15． 或
【分析】由翻折得，，分三种情况：①当点在边上，且（即）时；②当点在的延长线上，且（即）时；③当点在的延长线上，且（即）时，分别根据勾股定理求出的长，再求出的长即可
【详解】解：由翻折得，，分三种情况：
①当点在边上，且（即）时，
，
由勾股定理得，，
即，
，
，
；
②当点在的延长线上，且（即）时，同理得，
，
；
③当点在的延长线上，且（即）时，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，
，
，此时点不在边上，不符合题意，舍去，
综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．
16．（1）（2）；3
【分析】本题主要考查分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂以及特殊角三角形函数值：
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：
；
（2）
；
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
17．(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
18．(1)40
(2)180人
(3)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．
（1）由A类的人数除以所占的百分比得出九年级一班的人数，即可解决问题；
（2）由九年级共有学生人数乘以D类人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）九年级一班共有学生：（名），
故答案为：40；
（2）抽样中：B类学生人数为：（人）
D类学生人数为（人），
所以，（人）
答：估计九年级学生选择D类的大约有180人；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有8种，
∴抽到的一男一女的概率为．
19．(1)
(2)点的坐标为或
(3)或
【分析】（1）先求出点坐标，再用带入解析法求出反比例函数的解析式；
（2）根据题中两个三角形的面积关系，可得出点的纵坐标的绝对值，据此可解决问题；
（3）利用数形结合的思想即可解决问题．
【详解】（1）解：点的坐标在直线上，
，
，
将点代入反比例函数解析式得：，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）将反比例函数和一次函数解析式联立方程组得：
，解得：或，
，
，
，
，
点的纵坐标为或，
将代入，得：，
将代入，得：，
点的坐标为或；
（3）由图像可知：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像下方，即，
即不等式的解集为或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，待定系数法求函数解析式，根据交点坐标以及函数图像求不等式解集是解答本题的关键．
20．该风力发电机塔杆的高度为32米
【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可．
【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E，
根据题意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
设米，则米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：该风力发电机塔杆的高度为32米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
21．(1)，
(2)时，，当时，
(3)7天
【分析】（1）利用待定系数法求待定系数；
（2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式，
（3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解.
【详解】（1）解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，
∴，解得，
故答案为：，；
（2）解：由题意当时，，
当时，，
（3）解：由题意当时，，
∵，
∴当时，最大为，
当时，，
由时，解得，
又∵x为整数，且，
∴当时，随的增大而增大，
∴第至天，销售额超过1000元，共7天．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的性质的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
（1）连接．如图，先根据垂径定理，利用 得到，再证明，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到．再证明为等边三角形，则，接着根据平行线的性质得到．
【详解】（1）证明：连接．如图，
平分，
，
，
，
∵，
．
为的半径；
是的切线；
（2）解：是直径，
．
∵，
，，
，
为等边三角形，
，，
∵，
，
．
23．（1） （2） （3）
【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到；
（2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论；
（3）过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，，三点同一直线时，，取得最小值，求即可．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：；
（2）判断：，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，
作点关于直线的对称点，则，
当点，，三点同一直线时，的值最小，即为，
由（2）得，
，
，
的最小值为的最小值，即，
，，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．