2023-2024学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列为一元二次方程的是( )
A. x+1x=1B. x2+2x+1C. x(x+1)=4D. x2+y+6=0
2.剪纸是我国的传统艺术，下列剪纸图案中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 经过红绿灯路口，遇到黄灯
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
D. 从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球
4.抛物线y=(x−2)2+5的顶点坐标是( )
A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)
5.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为( )
A. 20个B. 22个C. 24个D. 26个
6.已知A(−1,a)，B(1,b)，C(2,c)都在反比例函数y=6x的图象上，则a、b、c的关系是( )
A. a7.已知二次函数y=x2−5x−4，当y>2时，则x的取值范围为( )
A. −16D. x<−6或x>1
8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F.若∠BCD=α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示)( )
A. 80°+32αB. 170°+32αC. 180°−32αD. 32α
9.今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深CD=2，锯道AB=12，则这根圆柱形木材的半径是( )
A. 20
B. 12
C. 10
D. 8
10.已知点P(xn,yn)在二次函数y=x2−2x+1的图象上，其中x1=1，x2=2，…，xn=n，令A1=x1+y2，A2=x2+y3，…An=xn+yn+1，Bn为An的个位数字(n为正整数)，下列说法：①A6=30；②An−24n的最小值为−132，此时n=11；③B1+B2+⋯+B2023的个位数字为8.其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.若点(1,2)与点(a,b)关于原点对称，则a= ______．
12.已知m是方程x2+3x−2=0的一个实数根，则2m2+6m+2020的值为______．
13.在一个不透明的口袋中，装有3个红球6个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为______．
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为8，则k= ______．
15.如图，正五边形ABCDE的边长为1，以点A为圆心，以AB为半作弧BE，则阴影部分的面积为______.(结果保留π)
16.已知点A(a,m)、B(b,m)、P(a+b,n)为抛物线y=x2+2x+3上的点，则n= ______．
17.若关于x的一元二次方程(a+2)x2+4x+1=0有实数解，且关于y的分式方程ay−13−y+4=1y−3有正整数解，则符合条件的所有整数a的和是______．
18.如果一个三位自然数m=abc−的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+c=b，那么称这个三位数为“中庸数”.将“中庸数,m=abc−的百位、个位数字交换位置，得到另一个“中庸数”m′=cba−，记F(m)=m−m′99，T(m)=m+m′121.例如：m=792，m′=297．F(m)=792−29799=5，T(m)=792+297121=9.计算F(583)= ______；若“中南数”m满足2F(m)=s2，2T(m)=t2，其中s，t为自然数1，2，3，……，则该“中庸数”m是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解一元二次方程：
(1)x2+2x−6=0；
(2)2x2−4x−1=0．
20.(本小题10分)
如图，已知AB，C是弦AB上一点．
(1)用直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段AC的垂直平分线PD，分别交AB于点D，交AB于点P，连接PA，PC；
②以点P为圆心，PA长为半径作弧，交AB于点Q(Q,A两点不重合)，连接PQ，PB，BQ．
(2)求证：BC=BQ．
证明：∵PD是AC的垂直平分线，
∴① ______．
∴∠PAC=∠PCA．
∵PA=PQ，
∴PA=PQ．
∴∠PBC=∠PBQ.(其依据是② ______)
∵四边形APQB是圆的内接四边形，
∴∠PAC+∠PQB=180°.(其依据是③ ______)
∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PQB=④ ______．
∵PB=PB，
∴△BPC≌△BPQ．
∴BC=BQ．
21.(本小题10分)
为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A.跳绳；B.篮球；C.排球；D.足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加.全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x(个/分钟)绘制成频数分布直方图．

(1)若抽取的同学的测试成绩落在160≤x<165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
(2)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
22.(本小题10分)
小明和小华利用周末一起去放风筝.如图，小明位于地面的A处，小华位于小明的正西方向，与小明相距8米的B处.小明的风筝位于小明的北偏东15°方向，与小明A相距6 2米的D处；小华的风筝位于小华的北偏东30°方向，与小华B相距8米的C处．
求：(1)风筝C与小明A之间的距离AC的长；
(2)两个风筝之间的距离CD的长．
23.(本小题10分)
某商店于12月初购进了一批保暖衣.在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：如果每件保暖衣降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件保暖衣盈利是多少元？
(2)要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件保暖衣应降价多少元？
24.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作DQ⊥AP交AP于点Q.若AP=x(x>0)，DQ=y．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；
(3)当点P在BC边上运动时，若△ABP与△DPC的面积之比是32，求此时y的值．
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为平面内的一点．
(1)如图1，当点D在边BC上时，BD=2，且∠BAD=30°，求AD的长；
(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC=45°+∠ADC，求证：BD= 2AD；
(3)如图3，AB=6，当D、E分别为AB、AC的中点时，把△DAE绕点A顺时针旋转，设旋转角为α(0<α<180°)，直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出旋转中△PAB面积的最大值．
27.(本小题8分)
从1到100这100个数中最多选出多少个数，使得任意两个数的差既不是4也不是7？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、不是等式，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
根据一元二次方程的定义进行判断．
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形．故正确；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选A．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意．
故选：D．
根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．
4.【答案】B
【解析】解：∵y=(x−2)2+5，
∴顶点坐标为(2,5)，
故选B．
由抛物线的顶点式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k)．
5.【答案】B
【解析】解：由题知，
第1个图案中白色圆片的个数为：4=2×2；
第2个图案中白色圆片的个数为：6=2×3；
第3个图案中白色圆片的个数为：8=2×4；
…，
所以第n个图案中白色圆片的个数为：2(n+1)；
当n=10时，
2(n+1)=2×11=22(个)，
即第100个图案中白色圆片的个数为22个．
故选：B．
根据所给图形，依次求出白色圆片的个数，发现规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现白色圆片个数的变化规律是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=6x中，k=6>0，
∴此函数图象在一、三象限，
∵−1<0，
∴点A(−1,a)在第三象限，
∴a<0，
∵2>1>0，
∴B(1,b)，C(2,c)两点在第一象限，y随x的增大而减小，
∴b>c>0．
∴a故选：B．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：令y=2，则x2−5x−4=2，
解得x1=−1，x2=6，
令x2−5x−4=0，
解得：x1=5+ 412，x2=5− 412，
二次函数与x轴的交点坐标为(5+ 412,0)，(5− 412,0)，
∵抛物线开口向上，
∴当y>2时，自变量x的取值范围是x<−1或x>6．
故答案为：C．
令y=2求出二次函数图象与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质写出x轴上方部分的x的取值范围即可
本题考查了二次函数的性质，求解此类题目要熟练掌握二次函数的图象的开口方向，以及二次函数图象与x轴的交点坐标．
8.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，
∵∠BCD=α，
∴∠B=∠BDC=180°−α2=90°−12α，∠ACE=α，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠E=90°−∠B=12α.
∴∠EFC=180°−∠ECF−∠E=180°−32α.
故选：C．
由旋转的性质可以得到BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，然后利用∠BCD=α表示∠B、∠BDC、∠ACE，接着由三角形内角和即可求出∠EFC．
本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接OA、OD，如图：
由题意得：D为AB的中点，
则O、D、C三点共线，OD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=6，
设圆的半径为x，则OD=(x−2)．
在Rt△OAD中，由勾股定理得：62+(x−2)2=x2，
解得：x=10．
∴这根圆柱形木材的半径为10．
故选：C．
连接OA、OD，由垂径定理得AD=BD=12AB=6，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAD中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径．
本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题知，
将x=1，2，3，…，分别代入二次函数解析式得，
y=02，12，22，32，…，
所以A1=1+12,A2=2+22,A3=3+32,…，An=n+n2．
当n=6时，
A6=6+62=42．
故①错误．
An−24n=n+n2−24n=n2−23n，
因为n为正整数，
则当n=11或12时，
An−24n的最小值为：−132．
故②错误．
因为Bn为An的个位数字(n为正整数)，
所以B1的个位数字为1，
B2的个位数字为6，
B3的个位数字为2，
B4的个位数字为0，
B5的个位数字为0，
B6的个位数字为2，
B7的个位数字为6，
B8的个位数字为2，
B9的个位数字为0，
B10的个位数字为0，
B11的个位数字为2，
B12的个位数字为6，
…，
所以Bn的个位数字(从B2开始)按6，2，0，0，2循环出现，
又因为(2023−1)÷5=404余2，
所以1+404×(6+2+0+0+2)+6+2=4049，
即B1+B2+⋯+B2023的个位数字为9．
故③错误．
故选：A．
依次求出A1，A2，A3，…，B1，B2，B3，…，发现规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据题意表示出An和Bn(n为正整数)是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：∵点(1,2)与点(a,b)关于原点对称，
∴a=−1，
故答案为：−1．
根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标均互为相反数，即可得到a的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．
12.【答案】2024
【解析】解：∵m是方程x2+3x−2=0的一个实数根，
∴m2+3m−2=0，
∴m2+3m=2，
∴2m2+6m+2020=2(m2+3m)+2020=2×2+2020=2024．
故答案为：2024．
先根据一元二次方程解的定义得到m2+3m=2，则2m2+6m+2020可化为2(m2+3m)+2020，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】13
【解析】解：从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=33+6=39=13．
故答案为：13．
直接根据概率公式计算即可．
此题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数事件B可能出现的结果数是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：作AE⊥CD于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/x轴，
∴四边形ABOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ABOE=8，
∴|k|=8，
而k>0，
∴k=8．
故答案为：8．
作AE⊥CD于E，由四边形ABCD为平行四边形得AB/​/x轴，则可判断四边形ABOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ABOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ABOE=|k|，利用反比例函数图象得到．
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
15.【答案】3π10
【解析】解：∠BAE=(5−2)×180°5=108°，
∴阴影部分的面积为108 π×12360=3π10，
故答案为：3π10．
确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，难度不大．
16.【答案】3
【解析】解：∵抛物线解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2，
∴该抛物线的对称轴是直线x=−1，
又∵点A(a,m)和B(b,m)关于直线x=−1对称，
∴a+b2=−1，
∴a+b=−2，
把(−2,n)代入抛物线的解析式得，n=22+2×(−2)+3=3．
故答案为：3．
由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线x=−1，根据点A和B的坐标知，则点A和B关于直线x=−1对称．据此易求a+b的值，进而把P点的坐标代入解析式即可求得n的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．
17.【答案】−5
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+4x+1=0有实数解，
∴Δ=42−4(a+2)≥0，且a+2≠0，
解得a≤2且a≠−2，
方程ay−13−y+4=1y−3，解得y=124−a，
∴a=−8，−2，0，1，2，3．
∵有正整数解且y≠3，
∴a=−8，−2，1，2，3．
∵a≤2且a≠−2，
∴a=−8，1，2．
∴符合条件的a的值的和是−8+1+2=−5．
故答案为：−5．
由一元二次方程(a+2)x2+4x+1=0有实数解，确定a的取值，由分式方程ay−13−y+4=1y−3有正整数解，确定a的值即可求解．
本题考查根的判别式，分式方程的解等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】2 121或484或583
【解析】解：F(583)=583−38599=19899=2．
故答案为：2．
∵2F(m)=s2，2T(m)=t2．
∴2F(m)=100a+10b+c−(100c+10b+a)99×2=99a−99c99×2=2(a−c)．
2T(m)=2×100a+10(a+c)+c+100c+10(a+c)+a121=2×121a+121c121=2(a+c).均为完全平方数，
即2(a−c)，2(a+c)为完全平方数，可知完全平方数为偶数，可能为4，16，36，64，100等，
则(a−c)，(a+c)可能为0，2，8，18，50等，
∵0∴(a−c)，(a+c)只可能为0，2，8．
可得当a−c=0时，a+c=2或a+c=8．
当a−c=2时，a+c=8所以a=c=1或a=c=4或a=5，c=3．
可得m=121或484或583．
故答案为：121或484或583．
由题意将m值代入即可求解，因为2F(m)，2T(m)为完全平方数，即2(a−c)，2(a+c)为完全平方数，可知完全平方数为偶数，可能为4，16，36，64，100等，则(a−c)，(a+c)可能为0，2，8，18，50等，进而求解．
本题考查了整式的加减，代数式以及因式分解的内容，数的表示和化简是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2+2x−6=0，
移项，得x2+2x=6，
配方，得x2+2x+1=6+1，
(x+1)2=7，
开方，得x+1=± 7，
解得：x1=−1+ 7，x2=−1− 7；
(2)2x2−4x−1=0，
移项，得2x2−4x=1，
除以2，得x2−2x=12，
配方，得x2−2x+1=12+1，
(x−1)2=32，
开方，得x−1=± 32，
解得：x1=2+ 62，x2=2− 62．
【解析】(1)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
20.【答案】PA=PC 同弧或等弧所对的圆周角相等 圆内接四边形的对角互补 ∠PCB
【解析】解：(1)如图所示：
(2)证明：∵PD是AC的垂直平分线，
∴PA=PC．
∴∠PAC=∠PCA．
∵PA=PQ，
∴PA=PQ．
∴∠PBC=∠PBQ，(同弧或等弧所对的圆周角相等)，
∵四边形APQB是圆的内接四边形，
∴∠PAC+∠PQB=180°.(圆内接四边形的对角互补)，
∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PQB=∠PCB．
∵PB=PB，
∴△BPC≌△BPQ．
∴BC=BQ．
故答案为：①PA=PC，②同弧或等弧所对的圆周角相等，③圆内接四边形的对角互补，④∠PCB．
(1)分别以点A和点C为圆心，以大于12AC为半径画弧相交于两点，过两点作直线，分别交AB于点D，AB于点P，连接PA，PC，再以点P为圆心，PA长为半径作弧，交AB于点Q(Q,A两点不重合)，连接PQ，PB，BQ；
(2)由PD是AC的垂直平分线得到PA=PC，则PA=PC=PQ，得到∠PAC=∠PCA，PA=PQ，则PA=PQ，即得到∠PBC=∠PBQ，由四形APQB是的内接四边形得到∠PAB+∠PQB=180°，又∠PCA+∠PCB=180°，则∠PQB=∠PCB，又由PB=PB，即可证明△BPC≌△BPQ，即可得到结论．
本题考查圆的有关概念和性质，尺规作图，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
21.【答案】162 162 175 108
【解析】解：(1)将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
∴该组数据的中位数是(162+162)÷2=162．
该组数据中出现次数最多的为162，
∴该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
(2)全校的男生人数为100÷20%=500(人)，
∴选择B项目的男生共有500×35%=175(人)．
扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×(1−20%−35%−15%)=108°．
故答案为：175；108．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．
(1)根据中位数和众数的定义可得答案．
(2)先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用360°乘以扇形统计图中D得百分比即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数(率)分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，连接AC，
由题意得：BA=BC=8米，∠CBA=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=8米，
答：风筝C与小明A之间的距离AC的长为8米；
(2)如图，过点C作CH⊥AD于点H，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAH=30°+15°=45°，
∴AH=CH= 22AC=4 2(米)，
∴DH=AD−AH=6 2−4 2=2 2(米)，
∴CD= CH2+DH2= (4 2)2+(2 2)2=2 10(米)，
答：两个风筝之间的距离CD的长为2 10米．
【解析】(1)连接AC，证明△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
(2)过点C作CH⊥AD于点H，根据等腰直角三角形的性质分别求出AH、CH，进而求出DH，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意得：40−(38−20)÷2
=40−18÷2
=40−9
=31(元)．
答：每件保暖衣盈利31元；
(2)设每件保暖衣应降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出(20+2x)件，
根据题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又∵要尽量减少库存，
∴x=20．
答：每件保暖衣应降价20元．
【解析】(1)利用每件保暖衣的销售利润=40−增加的销售量÷2，即可求出结论；
(2)设每件保暖衣应降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出(20+2x)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】解：(1)当0≤x≤3时，y=4．
当3∴xy=12，
∴y=12x，
综上所述，y=4(0≤x≤3)12x(3(2)由(1)可知x=3时，y=4，x=4时，y=3，x=5时，y=125．
函数图象如图所示：

从函数图象看，当0≤x<3时，y为常数，当3≤x≤5时，y随x的增大而减小；
(3)由题意：PB：PC=3：2，
∴PB=125，
∴x=AP= 32+(125)2=3 415，
∴y=12x=20 4141．
【解析】(1)当0≤x≤3时，y=4；当3(2)取点描点绘制函数图象即可，观察函数图象可得函数性质；
(3)求出BP的长，再利用勾股定理求出AP，可得结论．
本题考查动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设P(m,−m2+2m+3)，
在y=−x2+2x+3中，令x=0得y=3，
∴C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠CBO=45°，
∵PE//OC，PF/​/x轴，
∴∠PEF=∠BCO=45°，∠PFE=∠CBO=45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴S△PEF=12PE⋅PF=12PE2，
∴当PE最大时，S△PEF最大，
由C(0,3)，B(3,0)可得直线BC解析式为y=−x+3，
∴E(m,−m+3)，
∴PE=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94，
∵−1<0，
∴当m=32时，PE最大为94，
此时P(32,154)，S△PEF=12×(94)2=8132；
∴△PEF面积的最大值为8132，此时点P的坐标为(32,154)；
(3)抛物线上存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°，理由如下：
作A(−1,0)关于y轴的对称点K(1,0)，当Q在BC上方时，连接CK，过B作CK的平行线CT交抛物线于Q，如图：

∴∠ACO=∠KCO，
由(2)知，∠BCK+∠KCO=45°，
∴∠BCK+∠ACO=45°，
∵BT//CK，
∴∠CBQ=∠BCK，
∴∠CBQ+∠ACO=45°，
由C(0,3)，K(1,0)可得直线CK解析式为y=−3x+3，
设直线BT解析式为y=−3x+t，把B(3,0)代入得：0=−9+t，
解得t=9，
∴直线BT解析式为y=−3x+9，
联立y=−3x+9y=−x2+2x+3，
解得x=2y=3或x=3y=0，
∴Q(2,3)；
当Q′在BC下方时，设BQ′交CK于W，
同理可知，∠CBW=∠BCW，
∴CW=BW，
设W(n,−3n+3)，
∵C(0,3)，B(3,0)，
∴n2+(−3n+3−3)2=(n−3)2+(−3n+3)2，
解得n=34，
∴W(34,34)，
由W(34,34)，B(3,0)得直线BW解析式为y=−13x+1，
联立y=−13x+1y=−x2+2x+3，
解得x=3y=0或x=−23y=119，
∴Q′(−23,119)；
综上所述，Q的坐标为(2,3)或(−23,119).
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设P(m,−m2+2m+3)，求出C(0,3)，知△BOC是等腰直角三角形，而PE/​/OC，PF/​/x轴，可得△PEF是等腰直角三角形，故S△PEF=12PE⋅PF=12PE2，即知当PE最大时，S△PEF最大，求出直线BC解析式为y=−x+3，有E(m,−m+3)，PE=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94，从而当m=32时，PE最大为94，可得△PEF面积的最大值为8132，此时点P的坐标为(32,154)；
(3)分两种情况：作A(−1,0)关于y轴的对称点K(1,0)，当Q在BC上方时，连接CK，过B作CK的平行线CT交抛物线于Q，由∠BCK+∠KCO=45°，知∠BCK+∠ACO=45°，而BT//CK，有∠CBQ=∠BCK，故∠CBQ+∠ACO=45°，由C(0,3)，K(1,0)可得直线CK解析式为y=−3x+3，设直线BT解析式为y=−3x+t，把B(3,0)代入得直线BT解析式为y=−3x+9，联立y=−3x+9y=−x2+2x+3，解得Q(2,3)；当Q′在BC下方时，设BQ′交CK于W，同理可知，∠CBW=∠BCW，有CW=BW，设W(n,−3n+3)，则n2+(−3n+3−3)2=(n−3)2+(−3n+3)2，解得W(34,34)，可得直线BW解析式为y=−13x+1，联立y=−13x+1y=−x2+2x+3，解得Q′(−23,119).
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行线性质及应用，等腰三角形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】(1)解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵DE⊥AB，
∴BE=DE= 22BD．
∵BD=2，
∴DE= 2．
∵DE⊥AB，∠BAD=30°，
∴DE=12AD．
∴AD=2DE=2 2．
(2)证明：过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE，BE，如图，

∵AE⊥AD，AE=AD，
∴DE= 2AD．
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB．
即：∠EAB=∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
EA=DA∠EAB=∠DACAB=AC，
∴△EAB≌△DAC(SAS)．
∴∠EBA=∠DCA．
设BE与DC交于点F，AB与CD交于点G，
∵∠FGB=∠AGC，
∴∠BFG=∠BAC=90°．
∴∠BFD=∠EFD=90°．
∵∠BDC−∠ADC=45°，
∴∠BDC=45°+∠ADC．
∵AE⊥AD，AE=AD，
∴∠EDA=∠DEA=45°．
∴∠EDF=45°+∠ADC．
∴∠EDF=∠BDF．
在△EDF和△BDF中，
∠EFD=∠BFD=90°DF=DF∠EDF=∠BDF，
∴△EDF≌△BDF(ASA)．
∴BD=DE= 2AD．
(3)解：∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BC= 2AB=6 2．
设BC的中点为O，连接AO，则AO=BO=CO=12BC=3 2，
由题意得：∠DAB=∠EAC=α，AD=AE，
在△DAB和△EAC中，
DA=DE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴∠DBA=∠ECA，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠AHC=90°，
∵∠AHC=∠PHB，
∴∠PHB+∠DBA=90°，
∴∠BPC=90°．
∴点P在以BC的中点O为圆心，OB=3 2为半径的圆弧AB上(不与点A，B重合)，如图，

过点O作OF⊥AB于点F，延长OF交AB于点Q，则Q为AB的中点，当点P与点Q重合时，△PAB面积取得最大值，
∵OA=OB，OF⊥AB，OA⊥OB，
∴FA=FB=12AB=3，
∴OF=12AB=3，
∴QF=OQ−OF=3 2−3，
∴△PAB面积的最大值=12AB⋅QF=12×6×(3 2−3)=9 2−9．
【解析】(1)过点D作DE⊥AB于点E，利用等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(2)过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE，BE，利用等腰直角三角形的性质可得DE= 2AD；通过证明△EDF≌△BDF，利用全等三角形的性质可得结论；
(3)利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到∠BPC=90°，则点P在以BC的中点O为圆心，OB=23 2为半径的圆弧AB上(不与点A，B重合)，则当点P与点Q重合时，△PAB的面积最大；利用等腰直角三角形的性质求得AB边上的高的最大值，则利用三角形的面积公式可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】解：可以取1，2，3，4，12，13，14，15，23，24，25，26，34，35，36，37，45，46，47，48，56，57，58，59，67，68，69，70，78，79，80，81，89，90，91，92，100．
∴最多可以选出37数．
【解析】从数字1开始，逐个实验，得出满足条件得数据．
本题考查了数字的探究，有理数的减法，解题关键是按照要求找到规律．