2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过两点P(0,−3),Q(− 3,0)的直线的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为( )
A. (1,1)，2B. (1,1), 2C. (−1,−1)，2D. (−1,−1), 2
3.已知{an}是等差数列，a6=8，a8=6，则a14=( )
A. −14B. −6C. 0D. 14
4.已知函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值点的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.若椭圆C的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则C的离心率为( )
A. 2 19−110B. 4 13−217C. 45D. 35
6.若函数y=a+csxx在区间(0,π)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. [−π2,+∞)B. (−∞,−π2]C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)
7.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,n∈N*.记数列{an+1(an+3)(an+1+3)}的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，都有k>Tn，则实数k的取值范围为( )
A. [110,+∞)B. (110,+∞)C. [15,+∞)D. (15,+∞)
8.已知a=ln1311,b=213,c=sin1311−1113，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. b>c>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. {an2}为等比数列B. {lg|an|}为等差数列
C. 若an+1>an，则q>1D. 若Sn=3n+r，则r=−1
10.已知直线l：mx+ny=4与圆O：x2+y2=4相切.椭圆C：x29+y25=1.则( )
A. 点P(m,n)在圆O内B. 点P(m,n)在圆O上
C. 点P(m,n)在椭圆C内D. 点P(m,n)在椭圆C上
11.已知函数f(x)=2x3−5x2−1，则( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 当a>b时，f(a)+5a2>f(b)+5b2
D. 过点(0,0))可作三条直线与曲线y=f(x)相切
12.已知双曲线C：x2−y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是( )
A. PF1+PF2的最小值为4
B. 与C仅有公共点P的直线共有三条
C. 若P(4,3)，且P为线段MN的中点，则l的方程为y=x−1
D. 若l与C相切于点P(x0,−1)，则M，N的纵坐标之积为−4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线ax+y−a+1=0与直线(2a−1)x+ay−a=0平行，则实数a的值为______．
14.已知抛物线C：x2=y的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为38，则与C相切于弦AB端点的一条直线的方程为______．
15.已知P是椭圆C：y216+x27=1上的一个动点，点A(1,−1)，B(0,−3)，则PA+PB的最小值为______．
16.若实数t是方程ex−lnx=x+1x的根，则etlnt的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1：x+y+2=0，l2：x+y=0，直线l过点(10,−4)且与l1垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)设l分别与l1，l2交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn−n+2,n∈N*．
(1)证明：{Sn−n+1}为等比数列；
(2)设bn=n2(an−1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−alnx+1，a∈R．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F( 3,0)，且过(1, 32)．
(1)求C的方程；
(2)若过点(32,0)的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a)ex+a+b，a，b∈R．
(1)当a=0时，试判断f(x)的单调性；
(2)若f(x)>0，且a的取值集合中恰有3个整数，求b的取值范围．
22.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(1,2)，直线l与C交于A，B两点，且PA⊥PB．
(I)当l垂直于x轴时，求△PAB的面积；
(2)若PD⊥AB，D为垂足，求点D到直线4x−3y+13=0的距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：P(0,−3),Q(− 3,0)，
则kPQ=−3−00−(− 3)=− 3，
直线的倾斜角范围为[0,π)，
故所求的倾斜角为23π，即120°．
故选：C．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为(−1,−1)， 2．
故选：D．
直接利用圆的方程求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，{an}是等差数列，设其公差为d，
若a6=8，a8=6，则d=a8−a62=−1，
则a14=a8+6d=0．
故选：C．
根据题意，设该数列的公差为d，由通项公式求出d，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f′(x)0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
则f(1311)=ln1311−(1−1113)=ln1311−213>f(1)=0，即ln1311>213，
故a>b，
因为sin1311213，得出a>b；再由sin13111；令g′(t)−1，
∴f(x)在(−∞,−1)单调递减，在(−1,+∞)上单调递增．
(2)∵f(x)=(x−a)ex+a+b，f′(x)=(x−a+1)ex，
∴当x0，即f(x)递增；
∴f(x)≥f(a−1)=a−ea−1+b，由f(x)>0，有b>ea−1−a，
令g(a)=ea−1−a，则g′(a)=ea−1−1，
当a0，g(a)递增，
∴g(a)≥g(1)=0，而g(−1)=1e2+1，g(0)=1e，g(2)=e−2，g(3)=e2−3，
由a的取值集合中恰有3个整数，g(0)0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4b，
由PA⋅PB=(y024−1)−(y0+2)(y0−2)=0，
得(2m+2)2=(b−3)2，
解得b=2m+5或b=−2m+1，
当b=−2m+1时，直线l的方程为x=my+b=my−2m+1，
令y=2，得x=2m−2m+1=1，
此时直线l恒过定点(1,2)与点P重合，不成立，
当b=2m+5时，直线l的方程为x=my+b=my+2m+5，
令y=−2，则x=−2m+2m+5=5，
此时直线l恒过定点Q(5,−2)，
因为PD⊥AB，D为垂足，
所以点D在以PQ为直径的圆上，
此时圆心为PQ中点(3,0)，半径为2 2，
所以点D在圆(x−3)2+y2=8上，
所以点D到直线4x−3y+13=0的距离最大值为圆心(3,0)到直线的距离加上半径，
即|4×3−3×0+13| 42+(−3)2+2 2=5+2 2，
所以点D到直线4x−3y+13=0的距离最大值为5+2 2．
【解析】(1)由抛物线过点P(1,2)，得22=2p⋅1，解得p，当直线l垂直于x轴时，不妨设A(y024,y0)，y0>0，则B(y024,−y0)，由PA⋅PB=0，解得y0，进而可得答案．
(2)设直线l的方程为x=my+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由PA⋅PB=0，得b=2m+5或b=−2m+1，分情况讨论：点D到直线4x−3y+13=0的距离最大值，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．