（中考数学冲刺练）2024年湖南省株洲市一轮模拟卷(含解析)

这是一份（中考数学冲刺练）2024年湖南省株洲市一轮模拟卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列式子正确的是，下列图形中不是中心对称图形的有，如图，，平分，若，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．年月，中国船舶集团有限公司与法国达飞海运集团在北京正式签订合作协议，协议包括建造型艘大型集装箱船，金额达多亿元人民币，创下了中国造船业一次性签约集装箱船最大金额的新纪录，亿用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
3．下列式子正确的是( )
A．B．C．D．
4．一组数据、、、、、、的中位数和众数是( )
A．，B．，C．，D．，
5．下列图形中不是中心对称图形的有( )
A．B．C．D．
6．一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象如图所示，其交点为P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集在数轴上表示正确的是( )
A．B．
C．D．
7．如图，，平分，若，则( )

A．B．C．D．
8．如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使，则四边形是（ ）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
9．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为( )

A．B．，C．，D．，
11．定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A．B．C．D．
12．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．要使式子有意义，的取值范围是 ．
14．若，则代数式的值为 ．
15．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为 .
16．观察下列图形规律：当n= 时，图形“●”的个数和小“△”的个数相等．
17．如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．

18．已知点在二次函数，其中，，，，令，，，；为的个位数字为正整数，则下列说法：；；；的最小值为，此时；的个位数字为其中正确的是 填序号．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
21．某校开展禁毒防艾知识竞赛，政教处随机抽取九年级部分学生成绩进行统计，将统计结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格相关数据统计、整理如下：
(1)本次抽样测试的学生人数是 名，a= ；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是 ；
(3)该校九年级共有学生1000名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 名；
(4)某班有4名优秀的同学（其中一名男生三名女生），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求恰好选到两名女生的概率．
22．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
23．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
24．如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
25．如图，在四边形中，，，，，，，点以秒的速度在线段上由A向B匀速运动，E点同时以秒的速度在线段上由向匀速运动，设运动时间为秒．

(1)求的长；
(2)当t为何值时，的面积最大？求出t的值及的面积最大值．
(3)试探究：可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
26．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点，D为顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
(4)点H是直线上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接，则两线段的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （直接写出答案．）
参考答案：
1．C
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
【详解】解：的倒数为．
故选C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2．D
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：亿．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3．C
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．A
【分析】根据中位数的定义先将数据按照从小到大的顺序排列，然后找出最中间的数即可，根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数是众数，找出出现次数最多的数即可．
【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列：
、、、、、、，
处于中间位置的数是，
中位数是，
出现的次数最多，
众数是．
故选：A．
【点睛】此题考查了中位数、众数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
5．C
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合
6．A
【分析】直接根据两函数图象的交点求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵由函数图象可知，
当x＞-2时，一次函数y=3x+b的图象在函数y=ax-3的图象的上方，
∴不等式3x+b＞ax-3的解集为：x＞-2，
在数轴上表示为：
故选：A.
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．
7．B
【分析】首先根据平行线的性质得，然后根据对顶角相等得，最后根据角平分线的定义可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
8．D
【分析】根据正方形的性质和已知条件可证得，于是得到，可证得四边形是菱形，再证得，即可证明四边形是正方形．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
同理可得，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴四边形是正方形．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．A
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.
【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.
10．A
【分析】由题意知，顶点从开始到结束所经过的路径为圆弧，所对的圆心角为，根据弧长公式计算求得顶点从开始到结束所经过的路程，再根据等边三角形的三线合一的性质，即可求得的横坐标．
【详解】解：一个边长为的等边三角形木板，在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，

，，
，
作于，
是等边三角形，
的横坐标为，
故选：A．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，弧长公式等知识，得出点运动的路径是解题关键．
11．B
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：由题意可得，





，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
12．C
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
∴，，，
∴，
，故①正确；
②对称轴是直线，与轴交点在左边，
二次函数与轴的另一个交点在与之间，
，故②正确；
③对称轴是直线，图象开口向下，
时，函数最大值是；
为任意实数，则，
，故③错误；
④，
由②得，
，故④正确；
⑤，
，
，
，
，
，
，，
，故⑤错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．
13．
【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．
【详解】解：依题意有：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．
14．
【分析】将多项式分解因式后直接代入数值计算即可．
【详解】解：
原式
故答案为：
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，代数式求值，整体代入法；正确分解因式是解题关键．
15．20
【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．
【详解】解：，
，
，，
，
点和点分别是和的中点，
，，是的中位线，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．
16．5
【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是5．
【详解】解：∵观察图形可知n=1时，“●”的个数是3=3×1；
n=2时，“●”的个数是6=3×2；
n=3时，“●”的个数是9=3×3；
n=4时，“●”的个数是12=3×4；
∴第n个图形中“●”的个数是3n；
又∵n=1时，“△”的个数是1=；
n=2时，“△”的个数是3=；
n=3时，“△”的个数是6=；
n=4时，“△”的个数是10=；
∴第n个“△”的个数是；
由3n=，
可得n2﹣5n=0，
解得n=5或n=0（舍去），
∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
故答案为5．
【点睛】试题分析：此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握、解答此类问题的关键是：应该首先找出图形哪些部分发生了变化，是按什么规律变化的，通过分析找出各部分的变化规律后直接利用规律求解．注意探寻规律要认真观察、仔细思考，善于运用联想来解决这类问题．
17．
【分析】连接，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积即可解答．
【详解】解：连接，如图，

以点为圆心画弧与斜边相切于点，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
阴影部分的面积


．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
18．/③②
【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出结果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断．
【详解】解：，则当时，，
，即：，
当时，，故错误；




，
，故正确；
，



故正确；
，
，
取得最小值，此时或，故错误；
为的个位数字，且，
由此可知，，，，，，，，，，分别为：
，，，，，，，，，，
即的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为，
则的个位，且也是五次一循环，
，
，，
的个位为，故错误；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．
19．3
【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式=2+4×-2+1
=2+2-2+1
=3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
20．
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
21．(1)40，4
(2)54°
(3)150
(4)
【分析】（1）根据级的人数和所占的百分求出抽样调查的总人数，即可解决问题；
（2）由乘以级的人数所占的比例即可；
（3）由该校九年级共有学生人数乘以优秀的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（名，
则，
故答案为：40，4；
（2）扇形统计图中表示级的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
（3）估计优秀的人数为：（名，
故答案为：150；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，
恰好选到两名女生的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△ADF；
（2）设菱形的边长为x，利用全等三角形的性质得到BE=DF=x−2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），
∵AE⊥BC AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
（2）解：设菱形的边长为x，
∴AB=CD=x，CF=2，
∴DF=x−2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等），
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），
∴42+(x−2)2=x2，
解得x=5，
∴菱形的边长是5．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．(1)买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元
(2)至少买乙种快餐37份
【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意得，
解得
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意得，
解得
至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
24．(1)证明见解析；
(2)3；
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由等弧对等角可得∠BAD=∠CAD=∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF=90°便可证明；
（2）连接AD、BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠BOD=2∠BAD，于是∠BOD=∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB∶AE=OF∶AB，再代入求值即可；
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
D为的中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵，
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD、BE，
AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
∴OB∶4=∶2OB，OB2=9，
OB＞0，则OB=3，
∴的半径为3；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
25．(1)
(2)当时，的面积最大，最大值为5
(3)当为等腰三角形时，的值为秒或秒或秒
【分析】（1）先根据勾股定理求出，由（1）知，，得出，即可得出结论；
（2）过点E作于点H，由题意易得，则，然后可得，进而根据三角形面积公式及二次函数的性质可进行求解；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，，
，
，
又，，
，
，
，
即，
解得：；
（2）解：过点E作于点H，如图所示：

由题意可知，则，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为；
（3）解：能．由题意知，，，
若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当时，，解得秒．
②当时，如图，过点作的垂线，垂足为，

则．此时
，即，
解得：；
③当时，如图2，过点作的垂线，垂足为，

则．此时
，即，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．(1)
(2)存在，，理由见解析
(3)或或．
(4)，
【分析】（1）直接将、分别代入求得a、b、c即可解答；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可求出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标、点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出的长，可得出是直角三角形，且；再根据相似三角形的性质可得出和的比例，进而求得点M的坐标即可．
（4）如图：根据抛物线的对称性可知：点H关于对称轴的对称点L在直线上，由轴对称和两点之间直线最短可知当O、G、L三点共线时，存在最小值；然后再求出直线的解析式为；设点，根据两点间距离公式可得，即当时，有最小值，有最小值，进而得到，然后在求出直线的解析式为，最后令即可解答．
【详解】（1）解：将、分别代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，，理由如下：

∵，
∴，
∴如图：点A，C，B，P四点共圆，所示，
∵、
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
由抛物线的对称性可得：，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴是直角三角形，且，．
∵点M在直线l下方的抛物线上，

∴设，则或．
∴,
若与相似，则或，
∴或，
解得（舍）或或3或（舍）或，
∴M的坐标为或或．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与相似，此时点M的坐标为或或．
（4）解：如图：根据抛物线的对称性可知：点H关于对称轴的对称点L在直线上，
∴,
∴，
∴当O、G、L三点共线时，存在最小值，
设直线的解析式为，
则有：，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，
∴当时，有最小值，有最小值为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
∴当时，，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、圆内四边形的性质、相似三角形的性质与判定、分类讨论思想、根据轴对称和二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解题关键．
题号
一
二
三
总分
得分
等级
A级
B级
C级
D级
人数
6
12
a
8