2023年山东省青岛市初中学业水平考试九年级数学试题(三)（含答案）

这是一份2023年山东省青岛市初中学业水平考试九年级数学试题(三)（含答案），共19页。试卷主要包含了如图所示几何体的主视图是，《墨子·天文志》记载，计算等内容，欢迎下载使用。

(考试时间:120分钟 满分:120分)
说明：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 25 题.第Ⅰ卷为选择题，共8 小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题,共 17 小题, 96 分.
2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效。
第Ⅰ卷(共24分)
一、选择题(本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分.在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的)
1.如图，在数轴上，点O表示原点，则点 M 表示的数可能为( ).
A.2 B.1 C.0 D. -1
2.下列运算正确的是( ).


3.如图所示几何体的主视图是( ).
4.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形 ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 A'B'C'D'，若A'B'：AB=2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为( ).

5.如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转 90°，再向下平移4 个单位长度，得到线段A'B'，则点 B 的对应点B'的坐标是( ).
A.(-3,-1) B.(-3,-3) C.(-1,-3) D.(-1,-2)
6.地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生了一定的大气压，海拔不同，大气压不同.观察图中数据，下列说法正确的是( ).
A.海拔越高，大气压越大
B.图中曲线是反比例函数的图象
C.海拔为 4千米时，大气压约为70千帕
D.图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
7.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第1代勾股树、第2代勾股树、第3代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第7代勾股树中正方形的个数为( ).
A.256 B.255 C.65 D.64
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为(一1，0).下列说法正确的是( ).
A. abc<0
B.4a-2b+c<0
C.不等式 的解集为-1D. c-a<0
第Ⅱ卷(共 96 分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
9.计算:
10.2022年10月 16日上午 10时，中国共产党第二十次全国代表大会开幕，习近平代表第十九届中央委员会向党的二十大作报告.报告中提到，10年来，我国人均国内生产总值从39 800元增加到81 000元,81 000用科学记数法可以表示为 .
11.学生会为招募新会员组织了一次测试，嘉淇的心理测试、笔试、面试的得分分别为80分、90分、70分.若依次按照3：2：5的比例确定最终成绩，则嘉淇的最终成绩为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A'B'C 由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A'与点A 是对应点，点 B'与点B 是对应点，连接AB'，且点A，B'，A'在同一条直线上,则AA'的长为 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O,H 分别为边AB,AC的中点,将△ABC绕点B 顺时针旋转 120°到△A₁BC₁ 的位置.在整个旋转过程中，线段 OH 所扫过区域的面积(即阴影部分的面积)为
14.如图，在正方形 ABCD中，∠BAC的平分线交 BC 边于点G，AG的中垂线与CB 的延长线交于点E,与AB,AC,CD 分别交于点M,N,F.若BG=2,有下列结论:①米= ;(②△AGC≌△EMG;③四边形AMGN是菱形;( 其中，正确的是 (填序号).
三、作图题(本大题满分4分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15.已知:如图,∠BAC和边AB 上一点D.
求作：点O，使点O在∠BAC的内部，到∠BAC两边的距离相等，且与点 D的距离最短.
四、解答题(本大题共10小题，共74分)
16.(本题每小题4分,共8分)
(1)化简:
(2)解不等式组
17.(本小题满分6分)
小明和小亮玩一个游戏：3张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取1张记下数字后，小亮再从剩下的卡片中抽取1张记下数字，若两人抽取的两张卡片上的数字之和为奇数，则小明赢；若两人抽取的两张卡片上的数字之和为偶数，则小亮赢.
(1)小明抽取的卡片上的数字是3的概率是 .
(2)你认为这个游戏公平吗? 请说明理由.
18.(本小题满分6分)
如图，二次函数 的图象与x轴交于O(O为坐标原点)，A 两点，且二次函数的最小值为 ,点M(1,m)是抛物线对称轴上一点,y轴上有一点B(0,1).
(1)求二次函数的表达式.
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点 P，连接 PA，PB，设点 P 的横坐标为t， 的面积为S，求S与t之间的函数表达式.
19.(本小题满分 6 分)
为了解某校九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段(A.50分;B.45~49分;C.40~44分;D.30~39分;E.0~29分),统计如下:
学业考试体育成绩(分数段)统计表
根据上面提供的信息回答下列问题：
(1)在统计表中,a= ,b= ,将统计图补充完整
(2)甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数.”那么，甲同学的体育成绩应在 分数段内(填相应分数段的字母).
(3)如果把成绩在40分以上(含 40 分)定为优秀，那么该校今年1 200名九年级学生中体育成绩为优秀的学生有多少名?
20.(本小题满分6分)
为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，某省森林保护区开展了寻找古树活动.如图，古树AB直立于水平面，为测量古树 AB的高度，小明从古树底端 B出发，沿水平方向行走了25 m到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶点 D 处， .他在点 D处放置测角仪，测角仪支架DE 的高度为 0.6m，在点 E 处测得古树顶端 A 点的仰角 (点A,B,C,D,E,F,H 在同一平面内).求古树 AB 的高度.(结果保留1位小数,参考数据:sir 5.)
21.(本小题满分 6分)
在数学课上，老师给出了例题的参考答案：
例题:如图①,在正方形ABCD中,CE⊥DF,求证:CE=DF.
证明:设CE与DF 交于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD,
∴∠BCE+∠DCE=90°.
∵CE⊥DF,
∴∠COD=90°,
∴∠CDF+∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠CDF,
∴△CBE≌△DCF,
∴CE=DF.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图②,在正方形 ABCD中,点E,F,G,H 分别在线段AB,BC,CD,DA 上,且EG⊥FH,则
(2)【知识迁移】如图③,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E,F,G,H 分别在线段AB,BC,CD,DA上,且EG⊥FH,则
(3)【拓展应用】如图④,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB=BC,点E,F 分别在线段AB,AD上,且CE⊥BF,则
22.(本小题满分8分)
如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A(2，n),与y轴交于点B,与x轴交于点
(1)求k、m的值.
(2)P(a,0)为x轴上的一个动点,当 的面积为 时，求a的值.
23.(本小题满分 8分)
如图,在菱形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O,点E 是 AD 的中点,连接OE,过点 D作 交OE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证:
(2)判断四边形AODF 的形状，并说明理由.
24.(本小题满分 10分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售过程中，该商家发现肉粽每盒的售价为50元时，每天可售出 100盒，每盒的售价提高1元时，每天少售出2盒.设肉粽每盒的售价为x元，y(元)表示该商家每天销售肉粽的利润.
(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元?
(2)若每盒的利润率不超过50%，当肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元?
(3)若x满足50≤x≤60,求y的最大值.
25.(本小题满分 10分)
如图，在 中, 垂足为D， 点P从点A 出发,沿AD方向匀速运动，速度为 同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为 当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动.以 PQ为底边作等腰， 使 并且 与 分别在AB的两侧，连接PC，QC，设运动时间为 回答下列问题：
(1)当t为何值时,点D为PQ 的中点?
(2)设四边形 MQCP 的面积为 ，求y与t之间的函数表达式.
(3)当t为何值时, 是等腰三角形?
2023年青岛市初中学业水平考试
数学试题(三)答案解析
1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. D 7. B
8. D 解析：∵抛物线的开口向上，
∴a>0.
∵对称轴为直线
∴b=-2a, ∴ b<0.
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴c<0,∴abc>0,故 A 错误.
由图象知,当x=-2时,y>0,
∴4a-2b+c>0,故B错误.
由图象知,当x<-1或x>3时,y>0,
∴不等式。 的解集为x<-1或x>3,故C 错误.
∵c<0,a>0,∴c-a<0,故D正确.
9.- 10.8.1×10⁴ 11.77分
12.6 解析:在 Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,
∴∠CAB=30°,∴AB=4.
∵△A′B′C 由△ABC绕点C 顺时针旋转得到,其中点 A′与点 A 是对应点,点 B′与点 B 是对应点，点A，B'，A'在同一条直线上，








13.π 解析:如图,连接BH,BH₁.
∵O,H 分别为边AB,AC的中点,将△ABC绕点B顺时针旋转 到 的位置，
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2,

由勾股定理得
由扇形面积公式得
14.①②③④ 解析:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交 BC 边于点G,

∵∠ABC=90°,

∵AG的中垂线与CB的延长线交于点E，


∴AM=AN,
∴AM=GM=NG=AN,
∴四边形 AMGN是菱形,故③正确.
∵四边形AMGN是菱形,
∴MG∥AC,AB∥NG,
∴∠ACG=∠MGE=45°,∠NGC=∠ABC=90°,
∴GC=GN=GM.
∵∠GAC=∠E=22.5°,
∴△AGC≌△EMG(AAS),故②正确.
∵∠MGE=45°,

故①正确.
∵∠MGE=45°,∠MBG=90°,BG=2,

∵GM=GN,

∵AB∥NG,∠ABC=90°,
∴∠NGC=90°.
又∵∠ACB=45°,

∴BC=BG+GC=2+2 ,
故④正确.
15.解:(1)作∠BAC的平分线AE;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(2)过点 D作AE 的垂线,交 AE 于点O.
如图，点O即为所求作.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
16.解:(1)原式 1分
2分
4分

解不等式①得x≥-2, ……………………………………………………………………………5分
解不等式②得x<3, …7分
∴原不等式组的解集为-2≤x<3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
17.解:(1) ⋯1分
(2)不公平.理由如下：
画树状图如图所示.
5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
共有6种等可能的结果，其中和为奇数的有 4 种，和为偶数的有 2 种，
∴P(小明赢) P(小亮赢) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
…………………………………………………………………………………………………5分
∴该游戏不公平.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
18. 解:(1)∵二次函数的最小值为-1,点M(1,m)是对称轴上一点,
∴二次函数的顶点坐标为(1，-1).
设二次函数的表达式为.
将点O(0,0)代入上式,得 a-1=0,
∴a=1,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分
(2)如图,连接OP.
令y=0,即.
解得x=0或x=2,
∴A(2,0).
∵点 P 在抛物线 上，点 P 的横坐标为t，
∴点 P 的纵坐标为


⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
19.解:(1)500.15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
补全统计图如图所示：
………………………………………………………………………………………………………3分
(2)C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(3)∵成绩在40分以上(含 40分)定为优秀,
∴A，B，C这 3个分数段的学生均为优秀，
∴(0.2+0.25+0.35)×1200=960(名).
答：该校今年1 200名九年级学生中体育成绩为优秀的学生有960名. ⋯6分
20. 解:如图,延长ED,交 BH 于点G,延长EF,交 AB 于点M.
在 Rt△CDG 中,
∴DG≈25×0.60=15(m),CG≈25×0.80=20(m).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∵EM⊥AB,AB⊥BG,EG⊥BG,
∴四边形 EGBM 是矩形,
∴EM=BG=BC+CG=25+20=45(m),
BM=EG=DG+DE=15+0.6=15.6(m).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
在 Rt△AEM中,∵∠AEM=15°,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∴AB=AM+BM=12.15+15.6=27.75≈27.8(m). ⋯5分
答:古树AB的高度约为27.8m.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
21.解:(1)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
………………………………………………………………………… ……4分
……………………………………………………………………… ………6分
22.解:(1)把C(-4,0)代入y=kx+2,得

把A(2,n)代入 得n=3,
∴A(2,3).
把A(2,3)代入 得 m=6.
故k 的值为 ,m的值为6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(2)对于 当x=0时,y=2, ∴B(0,2).
∵P(a,0)为x轴上的一个动点,∴PC=|a+4|,


解得a=3或a=-11. 8分
23.(1)证明:∵E是AD 的中点,∴AE=DE.
∵DF∥AC,∴∠OAD=∠ADF.
∵∠AEO=∠DEF,
∴△AOE≌△DFE(ASA).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)解:四边形AODF为矩形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
理由:由(1)知△AOE≌△DFE,∴AO=DF.
∵DF∥AC,∴四边形AODF为平行四边形.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,
∴平行四边形AODF为矩形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
24.解：(1)设肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价为(a-10)元.
由题意得
解得 a=40,
经检验，a=40是方程的解，且符合题意，
∴a-10=40-10=30.
答：肉粽每盒的进价为40元，豆沙粽每盒的进价为30元………………………………………3分
(2)∵肉粽的进价为每盒40元，每盒的利润率不超过50%，
∴40≤x≤60.
由题意得((x-40)[100-2(x-50)]=1350,
整理得
解得. (舍去),.
答：当肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(3)由题意得:
配方得y=-2(x-70)²+1800.
∵-2<0,图象开口向下,
∴当x<70时,y随x 的增大而增大.
∵50≤x≤60,
∴当x=60时,y取得最大值, 答:y的最大值为1600.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
25.解:(1)由题意得AP=t,PD=DQ=2t,QB=4-2t.
∵PD=2-t,∴2-t=2t,解得
∴当时,点D为PQ的中点…………………………………………………2分
(2)如图,过点 M 作ME⊥PQ,垂足为 E.
∵MP=MQ,

∵PQ=PD+DQ=2-t+2t=2+t,

∵∠MPQ=∠A,
∴tan∠MPQ=tan A,即


⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(3)分情况讨论：
①当CQ=CP 时,
∵CD⊥AB,∴PD=DQ,即2-t=2t,
解得
②当 PQ=CQ时,在 Rt△CDQ中,(


整理得
∵△=16-4×3×12<0,
∴不存在t,使得 PQ=CQ.
③当PQ=CP 时,
在 Rt△CDP 中,(


即
化简得 8t=16,∴t=2.
综上，当 或t=2时,△PQC是等腰三角形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
分数段
人数
频率
A
40
0.2
B
a
0.25
C
70
0.35
D
30
b
E
10
0.05