专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

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模型1：高分线模型

条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个B．2个C．3个D．4个
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．

模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．

(1)若时，如图所示，求证：；(2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于的面积； ②；
③； ④．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为 ．
7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．

8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．

(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．

10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．
(1)求的度数；(2)求的度数．
解：（1）（已知），______° ，
（______），
______° ______°（等量代换），
（2）（______），
_____（等式的性质），
（已知），
______ ______°（等量代换）．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，(1)求证：平分；(2)若，求证：．

12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E，(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．
13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．
(1)若，则_______；
(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．

14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．

15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；
(3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于.
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，请用含，的代数式表示的面积，___________（直接写出结果）
17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分．
(1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．

18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．

19．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．