专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

这是一份专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题06三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型原卷版docx、专题06三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，从而可得，则有，，即可求的度数．
【详解】解：过点作，如图，
，，，，
．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质即可得出，，再根据即可求解．
【详解】由题意知∴，
∴故选：C．
【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．
例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长交直线于点，，，

根据题意得，，故选：A．
【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
例5．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法可得，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作，则，
∴ ， ，
同理可得：， ，
∴，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .

（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知，那么（ ）

A．180°B．270°C．360°D．540°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得出，进而可得出结论．
【详解】过点C作，

，，∴
由得，，
即．故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，

工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，，
，，，，故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作，利用平行线的性质得到，进而求出，则．
【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴，
∴，
∵，即，∴，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
【答案】540
【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．
例5．（2022春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知，则 ，则等于 （用含的式子表示）．

【答案】 /360度
【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作，

∵，∴，
∴，，，
∴，
当时， 故答案为：；．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
模型3：牛角模型

图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，
，；故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，，，，求的值．
【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点作，易得，由平行线的性质可得，，即可求出；（2）过点作，易得，根据平行线的性质可得；
（3）过点作，过点作，易得，，根据平行线的性质可得，，再由已知等量代换，即可求得的值．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作，，

，，，，．
，，；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，，，，，
，；
（3）解：如图3，过点作，过点作，
，，，
，
，
，，，
，，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 = ．
【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.
【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，

∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，即.
点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.
模型4：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【答案】B
【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．
例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
【答案】见解析
【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图
∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．
【详解】如图，过点作，
∵，，∴．
∴，．
∵，∴．
∴．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点． （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）．
【答案】 /度 平行
【分析】（1）根据平分线的判定可得，根据平行线的性质可得的度数；
（2）根据对顶角相等可得的度数，根据平分线的判定可得．
【详解】解：（1）∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴；故答案为：．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：平行．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
模型5：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.

图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【答案】D
【分析】过点C作，根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：过点C作，∴，
∵∴；
∵，∴；
由题意，∴，∴．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）
A．115°B．130°C．140°D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过作的平行线，如图所示；
，∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，则，根据平行线的性质分别求出和，则．
【详解】解：如图，作，则，

，，，，
，
故选D．
【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可知，．再由角平分线的定义即可求解．
【详解】∵，∴．∵平分，∴．
∵，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 ．
【答案】/25度
【分析】过点C作，过点A作，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，则，
∴．过点A作，则．
∴，故的最小值为．故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义即可得．
【详解】解：如图，，，
，故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）

A．延长交的延长线于点
B．连接
C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．
【详解】解：A、如图，∵，∴，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意；

B、如图，∵，∴，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意；
C、如图，由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；

D、如图，延长交于点，∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、，
根据平行线的性质即可求解．
【详解】如图所示，过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l支撑平台
∴直线l支撑平台工作篮底部∴、
∵∴∴故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线、平行，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质分别求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°B．35°C．36°D．45°
【答案】C
【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF 平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A．56B．66C．98D．104
【答案】A
【分析】如图，在处作，根据平行线的性质可得，，由对顶角相等可得，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，在处作，
∵，∴，
∵，∴，∵，
∴，故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
8．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【答案】A
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【详解】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．
【答案】180°.
【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示，，，，则 度．
【答案】86
【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点作的平行线，
，，，，，
，，，，
，故答案为：86．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点处构造出一条平行线．
11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．
【答案】
【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．
【详解】分别过点，作，
∵，∴∵射线平分∴
∵∴∴
∵∴∴
∵射线平分∴
∵，，∴∴∴
∴ ∴
∵∴
同理：∴
∴ 故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．
12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．
【答案】
【分析】延长AB交HP于点M；根据平分，得；根据，得，从而推导得；结合，得；再根据以及，结合三角形内角和性质，即可完成求解．
【详解】如图，延长AB交HP于点M
∵平分∴ ∴
∵∴∵∴
∴
∵∴ ∴
∵∴∴
∵∴ ∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知，，求的度数．
【答案】72°
【分析】如图所示，过点C作，则，根据平行线的性质求出，进而求出，再由，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点C作．∵，∴．
∴．∴．
又∵，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，，当与满足什么关系时，?
小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）．
∵，
∴①_____________
∵
∴②_________，
∵，
∴③__________，
∴④_____________
∴．
所以满足的关系为：当时，．
【答案】①，②，③，④
【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．
【详解】解：如图，通过尺规作图得：，
∵，∴①，
∵，∴②，
∵，∴③，
∴④，∴．
所以满足的关系为：当时，．
故答案为：①，②，③，④．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．
15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4）
【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；
（2）过点P作，由，得到，从而得到结论；（3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系．
【详解】（1）解：猜想．
理由：过点P作，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴；
（2）．理由：如图，过点P作，

∵，∴，
∴，∴；
（3）如图（3）：．
理由：∵，∴，

∵，∴，即；
如图（4）：．理由：∵，∴，

∵，∴，即．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作，如图，

∴，∵（已知），
∴，∴，
∵，∴；
（2）如图，过点P作，过点Q作，
∵，，，∴，
∴，，，
∴，故答案为：；
（3）过点P作，过点Q作，
∵，，，∴，
∴，，，
∴，
即，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若，，则 ；
如图1，若，，则 ；
(2)如图2，试说明，；(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)55°，α+β(2)见解析(3)，理由见解析
【分析】（1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到；
（2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即；
（3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明．
【详解】（1）解：如图1，过点E作，
∵，∴，∴，，
∵，
当，时，∴；
当，时，∴．故答案为：55°，α+β；
（2）解：如图2，过点E作，
∵，∴，∴，，
∴，即；
（3）解：，
理由如下：由（1）可得，
∵平分，平分，∴，，
∴，由（2）可知，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．
18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）
（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.
【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM，

∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；
（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，
∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；
②结论：∠2＝∠3−∠1.
19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：
如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝
图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB
∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
20．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：
(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出；（3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C作，则．

∵，∴，
∴．
（2）在图2中，过点Q作，则．
∵，∴．
∵平分，平分，∴，
∴．
∵，∴．
（3）∵，∴，
∴．∵，∴．
又∵，∴，即，
∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．
21．（2023春·广东·七年级专题练习）（1）如图1，，，，直接写出的度数．（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解；（2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解；（3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作，

∵，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴．
（2），理由如下：过点作，
∵，∴，∴，，
∵平分，平分，∴，，
∴，同理，过点作，

∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴，即．
（3）如图，延长交于点，
∴，
，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．
发现：在图1中，；如图5
小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点作，
∴（两直线平行，内错角相等）
，．（平行于同一直线的两直线平行）
即
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
（2）①
解：过点作，所以，
，．，，
，，即，
故答案为：；
②
解：，，，
，，故答案为：；
（3）解：．
理由是：如图4，过点作，
，，
，，（平行于同一直线的两直线平行）
，，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
23．（2023春·山东·七年级专题练习）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】（1）110°；（2）80°；（3）
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，

过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作,，
，，，，
，，
，，∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；
（3）过点P作，
平分，，同理，
∴ ，
同理，故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．