专题27 最值模型之胡不归模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

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【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含的直角三角形的性质是解题的关键．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过作，菱形，，
，，即为等边三角形，，
在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，
，，，
在中，，则的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作于，
∵四边形是正方形，，，的最小值为0，
∵，∴的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形， ∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，
∴ ∴
∵∴∴
∵，∴∴
∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，
∴∴的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可．
【详解】解：连接，过作，过作，

令，即，解得或1，，，
，，，．
，根据垂线段最短可知，的最小值为，
，，，
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，∴有最小值，作轴于点P，

则，，∵，∴，∴，
∴，即，∴，则，设直线的解析式为，
则，解得，∴直线的解析式为，
联立，，解得，即；过点D作轴于点G，
直线与x轴的交点为，则，
∴，∴，
∴，
即的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；
【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；
【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．
【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，
，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1．
（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，
设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t， t+1），
∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大．
∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），
在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝
过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，
当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，
∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，
令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，），
∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．
课后专项训练
1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4B．5C．D．
解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．
四边形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：．
2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，

当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，
∴，∴，∴直线PD的解析式为；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，
∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，
∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，
∴的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023.重庆九年级期中）如图，在中，，，，若是边上一动点，则的最小值为
A．B．6C．D．3
解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：
在中，，， ，
当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，是等边三角形，，
在中，，，，，，
，，的最小值为3，故选：．
4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：如图，
在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP
当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cs30°＝．
∴AP+PB的最小值是．故选：B．
5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．
【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝∴GH最小值为 故选C．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．
6．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．
【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，
，且，，
，．
，∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为．
，．又，，∴四边形是矩形，
，，，
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．

【答案】
【分析】过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，利用证明，可得，进而可得，则由含度角的直角三角形的性质得到，，故当、、三点共线时，为最小值，当、、三点共线时，，即，可得，再运用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，
，，，，，，
，，
，，，
在中，，，，，
，当、、三点共线时，为最小值，
当、、三点共线时，，，
，与重合，，，
，，，
是等腰三角形，，
的垂直平分线交于，，，
，在中，，
即的最小值故答案为：．
【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角用的推质，勾服定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：过点F作于点G，如图，
∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形，
∴，，∴，．
∵，∴，，∴，
当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，
∵点E是的中点，∴，则，
∵，∴，∴，∴，解得：，
综上：的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作于H，作于L，
在矩形中，，，，， ，
∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，∴，，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
【答案】
【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，则DH =DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
∵OF=OA=5，∴，∴ 即CD+OD的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键．
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点，
∵在矩形中，，∴，∴，则，
∵，
此时最小，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________．
【答案】
【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE
∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小
∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=
∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．
14．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【答案】
【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为，故答案为：3.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
15．（2023·成都市·九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；②B'M=______；
拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值为．
【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，进而求解；
（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求解；②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．
（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′=MN-NB′=MN-；故答案为：①BE；②；
（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，

∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积=×AB×B′E=×3×2=3，故答案为：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中点，∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，
∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE=，即B'C+2PQ的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D．

(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积；
(3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)反比例函数解析式为(2)的面积为
(3)N点坐标为，或，过程见解析
【分析】（1）过点A作于点E，过点C作于点F，根据平行线分线段定理可得，从而求得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）由锐角三角函数求得，再由三角形内角和求得，从而求得，根据等腰三角形的性质可得，从而求得，作直线，可得，过点Q作于点H，则，可得当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，再利用求解即可；
（3）由平移的性质可知，设，，分类讨论：当为对角线、为对角线或为对角线时，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F，
∵，∴，点C为中点，
∵，，∴，，∴，
∴，∴反比例函数解析式为；

（2）解：∵，，∴，
∵将直线顺时针旋转得到直线，∴，
∴，∴，∴，∴，
作直线，∴，过点Q作于点H，∴，
∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，
∴，∴的面积为；
（3）解：N点坐标为，或，理由如下：由题可知，，
设，，当为对角线时，，解得：，∴，
当为对角线时，如图，∵，解得，∴，

当为对角线时，如图，，解得，∴，
综上，N点坐标为，或．
【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．抛物线的解析式为
联立，解得：或，点的坐标为．
如图1．，，，，，，
，是直角三角形，，；
（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，①如图2①，当时，则．
，，
，．．
则．把代入，得
，整理得：解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得，
整理得：解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．
②当时，则．同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：作的“外接矩形” ，易证，，
以，，为顶点的三角形与相似，或，
设，，，
①，，，，
②，，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，四边形是矩形，
，．对于，
当时，有，解得：，．，，
，，点的坐标为．

方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，，，，
，，，，，，
为的中点，，，．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，．，，，
，．．
当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：
，
抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．所以．
18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE
∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD▪MN=，∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF ▪EM= =，
记四边形ABEF的面积为s，∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，
此时 =，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；
②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，
∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
19．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，∴，又∵，∴，即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，∴ 解得
即直线的解析式为 ，设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积 ∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，∴，
过点作于，则在中，，
∴，再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，∵，
又∵，∴，即，∴的最小值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．