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专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）
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这是一份专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题37图形变换模型之翻折折叠模型原卷版docx、专题37图形变换模型之翻折折叠模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．
例2．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．
例4．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
例5．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
模型2.正方形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（ ）
A．1B．3C．6D．
例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．
例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
模型3.菱形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A．B．C．D．2
例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为 ．
例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
模型4.三角形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
例2．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ）
A．1B．2C．D．
例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A．B．C．D．
例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，的半径为4．将的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．8D．10
例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1B．2C．3D．4
例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2
课后专项训练
1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________．
9．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．
10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为 ．
13．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，则的长为 ．
14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为上的动点，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）.当，的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，的长为______．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现：如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
19．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，
由折叠知，，连接，在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．
例2．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．
例4．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
例5．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
模型2.正方形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（ ）
A．1B．3C．6D．
例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．
例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
模型3.菱形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A．B．C．D．2
例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为 ．
例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
模型4.三角形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
例2．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ）
A．1B．2C．D．
例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A．B．C．D．
例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，的半径为4．将的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．8D．10
例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1B．2C．3D．4
例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2
课后专项训练
1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________．
9．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．
10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为 ．
13．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，则的长为 ．
14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为上的动点，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）.当，的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，的长为______．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现：如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
19．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，
由折叠知，，连接，在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．
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