专题13 二次函数存在性问题三角形篇分类训练（3种类型30道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

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\l "_Tc18072" 【题型1 存在性等腰三角形类】 PAGEREF _Tc18072 \h 1
\l "_Tc22555" 【题型2 存在性直角三角形类】 PAGEREF _Tc22555 \h 23
\l "_Tc2160" 【题型3 存在性等腰直角三角形类】 PAGEREF _Tc2160 \h 49
【题型1 存在性等腰三角形类】
1．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过B−3,0,C0,3两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使△BPC为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)E−1，2
(3)0，0或3，0或32−3,0或−32−3,0
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等等：
（1）由待定系数法即可求解；
（2）点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解；
（3）求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点B−3,0,C0,3代入抛物线解析式得−9−3b+c=0c=3，
解得b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：∵抛物线解析式为y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵点A、B关于对称轴对称，
∴BE=AE，
∴AE+CE=BE+CE，
∴当B、C、E三点共线时，BE+CE最小，即此时AE+CE最小，
∴BC与对称轴的交点即为点E，如下图，
设直线BC解析式为y=mx+n，
∴−3m+n=0n=3，
解得m=1n=3，
∴直线BC的解析式为y=x+3；
当x=−1时，y=x+3=2，
∴E−1，2；
（3）解：∵B−3,0,C0,3，
∴OB=OC=3，
∴BC=32+32=32，
当B为顶点时，则PB=BC=32，
∴点P的坐标为32−3,0或−32−3,0；
当C为顶点时，则PC=BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为3，0；
当BC为底边时，则PC=PB，
设点P的坐标为m，0，
∴−3−m2=m2+32，
解得m=0
∴点P的坐标为0，0；
综上，点P的坐标为0，0或3，0或32−3,0或−32−3,0．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．

(1)若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M使三角形ACM的周长最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为等腰三角形的点P的坐标．
【答案】(1)y=x+3，y=−x2−2x+3
(2)M(−1,2)
(3)(−1,1)，(−1,14),(−1,−14)，(−1,3+17),(−1,3−17)
【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式；
（2）由对称轴知，MA=MB，得MA+MC+AC=MB+MC+AC；当MB+MC取最小值时，△AMC周长最小．BM+MC≥BC，当B,M,C三点共线时，MB+MC取最小值BC，相应的△AMC周长最小．进而求得M(−1,2)；
（3）设点P的坐标为(−1,p)，则BP2=4+p2,CP2=p2−6p+10，BC2=18，分情况讨论①若BP=CP，②若BP=BC，③若CP=BC，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：根据题意，得
−b2a=−1a+b+c=0c=3，解得a=−1b=−2c=3
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3
令−x2−2x+3=0，解得x1=1，x2=−3
∴B(−3,0)．
由直线y=mx+n经过B(−3,0)，C(0,3)两点，得
−3m+n=0n=3，解得m=1n=3
∴直线解析式为y=x+3．
（2）解：如图，
∵x=−1是抛物线的对称轴，
∴点A,B关于直线x=−1对称．
∴MA=MB．
∴MA+MC+AC=MB+MC+AC．
当MB+MC取最小值时，△AMC周长最小．
如图，BM+MC≥BC，
当B,M,C三点共线时，MB+MC取最小值BC，相应的△AMC周长最小．
x=−1时，y=m+3=−1+3=2．
∴M(−1,2)

（3）解：设点P的坐标为(−1,p)，则BP2=(−3+1)2+p2=4+p2,CP2=(0+1)2+(3−p)2=p2−6p+10，
BC2=OB2+OC2=18，
①若BP=CP，则4+p2=p2−6p+10，解得p=1
∴P点的坐标为(−1,1)．
②若BP=BC，则p2+4=18，解得p=14或p=−14．
∴P点的坐标为(−1,14),(−1,−14)．
③若CP=BC，则p2−6p+10=18，解得p=3+17或p=3−17
∴P点的坐标为(−1,3+17),(−1,3−17)

综上，P点的坐标为(−1,1)，(−1,14),(−1,−14)，(−1,3+17),(−1,3−17)．
【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键．
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A−1,0，B2,0两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若F为抛物线上一点，连接BC，是否存在以BC为底的等腰△BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−2x2+2x+4；C0,4
(2)存在，点F的坐标为3+898,27+8916或3−898,27−8916
【分析】（1）将点A−1,0，B2,0代入解析式，待定系数法求解析式，进而令x=0，得出点C的坐标；
（2）若存在以BC为底的等腰△BCF，则CF=BF，点F在AC的垂直平分线上，如图，设BC的垂直平分线交y轴于点N，交BC于点M，连接BN，勾股定理得出ON，即可得出点N的坐标，进而根据中点坐标公式得出点M的坐标，待定系数法求解析式求得直线MN的解析式，联立组成方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A−1,0，B2,0两点，
∴a−b+4=04a+2b+4=0，
解得：a=−2b=2，
∴抛物线解析式为：y=−2x2+2x+4，
令x=0，解得：y=4，
∴C0,4；
（2）存在，
∵A−1,0,B2,0,C0,4，
∴OA=1,OB=2,AB=3,OC=4，
若存在以BC为底的等腰△BCF，则CF=BF，点F在AC的垂直平分线上，
如图，设BC的垂直平分线交y轴于点N，交BC于点M，连接BN，
则BN=CN，设ON=n，则BN=CN=4−n，
在Rt△NOB中，ON2+OB2=BN2，
∴n2+22=4−n2，
解得：n=32，
∴点N的坐标为0，32，
∵M为BC的中点，
∴M1,2，
设直线MN得到的解析式为y=kx+b，
∴k+b=2b=32
解得：k=12b=32
∴直线MN的解析式为y=12x+32，
联立y=12x+32y=−2x2+2x+4
解得：x1=3+898,y1=27+8916，x2=3−898,y2=27−8916.
∴点F的坐标为：3+898,27+8916或3−898,27−8916
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过B−3,0,C0,3两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)E−1，2
(3)点P的坐标为(0，0)或(3，0)或32−3,0或−32−3,0
【分析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解；
(3)求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点B−3,0,C0,3的坐标代入抛物线解析式得
−9−3b+c=0c=3，
解得b=−2c=3，
故抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵点A、B关于直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为点E，如下图，
则此时AE+CE=BE+CE=BC为最小，
设直线y=mx+n经过B(−3，0)，C(0，3)两点，
∴−3m+n=0n=3，
解得m=1n=3，
∴直线BC的解析式为y=x+3；
当x=−1时，y=x+3=2，
∴点E−1，2；
（3）解：∵B−3,0,C0,3，
∴OB=OC=3，
∴BC=32+32=32，
当B为顶角的顶点时，
则PB=32，
∴点P的坐标为32−3,0或−32−3,0；
当C为顶角的顶点时，
则PC=BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为(3，0)；
当BC为底边时，
则PC=PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为(0，0)；
综上，点P的坐标为(0，0)或(3，0)或32−3,0或−32−3,0．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
5．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过B(−3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，则m=_____________；n=_____________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)1，3
(3)点E（−1，2）；
(4)点P的坐标为(0，0)或(3，0)或(32−3，0)或(−32−3，0)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解；
（4）求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点B(−3，0)，C(0，3)的坐标代入抛物线解析式得
−9−3b+c=0c=3，解得b=−2c=3，
故抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：∵直线y=mx+n经过B(−3，0)，C(0，3)两点，
∴−3m+n=0n=3，解得m=1n=3，
∴直线BC的解析式为y=x+3；
故答案为：1，3；
（3）解：∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵点A、B关于直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为点E，如下图，
则此时AE+CE=BE+CE=BC为最小，
当x=−1时，y=x+3=2，
∴点E（−1，2）；
（4）解：∵B(−3，0)，C(0，3)，
∴OB=OC=3，
∴BC=32+32=32，
当B为顶角的顶点时，
则PB=32，
∴点P的坐标为(32−3，0)或(−32−3，0)；
当C为顶角的顶点时，
则PC=BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为(3，0)；
当BC为底边时，
则PC=PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为(0，0)；
综上，点P的坐标为(0，0)或(3，0)或(32−3，0)或(−32−3，0)．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC的直角顶点C（0，12），斜边AB在x轴上，且点A的坐标为（﹣9，0），点D是AC的中点，点E是BC边上的一个动点，抛物线y＝ax2+bx+12过D，C，E三点．

（1）当DE∥AB时，
①求抛物线的解析式；
②平行于对称轴的直线x＝m与x轴，DE，BC分别交于点F，H，G，若以点D，H，F为顶点的三角形与△GHE相似，求点m的值．
（2）以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰△EDI，且I点落在x轴上．若在x轴上满足条件的I点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）①y=−16x2+712x+12；②m的值为72或0；（2）点E的坐标为（1532﹣9，150−4538）或（12，3）．
【分析】（1）①先根据点A、点C坐标求出点D坐标，再根据三角函数求出CE=10，进而可得点E的坐标为（8，6），把点E和点D坐标代入y＝ax2+bx+12中即可求解；
②分∠GEH＝∠FDH和∠GEH＝∠DFH两种情况讨论，根据三角函数求得DH的长，进而可求得m的长；
（2）分两种情况：EI⊥AB时，设EI＝x，根据已知条件和三角形相似比可求得EI、BE的长，根据勾股定理求出AB、OB的长，再根据三角形相似比可求出BI的长，进而可得到点E坐标；以点E为圆心，DE为半径作圆，交x轴于点H，过点D作DI⊥AB于I，过点E作EM⊥AB于点M，同样根据已知条件和三角形相似比可求出点E坐标．
【详解】（1）①∵点A（﹣9，0），点C（0，12），
∴AO＝9，CO＝12，
在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=15，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝12AC＝152，点D的坐标为(−92,6)，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠CAB，
∴CE＝CD•tan∠CDE＝CD•tan∠CAB＝152×129=10，
可得点E的坐标为（8，6），
把E（8，6）和(−92,6)代入y＝ax2+bx+12，
得814a−92b+12=664a+8b+12=6 ，
解得a=−16b=712 ，
∴抛物线的解析式为y=−16x2+712x+12．
②当∠GEH＝∠FDH时，可得DHHF=tan∠HGE=43，
解得DH＝8，
∴m=−92+8=72；
当∠GEH＝∠DFH时，可得DHHF=tan∠HEG=34，
解得DH=92，
∴m=−92+92=0．
综上所述，m的值为72或0．
（2）如图，过点E作EI⊥AB于I．

当ED＝EI时，满足条件，设EI＝x，
∵EI∥OC，
∴EIOC＝EBBC，
∵OC＝12，BC＝OC2+OB2＝122+162＝20，
∴x12＝BE20，
∴BE＝53x，
∴EC＝20﹣53x，
∵DE2＝CD2+EC2＝（152）2+（20﹣53x）2，
∴（152）2+（20﹣53x）2＝x2，
整理得，64x2﹣2400x+16425＝0，
解得x＝150−4538或150+4538（舍弃），
∴BE＝53x=53×150−4538=250−7538，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=152+202=25
∴OB=AB−OA=25−9=16
∵EI∥OC，
∴BEBC=BIOB，
250−753820=BI16 ，
BI=25−1532，
OI=16−(25−1532)=1532−9，
∴E（1532−9，150−4538）．
如图2﹣2中，以点E为圆心，DE为半径作圆，交x轴于点H，过点D作DI⊥AB于I，过点E作EM⊥AB于点M，当ED＝EI时，满足条件．

则点E为DH中点，
由D点坐标为(−92,6)可知点E纵坐标为3
由题可知，△EMB∼△COB
∴EMCO=MBOB，
即312=MB16，
MB=4,
OM=14-4=12，
此时E（12，3），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（1532−9，150−4538）或（12，3）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识，有一定困难，灵活并综合应用所学知识是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点C（0，32），点D是抛物线的顶点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F（0，b）在y轴上，连接AF，点Q是线段AF上的一个动点，P是第一象限抛物线上的一个动点，当b＝﹣2时，求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标；
（3）如图2，点C1与点C关于抛物线对称轴对称．将抛物线y沿直线AD平移，平移后的抛物线记为y1，y1的顶点为D1，将抛物线y1沿x轴翻折，翻折后的抛物线记为y2，y2的顶点为D2．在（2）的条件下，点P平移后的对应点为P1，在平移过程中，是否存在以P1D2为腰的等腰△C1P1D2，若存在请直接写出点D2的横坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x2+22x+32；（2）当m＝32时，S四边形CQBP取得最大值7528，此时P点坐标为（32，1524）；（3）存在，满足要求的D2的横坐标有：−73+335746，−73−335746，−48+1173492，−48−1173492．
【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线解析式当中求出a与c的值即可；
（2）先求出B、F坐标，然后可以证明AF与BC平行，于是△QBC的面积就等于△ABC的面积，问题就转化为求△PBC的面积的最大值，作PE∥y轴交直线BC于E，设P点的横坐标为未知数m，将E点坐标也用m表示，PE的长度用P、E纵坐标之差表示，于是△PBC的面积就可以表示成关于m的二次函数，通过配方法即可求出最值及P点坐标．
（3）由于限定了以P1D2为腰，因此分两大类分别列方程计算即可．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、C（0，32）代入抛物线解析式得：
{−a−2a+c=0c=32
解得：{a=2c=32，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+22x+32．
（2）如图1，连接BC，AC，作PE∥y轴交BC于E．
∵y＝﹣2x2+22x+32＝﹣2（x+1）（x﹣3）．
∴B（3，0），
∵b＝﹣2，
∴F（0，﹣2），
∴OFOA=OCOB＝2，
∴AF∥BC，
∴S△QBC＝S△ABC＝12AB•OC＝62，
由B、C两点坐标可得直线BC的解析式为：y＝﹣2x+32，
设P（m，﹣2m2+22m+32），则E（m，﹣2m+32），
PE＝yP﹣yE＝﹣2m2+42m，
∴S△PBC＝12（xB﹣xC）（yP﹣yE）＝﹣322m2+62m＝﹣322（m﹣32）2+2728，
∴S四边形CQBP＝S△QBC+S△PBC＝S△ABC+S△PBC＝﹣322（m﹣32）2+7528，
∴当m＝32时，S四边形CQBP取得最大值7528，此时P点坐标为（32，1524）．
（3）∵y＝﹣2x2+22x+32＝−2(x−1)2+42，
∴D（1，42），抛物线对称轴为x＝1，
∵C1与C关于直线x＝1对称，
∴C1（2，32），
由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y＝22x+22，
设D1（m，22m+22），
则P1（m+12，2m+724），D2（m，﹣22m﹣22），
∴P1D22=32m2+60m+2278，C1D22=9m2+36m+54，
P1C12=9m2−13m+438，
当P1C1＝P1D2时，9m2−13m+438＝32m2+60m+2278，解得m1=−73+335746，m2=−73−335746．
当C1D2＝P1D2时，9m2+36m+54＝32m2+60m+2278，解得m3=−48+1173492，m3=−48−1173492．
综上所述，满足要求的D2的横坐标有：−73+335746，−73−335746，−48+1173492，−48−1173492．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数图象的基本性质、铅垂高法求三角形面积、配方法求二次函数最值、等腰三角形的存在性问题，解一元二次方程等重要知识点，综合性强，难度较大，特别是第二问，有一定计算量，解答时容易出错．同时注意分类讨论思想在本题中的应用．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC的直角顶点C0,12，斜边AB在x轴上，且点A的坐标为−9,0，点D是AC的中点，点E是BC边上的一个动点，抛物线y=ax2+bx+12过D，C，E三点．
（1）当DE//AB时，
①求抛物线的解析式；
②平行于对称轴的直线x=m与x轴，DE，BC分别交于点F，H，G，若以点D，H，F为顶点的三角形与△GHE相似，求点m的值．
（2）以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰△EDG，且G点落在x轴上.若在x轴上满足条件的G点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）①y=−16x2+712x+12；②m的值为72或0；（2）153−182,150−4538或12,3．
【分析】（1）①先由A、C的坐标求出点D的坐标，由勾股定理求出AC，通过三角函数可求出DE，即可得到E点坐标，然后将D、E代入y=ax2+bx+12即可；②分∠GEH=∠FDH和∠GEH=∠DFH两种情况讨论，根据三角函数求解；
（2）分两种情况：①EG⊥AB，②以E为圆心DE为半径作圆，交AB延长线于M，过E作EH⊥AB于H， D、E、M三点共线时．
【详解】（1）①∵点A−9,0，点C0,12，
∴AO=9，CO=12，
在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=15，
∵点D是AC的中点，
∴点D的坐标为−92,6，CD=12AC=152，
∵DE//AB，
∴∠CDE=∠CAB，
∴cs∠CDE=CDCE=cs∠CAB=AOAC，即152CE=915，
∴CE=252，
∴E的坐标为−92+252,6，即8,6，
把E8,6和D−92,6代入y=ax2+bx+12，
得814a−92b+12=664a+8b+12=6，
解得a=−16b=712，
∴抛物线的解析式为y=−16x2+712x+12.
②当∠GEH=∠FDH时，可得DHHF=tan∠HGE=43，
解得DH=8，
∴m=−92+8=72；
当∠GEH=∠DFH时，可得DHHF=tan∠HEG=34，
解得DH=92，
∴m=−92+92=0.
综上所述，m的值为72或0.
（2）若在x轴上满足条件的G点有且只有一个，则有两种情况，
第一种情况，EG⊥AB，如图，
∠A+∠B=90°，∠B+∠BCO=90°，∠B+∠BEG=90°，
∴∠A=∠BCO=∠BEG，
∴△AOC∽△COB，△AOC∽△COB，
∴AOEG=ACBE，AOOC=ACBC，
∴9EG=15BE，即EGBE=35，
912=15BC，即BC=20，
设EG=DE=3x，则BE=5x，CE=20−5x，
在直角三角形CDE中，CD2+CE2=DE2，
∴1522+20−5x2=3x2，
解得x=50−1538或x=50+1538（舍），
EG=DE=3x=150−4538，
由AOEG=EGGB，AOEG=OCOB得BG=50−1532，OB=16，
∴OG=OB−BG=153−182，
∴E点坐标为153−182,150−4538，
第二种情况如图，以E为圆心DE为半径作圆，交AB延长线于M，过E作EH⊥AB于H， D、E、M三点共线时，
则E为DM的中点，
由D−92,6可知E的纵坐标为3，即EH=3，
由题可知△EHB∽△COB，
∴EHCO=HBOB即312=HB16,
∴HB=4，OH=OB-HB=16-4=12，
∴E点坐标为12,3，
∴答案为153−182,150−4538或12,3．
【点睛】本题考查了二次函数、相似和圆的知识，考察范围较广，属于较难题．
9．如图，已知二次函数图象的顶点为A(1，－3)，并经过点C(2，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)直线y＝3x与该二次函数的图象交于点B(非原点)，求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)点Q在x轴上运动，求出所有使得△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．
【答案】（1）y＝3x2－6x；（2）9；（3）满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－10，0)或(10，0)或(5，0)．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-3，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；
（3）分三种情况进行讨论即可得.
【详解】(1)由二次函数图象的顶点为A(1，－3)可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3，
∵其图象过点C(2，0)，∴0＝a－3，解得a＝3，
∴该二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3＝3x2－6x；
(2)由题意得y=3xy=3x2−6x，解得：x1=0y1=0，x2=3y2=9，
∵交点不是原点，
∴点B的坐标为(3，9)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(1，－3)，B(3，9)分别代入可得−3=k+b9=3k+b，解得：k=6b=−9，
所以直线AB的函数表达式为y＝6x－9，
令y＝0，得x＝32，
设直线AB与x轴的交点为D，则OD＝32，
∴S△AOB＝S△BOD＋S△AOD＝12×32×9＋12×32×3＝9；
(3)△AOQ是等腰三角形分以下三种情况：
①AO＝AQ，此时点Q与点C重合，
∴点Q的坐标为(2，0)；
②OQ＝OA，
由A(1，－3)可求得OA＝10，∴OQ＝10，
∴此时点Q的坐标为(－10，0)或(10，0)；
③QO＝QA，如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则AQ＝x，OE＝1，AE＝3，
设OQ＝x，则AQ＝x，EQ＝x－1，
在Rt△AEQ中，AQ2＝EQ2＋AE2，
∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴此时点Q的坐标为(5，0)，
综上，满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－10，0)或(10，0)或(5，0)．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及了待定系数法、三角形的面积，等腰三角形的性质、勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
10． 如图，抛物线y = —2x 2 +x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求线段AB长；
（2）证明：OP=PC；
（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，⊿OBC的面积为S，请求出S与m间的函
数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，⊿PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使⊿PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
【答案】（1）AB＝2；
（2）OP＝PC；
（3）当0＜m＜22时，S＝1−2m2；当22＜m＜2时，S＝2m−12；
（4）（0,1）或（22,1－22）
【详解】试题分析：先利用二次函数与x轴、y轴的交点的性质，求得A、B的坐标，再利用勾股定理求得AB的长；
利用全等三角形的证明方法证得△PMO≌△CNP，进而得到OP＝PC；利用分类讨论思想，求得S的函数关系式；根据等腰三角形的性质，分类讨论，进而求得P的坐标．
试题解析：（1）当x=0时，y=1，当y=0时，x=1或-12时，但-12不合题意舍去，所以A（0，1）、B（1,0），∴AB＝2
（2）∵∠A==∠APM, 所以，AM="PM," ∴1-AM=1-PM, 既OM=PN,易证 △PMO≌△CNP∴OP＝PC
（3）①CM=AN=22m．∴BC="1-" 22m , 当0＜m＜22时，BC＝1－22m－22m＝1－2m
∴S＝1−2m2
②当22＜m＜2时，BC＝2m－1，S＝2m−12
（4） （0,1）或（22,1－22）
考点：二次函数的综合问题；分类讨论思想
【题型2 存在性直角三角形类】
11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，且经过A1,0，C0,3两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC的函数表达式；
(3)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(4)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)BC的函数表达式为y=x+3
(3)M−1,2
(4)P的坐标为−1,−2或−1,4或−1,3+172或−1,3−172
【分析】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，勾股定理；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据对称性求得点B的坐标，进而根据待定系数法求直线BC的解析式即可求解；
（3）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，把x=−1代入直线y=x+3即可求解；
（4）设P−1,t，分别求得BC2,PB2,PC2，进而分类讨论，根据勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=−1，抛物线经过点A1,0，C0,3，
∴可得−b2a=−1,a+b+c=0,c=3,
解得：a=−1,b=−2,c=3,
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3．
（2）∵抛物线y=−x2−2x+3的对称轴为x=−1，且抛物线经过A1,0，
∴点B的坐标为−3,0
∴把B−3,0，C0,3分别代入直线y=mx+n，
得−3m+n=0,n=3,
解得：m=1,n=3,
∴直线BC的函数表达式为y=x+3．
（3）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小
把x=−1代入直线y=x+3得，
y=−1+3=2，
∴M−1,2，
（4）设P−1,t，
又∵B−3,0，C0,3
∴BC2=18，
PB2=−1+32+t2=4+t2，
PC2=−12+t−32=t2−6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，
即：18+4+t2=t2−6t+10，
解之得：t=−2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，
即：18+t2−6t+10=4+t2，
解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即：4+t2+t2−6t+10=18，
解之得：t1=3+172，t2=3−172
综上所述P的坐标为−1,−2或−1,4或−1,3+172或−1,3−172
12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过A1,0，C0,3两点，与x轴交于点B
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴直线x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之差最大，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．（直接写出结果）
【答案】(1)抛物线解析式y=−x2−2x+3
(2)M −1,6
(3)P点坐标为−1,−2，−1,4，−1,3+172，−1,3−172
【分析】（1）由对称轴公式及A、C两点的坐标代入直接求解即可；
（2）连接AC并延长与对称轴的交点即为M点；
（3）设出P点的纵坐标，分别表示出BP，PC，BC三条线段的长度的平方，分三种情况，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意的−b2a=−1a+b+c=0c=3，解得：a=−1b=−2c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3；
（2）
设直线AC解析式y=mx+n，
把A1,0，C0,3分别代入直线y=mx+n得：
m+n=0n=3，解得：m=−3n=3，
∴直线AC解析式为y=−3x+3，
设直线AC与对称轴x=−1的交点为M，
则此时MA−MC的值最大，
把x=−1代入直线y=−3x+3，得y=6，
∴ M−1,6，
即点M到点A的距离与到点C的距离之差最大时M的坐标为−1,6；
（3）
设P−1,t，又点B与点A关于直线x=−1对称，
∴ B点坐标为−3,0，
又C0,3，
∴ BC2=18，PB2=−1+32+t2=4+t2，PC2=t−32+12=t2−6t+10，
若B为直角顶点，则： BC2+PB2=PC2，
即：18+4+t2=t2−6t+10，解得：t=−2；
若C为直角顶点，则：CB2+PC2=PB2，
即：18+t2−6t+10=4+t2，解得：t=4；
若P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即：4+t2+t2−6t+10=18，解得：t=3±172．
综上所述，满足要求的P点坐标为−1,−2，−1,4，−1,3+172，−1,3−172．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，一元二次方程等知识点．第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨论是解答的关键．
13．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过A1,0，C0,3两点，与x轴的另一个交点为B．

(1)若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)y=−x2−2x+3；y=x+3
(2)(−1,2)
(3)(−1,−2)或(−1,4)或(−1, 3+172 )或(−1, 3−172 )
【分析】（1）先待定系数法求得抛物线解析式，进而求得点B的坐标，然后根据B,C的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=−1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P(−1,t)，又因为B(−3,0)，C(0,3)，所以可得BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2−6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过A1,0，C0,3两点，
∴−1+b+c=0c=3
解得：b=−2c=3
∴抛物线解析式为：y=−x2−2x+3
当y=0时，−x2−2x+3=0
解得：x=−3或x=1
∴B−3,0
将点B−3,0，C0,3代入直线BC的解析式为y=mx+n，
∴−3m+n=0n=3
解得：m=1n=3，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
（2）∵y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴对称轴是直线x=−1，
设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=−1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M(−1,2)，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(−1,2)；
（3）设P(−1,t)，又∵B(−3,0)，C(0,3)，
∴BC2=18，PB2=−1+32+t2=4+t2，PC2=−12+t−32=t2−6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2
即：18+4+t2=t2−6t+10
解得：t=−2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2
即：18+t2−6t+10=4+t2
解得：t=4，
③若点P为直角顶点，则18+t2−6t+10=4+t2
即：4+t2+t2−6t+10=18
解得：t1= 3+172，t2= 3−172；
综上所述P的坐标为−1,−2或−1,4或(−1, 3+172 )或(−1, 3−172 )
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−2,0，B4,0，与y轴正半轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y=mx+n经过B，C两点．

(1)求拋物线及直线BC的函数表达式；
(2)点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
(3)若点P是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点P为直角顶点的Rt△APC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−0.5x2+x+4，y=−x+4
(2)F1,3，42
(3)存在，P1,1或P1,3
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A、B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，进而求解；
（3）设P1,t，可得PA2=9+t2，PC2=1+t−42，AC2=20，再由勾股定理得PA2+PC2=AC2，列出方程求解即可．
【详解】（1）由点A的坐标知，OA=2，
∵OC=2OA=4，故点C的坐标为0,4，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：
4a−2b+c=016a+4b+c=0c=4，
解得a=−12b=1c=4，
故抛物线的表达式为y=−12x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
0=4m+nn=4，
解得m=−1n=4，
故直线BC的表达式为y=−x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，

理由：由函数的对称性知，AF=BF，
则AF+FC=BF+FC=BC为最小，
当x=1时，y=−x+4=3，故点F1,3，
由点B、C的坐标知，OB=OC=4，
则BC=2BO=42，
即点F的坐标为1,3、FA+FC的最小值为42；
（3）存在
设P1,t，
∵A−2,0，C0,4，
∴PA2=9+t2，PC2=1+t−42，AC2=20，
∵以点P为直角顶点的Rt△APC，
∴PA2+PC2=AC2，
9+t2+1+t−42=20，
t1=1，t2=3，
∴P1,1或P1,3．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
15．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a≠0相交于A12,52和B4,c，点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？求这个最大值；
(3)是否存在这样的点P，使△PAC为直角三形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=2x2−8x+6．
(2)线段PC最大且为498，P94,174．
(3)△PAC为直角三角形时，点P得坐标为3,5或72,112．
【分析】（1）已知B4,c在直线y=x+2上，求得c的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式；
（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC的长度与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵B4,c在直线y=x+2上，
∴c=4+2=6，
∴B4,6，
∵A12,52、B4,6在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴52=122a+12b+66=16a+4b+6，解得a=2b=−8，
∴抛物线的解析式为y=2x2−8x+6．
（2）设动点P得坐标为n,n+2，则C点得坐标为n,2n2−8n+6，
∴PC=n+2−2n2−8n+6=−2n2+9n−4=−2n−942+498，
∵−2