二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点7数列单调性的判断方法（七）——构造函数法

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微点7 数列单调性的判断方法（七）——构造函数法
【微点综述】
由于数列是定义在自然数集或其子集的函数，因此，可以根据数列的通项公式、递推公式或其他关系式构造函数，利用常见函数的单调性或利用导数等方法来判断相应函数的单调性，从而判断出相应数列的单调性．
【典例刨析】
数列是一种定义域为正整数集（或它的有限子集）的特殊函数，具有函数的一些固有特征，在解决数列问题时常利用函数的性质去分析．定义：如果数列的通项公式为，则称函数为数列的背景函数．下面给出几种通过数列的背景函数来研究其单调性的方法．
一、构造函数，利用函数的单调性来研究数列单调性
1．已知数列的通项，判断数列的单调性．
2．已知数列中，试判断数列的单调性．
3．设函数，数列满足且，试判断数列的单调性．
4．已知数列满足：且，求证：数列是单调递减数列．
5．已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为 ．
6．已知数列满足，，，证明：数列不是单调数列．
7．已知数列、、、，其中、、、是首项为，公差为的等差数列；、、、是公差为的等差数列；、、、是公差为的等差数列.
(1)若，求；
(2)试写出关于的关系式，并求的取值范围；
(3)续写已知数列，使得、、、是公差为的等差数列，，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
二、利用复合函数的观念认识数列单调性求解应用问题
8．某市场以每件100元的价格购进某种商品．卖出时，每件赚1元，则每天可卖出48件；市场调查发现，若每件的卖出价格每提高1元，则销售量将减少4%，且该商品货源充足．若商场以每件该商品赚取元的价格卖出该商，每件多少元的价格卖出时，该商场由此商品获得的利润最大?
三、避免错误
数列是刻画离散现象的数学模型，是高中代数的重要内容之一由于数列可看作是特殊的函数，而导数是解决函数单调性问题的有力工具，自然而然就想到用导数来解决有关数列单调性问题．但由于未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区别，导致求解数列单调性问题时常产生诸多错误，我们要避免这些错误．
9．已知数列中，，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．
【总结与反思】
∵数列是特殊的函数，∴数列的单调性问题也可以借助函数的单调性来研究，但是数列的单调性与函数的单调性是有区别的：函数的定义域是连续的区间或区间的并集，而数列的定义域是正整数集或它的有限子集，因此在解题一定要引起重视，避免出错．
【针对训练】
11．已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023河北唐山一中上学期期末）
12．关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（ ）
A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项
B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项
C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项
D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项
13．若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
（2023广西三新联盟联考）
14．已知数列的前项和为，，，对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64B．C．D．
（2023江苏南通如皋上学期期末）
15．在数列中，若存在不小于2的正整数使得且，则称数列为“数列”.下列数列中为“数列”的是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
17．已知，记表示中的最大值，表示中的最小值．若，，数列和满足，，，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则存在正整数，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在正整数，使得
（多选题）
18．已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
19．已知数列的前项和为，，则该数列的通项公式 ；若为严格递减数列，则实数的取值范围是 ．
（2023上海浦东复旦附中分校月考）
20．已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .
21．已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，求的取值范围．
（2023安徽六安一中月考）
22．已知数列是公差不为0的等差数列，为的前项和，，且为与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和；
(3)若，判断数列是否存在最大项，若存在，求的最大项，若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．当且时，数列单调递减；当时，数列单调递减.
【分析】构造函数，由其单调性得出数列的单调性．
【详解】．设函数，
作出函数的图像（如图），对称中心．
由图像可知：函数在上单调递减，在上单调递减，
故当且时，数列单调递减；当时，数列单调递减.
2．当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列．
【分析】解法一：构造函数，利用其单调性得出数列的单调性．
解法二：分类讨论和两种情况，结合定义判断数列的单调性．
【详解】解法一：对于，当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列．
解法二：当时，，即，此时数列单调递减；当时，，即，此时数列单调递增．
综上所述：当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列．
3．单调递增数列
【分析】构造三角函数利用数学归纳法证明，利用降幂缩角公式及余弦函数的单调性解决问题．
【详解】设，则
，且，
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，成立.
（2）假设时，成立，那么时，
即时，成立.
由（1）（2）可知，成立.
又在上单调递减，，
即为单调递增数列．
4．证明见解析
【分析】由于已知式的左右两边结构相同，故采用“同构法”，构造函数，利用的单调性解决问题．
【详解】，
构造函数在上是单调递减的，
又，所以数列是单调递减数列．
5．
【解析】由已知可得出，解得，结合，可得，令，求出数列的最大项的值，可得出的取值范围，进而可得出的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意，都有，则，则，
整理可得，，
解不等式可得，
当时，，所以，，
令，
则数列为单调递减数列，所以，，，
所以，.
下面来说明，当时，对任意的，.
由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
，则，可得，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，
则，可得，
假设当时，，
由于函数在上为增函数，则，
可得.
由上可知，当时，对任意的，.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式恒成立求数列首项的取值范围，解题的关键就是由得出关于的不等式，通过解不等式可得出关于数列不等式恒成立，进而转化为数列最值来求解.
6．证明见解析
【分析】利用特殊值即可得证.
【详解】证明：∵，…，
∴不是单调数列．
7．(1)
(2)，且的取值范围是
(3)答案见解析
【分析】（1）求出的值，再由可求得的值；
（2）根据等差数列的定义可得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；
（3）根据题意归纳出：当时，数列、、、是公差为的等差数列，可以续写出已知数列，并利用类似（2）中的方法归纳出的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，.
（2）解：，，
因为，.
（3）解：所给数列可推广为无穷数列，其中、、、是首项为，公差为的等差数列，
当时，数列、、、是公差为的等差数列，
研究的问题是：试写出关于关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得，
当时，的取值范围为
8．124元或125元
【分析】由每天利润，结合数列的单调性求解即可.
【详解】设每天利润为，
，
当时，；当时，；当时，，
即，故数列的最大项是第24项和第25项，
所以以每件124元或125元的价格卖出时，该商场由此商品获得的利润最大．
9．A
【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.
【详解】由已知得，
因为为递增数列，所以有，即恒成立，
所以，所以只需，即，
所以，
故选A.
【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.
10．
【分析】根据分段函数的单调性结合数列的性质求解.
【详解】依题意，可得，即，解得．
11．A
【分析】作出函数和的图象，结合图象分析求解.
【详解】因为是递增数列，所以，即．
如图所示，作出函数和的图象，
由图可知，当时，，且．
故当时，，且，
依此类推可得，
满足是递增数列，即的取值范围是．
故选:A.
12．A
【分析】依题意可得，根据反比例函数及指数函数的性质分析函数的单调性与值域，即可得到数列的单调性，即可判断.
【详解】解：函数，
令，由，解得，所以函数的定义域为，
因为且，所以，
则，则，所以函数无最大、最小值；
又在，上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在，上单调递减，且当时，
因为
对于数列，
则，，且时，
所以数列有最小项，有最大项.
故选：A
13．B
【分析】由题意，对，，即，结合的单调性求解即可.
【详解】由题意，对，，
即，
即，对恒成立，
由于在上单调递增，故，
故.
即.
故选：B
14．B
【分析】根据和的关系，可推出，.则不等式等价于，令，只需要即可.根据对勾函数的性质，可得出，当时，有最小值.
【详解】当时，，
当时，，
经检验满足.
∴，所以.
又对任意，不等式恒成立，
∴，对任意恒成立，
即，对任意恒成立.
令，.则只需要即可.
，，
由对勾函数性质知在递减，在递增，而，
，.
所以，当时，有最小值.
所以，.
故选：B.
15．C
【分析】利用“数列”定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，，，，数列是单调递增数列，
所以数列不是“数列”，故A错误；
对于B， ，，，数列是单调递增数列，
所以数列不是“数列”，故B错误；
对于C，对于函数，令，，
因为，所以，，所以，
在上为单调递增函数，
令，，
因为，所以，，所以，在上为单调递减函数，
所以对于，当时，有，当时，有，存在使得数列是“数列”，故C正确；
对于D，，时，因为的单调递增数列，是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数使得且，所以数列不是“数列”，故D错误.
故选：C.
16．A
【分析】根据指数函数的性质判断，即可猜想数列的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.
【详解】因为，
所以，，
因为指数函数单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，
由此可猜想数列的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，
因为，当时，，
所以，
所以（），
因为，所以，所以，
进而可得，
以此类推可得且，
因为当时，，，
所以，
所以，
所以（），
由，得，即，
由，得，
以此类推单调递减，
所以，
所以，
故选：A.
17．B
【分析】作出，，图象，结合图象得到的通项，并确定的解所处的范围；根据二次函数的性质可验证得到当时，，进而确定，知A错误；当或或时，易知极限值为；在、、和时，根据通项公式可推导得到的单调性，并确定其存在极限，设极限值为，根据和可确定极限值，进而可知B正确；根据的单调性可知C错误；由已知定义可知，知D错误.
【详解】设的解为，作出，，图象如下图所示，
，；
，，结合图象可知：；
对于A，，，
，以此类推，，
，；
，
不存在正整数，使得，A错误；
对于B，当或或时，，，即；
当时，，且，
，且，
以此类推，则有，有极限；
当时，，，
以此类推，则有，又，有极限；
当时，，，
，
以此类推，则有当时，；又，有极限；
当时，，
且，
且，
以此类推，则有当时，，有极限；
综上所述：当且时，无论取何值，都有极限，且当时，；
令，则，，解得：或；
当时，，，，B正确.
对于C，当时，，，
以此类推，则为递增数列，无极限，C错误；
对于D，，，
不存在正整数，使得，D错误.
故选：B.
18．AB
【分析】根据数列单调性的性质可知，然后可得，根据不等式恒成立的条件可知得取值范围.
【详解】解：由题意得：
数列是递减数列
对于一切的恒成立
即对于一切的恒成立
故对于一切的恒成立，当时，有最大值
故，所以
故选：AB
19． 或
【分析】利用与的关系直接求解即可得到；结合通项公式，可知时满足题意；若，则只需，由此可求得的取值范围.
【详解】当时，；
当且时，；
若，则满足；此时；
若，则不满足，此时.
综上所述：或；
当时，，满足为严格递减数列，
当时，若，则，满足严格递减；
若为严格递减数列，只需，即，解得：且；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：或；.
20．
【分析】根据数列是单调递增数列，对实数分类讨论，通过并利用函数单调性即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得，则，即，
当时，解得或；
当时，不等式无解；
又因为，所以
即，又，所以
即；
又因为，易得
所以，，解得或
利用对勾函数性质可知，函数在上满足恒成立，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
21．
【分析】根据递增数列的定义直接求解即可.
【详解】依题意对于 ，都有 ，
即 ， ，
，∴ ，
故答案为： .
22．(1)；
(2)；
(3)存在，最大项为.
【分析】（1）由等差数列及前n项和定义、等比中项性质列式可解出，，即可写出等差数列的通项；
（2）由错位相减法求和；
（3），取对数得，由导数法讨论的最大值，结合为正整数，即可求得的最大项
【详解】（1）设的首项为，公差为，则，
∵为和的等比中项，∴，即，
可解得，，∴；
（2），①，
②，
由①-②得，
∴.
（3），
令，
当时，，当时，，
∴在上单增，在上单减，故最大值为，
∵为正整数，故，
又，，且，
∴，∴的最大项为.