二轮复习【数列专题】专题3等差数列的判断（证明）方法微点3性质法

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微点3 性质法
【微点综述】
可以应用如下性质证明数列数列是等差数列：
（1）且，则数列是等差数列；
（2）数列是等差数列（为常数，）成等差数列.
也利用如下性质（结论）证明或判断等差数列
若数列是公差为等差数列，则
【典例刨析】
1．等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：
（1）成等差数列，也可能成等比数列；
（2）成等差数列，但不可能成等比数列；
（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是 .（填所有正确的序号）
【反思】此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．
（2023安徽安庆宿松中学月考）
2．下列说法正确的是（ ）
A．已知数列是等差数列，则数列是等比数列
B．已知数列是等比数列，则数列是等差数列
C．已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列
D．已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列
（2023浙江舟山期末考试）
3．已知是正项等差数列，首项为，公差为，且，为的前n项和（n∈），则（ ）
A．数列是等差数列B．数列{}是等差数列
C．数列是等比数列D．数列{}是等比数列
4．数列和都是等差数列，，，，则数列的前100项和等于 ．
5．命题p：是等差数列；命题q：等式对任意n恒成立，其中k，b是常数．
(1)若p是q的充分条件，求k，b的值；
(2)对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
【反思】利用Sn与an的关系，将条件转化为an与an－1的递推关系，再次作差（消去a1），转化为2an－1＝an－2＋an，进而证明等差数列．
6．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），.数列满足.
(1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项，使得，求的公比.
【总结与反思】
数列是等差数列（常数，）（为常数，）（为常数，）成等差数列（为任意正整数，且）.
【针对训练】
（2023陕西咸阳高二上学期期中考试）
7．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A．数列，，，…，…为等差数列
B．数列，，，…，，…为等差数列
C．数列为等差数列
D．数列为等差数列
（2023陕西安康一模）
8．定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为（ ）
A．2026B．1015C．1014D．1013
9．在数列中，，，且当时，有，则 ．
10．①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为 .
11．等差数列首项为，公差为；等差数列首项为，公差为；如果，且，，则 .
12．已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设则数列的前项和= .
13．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，则数列的公差为 ．
14．已知等差数列的首项为，公差为d．
(1)将数列中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，那么公差是多少？
(2)由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是，那么它的首项和公差分别是多少？
15．如果等差数列的前n项和为，那么，，是否成等差数列？你能得到更一般的结论吗？
（2023山东莘县一中高二上学期期末）
16．已知等差数列的前项和为，若
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:数列为等差数列.
17．正整数数列满足（，为常数），其中为数列的前项和．
(1)若，，求证：是等差数列；
(2)若数列为等差数列，求的值．
参考答案：
1．(2)(4)
【分析】根据等差数列的性质、通项公式、定义及等比中项可判断各结论.
【详解】根据等差数列的性质，，，
所以，
所以成等差数列，
因为
，因此(1)错误，(2)正确；
由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．
故答案为： (2)(4)．
2．AC
【分析】对于ACD，根据等差数列和等比数列的定义判断即可；对于B，根据对数函数的定义域必须大于0即可判断；
【详解】设，，故A正确．
中，，但中可能，不成立，故B错误．
设，且，，则，为常数，故C正确．
设，，，则，．
当时，不恒为定值，故D错误．
故选：AC
3．AC
【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可判断A、C；用特值法即可判断B、D．
【详解】由题意得，.
因为数列是等差数列，，所以数列是等差数列，故A正确；
当时，，，因为，所以数列{}不是等差数列，故B错误；
因为，所以数列是等比数列，故C正确；
当时，，，数列{}不是等比数列，故D错误，
故选：AC.
4．5250
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】解：因为数列和都是等差数列，
所以数列是等差数列，
又因为，，，
所以数列的前100项和为，
故答案为：5250
5．(1)
(2)p为q的必要条件，理由见解析
【分析】（1）根据题意，将等式裂项相消化简，然后令，即可得到，然后代入检验即可得到结果；
（2）将（1）中的值代入，当时，可得，然后两式相减，化简之后再当时，，两式再相减，即可得到结果.
【详解】（1）设的公差为d，
当时原等式可化为
，所以，
即对于恒成立，
令解得．
当时，对于恒成立，
所以．
当时，也成立．
综上，．
（2）当时， ①对于任意的恒成立．
当时，②，
由①－②得，
，即③．
当时，④，
③－④，得当时，，
在③中当时，，
所以时，，即．
所以为等差数列，即p为q的必要条件．
6．(1)
(2).
【分析】（1）仿写式子，两式相减得到，利用等差数列的定义和通项公式进行求解；
（2）构造数列，利用递减数列得到取值范围，利用数列是特殊的函数，利用导数研究其单调性，利用确定公比的取值.
【详解】（1）因为①，
所以②，
由②-①得， ，
即 ，又，
则，即.
在中令得，，即.
综上，对任意，都有，
故数列是以为公差的等差数列.
又，则.
（2）令，则数列是递减数列，所以.
考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而 .
因为对任意，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显.
若，当时，
有，不符合题意，舍去；
若，当时，
有 ，不符合题意，舍去；
故.
7．C
【分析】利用等差数列的定义判断即可.
【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；
B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；
C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；
D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.
故选：C.
8．B
【分析】先根据递推和夹逼准则将不等条件转化为等式，再将其看成一个等差数列可得的值.
【详解】根据得，又，所以，又
所以是以为首项，为公差的等差数列；
所以
故选：B.
9．
【分析】根据等差中项的性质可知为等差数列，求通项公式计算即可.
【详解】∵，∴数列是等差数列，
∵，，∴数列的公差为，首项为2，
∴，
∴，验证得时成立，故．
故答案为：.
10．①②③④
【分析】对于①：利用等差数列的定义直接判断；
对于②：利用通项公式分别计算出左、右两边，即可证明；
对于③：由等差中项的定义进行判断；
对于④：利用等差数列的定义直接证明.
【详解】对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确；
对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，.
因为，所以.故②正确；
对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确；
对于④：若数列是等差数列，则.
令，则，，所以为同一个常数，
所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确.
故答案为：①②③④.
11．
【分析】根据等差数列定义可判断为等差数列，然后由等差数列通项公式可得.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
12．
【分析】求出的通项公式，从而得到的通项公式，得到为首项为4，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.
【详解】数列，，
所以，
则，，且，
所以为首项为4，公差为1的等差数列，
所以.
故答案为：
13．##
【分析】利用等差数列的定义即得.
【详解】∵数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，
∴.
故答案为：.
14．(1)是，；
(2)是，，．
【分析】（1）由，时，，即可判断出结论．
（2）由，，可得：时，，即可得出结论．
【详解】（1）由，
时，，
所得的新数列仍是等差数列，公差是．
（2）由，
，
时，，
新数列是等差数列，它的首项和公差分别是，．
15．成等差数列，更一般的结论是：如果等差数列的前n项和为，那么，，也成等差数列，证明过程见解析.
【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可.
【详解】设该等差数列的公差为，
，，是等差数列，更一般的结论是：如果等差数列的前n项和为，那么，，也成等差数列，证明如下：
，，也成等差数列
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式列出方程组，解出公差和首项即可求解；
（2）由（1）利用公式法求出等差数列的，可得，进而得，结合等差数列的定义即可判断.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
有，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由(1)知，
，
所以，又，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
17．(1)证明见解析
(2)或．
【分析】（1）根据题意得，证明即可求解；
（2）设等差数列的公差为，，
可得，再根据条件即可求解.
【详解】（1）证明：当，，，可得．
当时，，整理得，
，所以，所以是等差数列．
（2）设等差数列的公差为，，，所以，
所以，
即，①
由①比较二次项得，当时，，解得，，此时，，
由（1）可知是等差数列，当时，有，
由①比较常数项可得，则，，
此时是等差数列．综上可得，或．