2024太原高二上学期期末考试数学含解析

这是一份2024太原高二上学期期末考试数学含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线在轴和轴上的截距分别为（ ）
A ，2B. ，2C. ，D. ，
2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，3D. ，3
3. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A. 1B. 0C. D. 3
5. 设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ）
A B. 4C. D. 5
6. 已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
7. 在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. 2C. 3D.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点到原点距离为
B. 点到直线的距离为1
C. 不论实数取何值，直线：都经过点
D. 是直线的一个方向向量的坐标
10. 当时，方程表示的轨迹可能是（ ）
A. 两条直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线
11. 椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 点到轴的距离为D.
12. 已知为坐标原点，双曲线：（，）左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的标准方程为B.
C. 双曲线的焦距为D. 点到两条渐近线的距离之积为
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 抛物线的焦点坐标为________.
14. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是________.
15. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则________.
16. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为________.
四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）判断的形状.
18. 已知圆的方程为，点在圆内.
（1）求实数取值范围；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
19. 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.
20. 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
21. 已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值.
2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断
数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线在轴和轴上的截距分别为（ ）
A. ，2B. ，2C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用横纵截距的意义求解即得.
详解】直线，当时，，当时，，
所以直线在轴和轴上的截距分别为，2.
故选：B
2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，3D. ，3
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定圆方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：A
3. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.
【详解】因为双曲线方程为：，
所以渐近线方程为：.
故选：D
4. 平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A. 1B. 0C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.
【详解】l1、l2的距离为＝1.
故选：A.
【点睛】本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.
5. 设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，
设点到准线的距离为，则，
如图所示：
当三点共线时，取得最小值，
故选：C
6. 已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可.
【详解】联立，消去得，
所以，此时方程的解为，
所以，
解得，符合，
所以双曲线的焦距为.
故选：B.
7. 在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，
又，两式相减得，
整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，
即.
故选：C.
8. 如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求.
【详解】过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可得，
在直角三角形中，，，
所以.
故选：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点到原点的距离为
B. 点到直线的距离为1
C. 不论实数取何值，直线：都经过点
D. 是直线的一个方向向量的坐标
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由，解得，则点，
对于A，到原点距离，A正确；
对于B，到直线的距离，B错误；
对于C，，当时，直线不过点，C错误；
对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确.
故选：AD
10. 当时，方程表示的轨迹可能是（ ）
A. 两条直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹.
【详解】对方程，
若，则，即，此时该方程表示两条直线与；
若，此时该方程表示椭圆；
若，此时该方程表示双曲线；
综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线.
故选：ABD.
11. 椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 点到轴距离为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论.
【详解】如图：
因为椭圆的标准方程为：，所以：，，.
因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率，
所以必是：.
根据椭圆的定义，，故A正确；
在中，，，
由余弦定理：，故B错误；
由，到轴的距离为：，故C正确；
，故D错误.
故选：AC
12. 已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的标准方程为B.
C. 双曲线的焦距为D. 点到两条渐近线的距离之积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D.
【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点，
因为平分，且，所以，
在中，，所以，
所以，，
即为线段的中点，可得为的中位线，
根据双曲线的定义，
因为为的中位线，所以，即，
离心率为，可得，所以，
所以双曲线的标准方程为，故A错误；
对于B，因为为的中位线，，即，故B正确；
对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确；
对于D，双曲线的标准方程为，
所以渐近线方程为，即，
设，则，即，
点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式.
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 抛物线的焦点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.
【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为，
其焦准距，焦点在x轴负半轴上，
故其焦点坐标为，
故答案为：
14. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解.
【详解】根据题意，，即圆心坐标为；
则圆的半径，
故所求圆的方程为：.
故答案为：.
15. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，结合条件及抛物线的定义可求得，在中，利用余弦即可求出结果.
【详解】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，
过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为．如图所示，
由题意知，因，易知，
又点到准线的距离为：，解得，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
故答案为：.
16. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】向量坐标化得Q的坐标，代入椭圆方程计算求解离心率.
【详解】根据椭圆性质，，，则，则点位于轴上，
设，，其中，
设，由于，得：，即，
代入椭圆得：，即，解得离心率.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）判断的形状.
【答案】（1）；
（2）是等腰直角三角形.
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得.
【小问1详解】
依题意，直线的斜率，则直线的方程为：，
化简得：.
【小问2详解】
直线的斜率，显然，即，是直角三角形，
又，则是等腰三角形，
所以是等腰直角三角形.
18. 已知圆的方程为，点在圆内.
（1）求实数的取值范围；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.
（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.
【小问1详解】
圆：的圆心，半径
由点在圆内，得，解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2，
则直线是过点的圆的切线；
当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为，
由，解得，切线方程为，即，
所以圆的切线方程为或.
19. 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求双曲线方程；
（2）若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c，再求出即可.
（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长，再借助双曲线定义求解即得.
【小问1详解】
拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，直线的方程为，设，，
由，得，显然，
则，，，
因此，
所以的周长为.
20. 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；
（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
得，解得，
故抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：设直线的方程为，，，
由，得，，.
，
，即直线关于x轴对称，
故.
21. 已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求得，则方程得解；
（2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表达，利用基本不等式，即可求得结果.
【小问1详解】
由方程组解得，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题知，直线经过点，且斜率不为0.
设直线的方程为，，，
由得，
显然，，
又，
，
当时，
当时，，
当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的问题；处理第二问的关键是合理转化为，再利用韦达定理和基本不等式解决问题.