2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗三中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗三中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是( )
A. 15B. 14C. 13D. 12
3.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
4.已知点A(m,2)与点B(−1,n)关于原点对称，则m−n的值为( )
A. 3B. −3C. 4D. −4
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=−ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.函数y=−ax+a与y=−ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
8.“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为( )
A. 100(1+x)2=121
B. 100(1+x%)2=121
C. 100(1+2x)=121
D. 100+100(1+x)+100(1+x)2=121
9.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
10.如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC= 2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A. 1−π4
B. π−14
C. 2−π4
D. 1+π4
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB′C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 150°
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：
①abc>0；
②(a+c)2>b2；
③4ac−b2<0；
④1<2b；
⑤m(am+b)其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.方程x2−3x=0的根为______．
14.如图，PA与O相切于A点，∠POA=70°，则∠P的大小是______．
15.扇形半径为3cm，弧长为πcm，则扇形圆心角的度数为______．
16.如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于______．
17.如图，在△ABC中，DE/​/BC，若AD=1，DE=2，BD=3，则BC= ______．
18.已知点(−1,y1)、(2,y2)、(π,y3)在双曲线y=k2+1x上，则y1、y2、y3的大小关系______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m(分别用A1、A2、A3表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用T1、T2表示)．
(1)该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为______；
(2)该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．
求证：△ABC∽△EAD．
21.(本小题12分)
某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)之间有如下关系：t=−20x+800(20≤x≤40)．
(1)请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元．
(2)若超市想获取1500元的利润，求每件的销售价．
(3)若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价x的范围？
22.(本小题10分)
如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，且点B的坐标为(−1,−2)．
(1)求出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)请写出A点的坐标；
(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．
23.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AD=6，求BC的长．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2分别交x轴、y轴于点A、B.点C的坐标是(−1,0)，抛物线y=ax2+bx−2经过A、C两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m(m≠0)．
(1)求点A的坐标．
(2)求抛物线的表达式．
(3)当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：∵随机出一个手势，可以出“石头、剪子、布”中任意一个，
∴出“石头”的概率是13．
故选：C．
直接利用概率公式求解即可．
本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数总情况数．
3.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×k=4−4k>0，
解得：k<1，故A正确．
故选：A．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(m,2)与点B(−1,n)关于原点对称，
∴m=1，n=−2，
故m−n=1−(−2)=3．
故选：A．
直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：由二次函数图象，得出a<0，b<0，
A、一次函数图象，得a<0，b>0，故A错误；
B、一次函数图象，得a>0，b>0，故B错误；
C、一次函数图象，得a<0，b<0，故C正确；
D、一次函数图象，得a>0，b<0，故D错误；
故选：C．
可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6.【答案】A
【解析】解：a>0时，−a<0，y=−ax+a在一、二、四象限，y=−ax(a≠0)在二、四象限，只有A符合；
a<0时，−a>0，y=−ax+a在一、三、四象限，y=−ax(a≠0)在一、三象限，无选项符合．
故选A．
根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限．
7.【答案】C
【解析】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD//BC，DC/​/AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
∴有三对，
故选：C．
根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
此题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定．
8.【答案】A
【解析】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意得100(1+x)2=121．
故选：A．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，掌握为增长率问题的一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，
∴∠DAB=90°−55°=35°，
∴∠BCD=∠DAB=35°．
故选：C．
先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接CD，如图，
∵AB是圆C的切线，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB= 2AC= 2× 2=2，
∴CD=12AB=1，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形ECF
=12× 2× 2−90⋅π⋅12360
=1−π4．
故选：A．
连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．
11.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
即旋转角度为60°．
故选：B．
先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，
12.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为x=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点为2，
∴c=2>0，
∴abc<0，故①错误；
当x=1时，y=a+b+c>0，
当x=−1时，y=a−b+c>0，
∴(a+b+c)(a−b+c)>0，
∴(a+c)2−b2>0，
即(a+c)2>b2，故②正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故③正确；
∵对称轴为x=1，
即−b2a=1，
∴a=−b2，
∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=−b2x2+bx+c，
当x=−2时，y=−b2×4−2b+2<0，
∴−4b<−2，
∴2b>1，故④正确；
当x=1时，y1=a+b+c，
当x=m时，y2=am2+bm+c=m(am+b)+c，
当m<1时，y1>y2，
∴a+b+c>m(am+b)+c，
即a+b>m(am+b)，
同理m>1时，y1>y2，a+b>m(am+b)，
∴m(am+b)故正确的有②③④⑤，共4个．
故选：D．
由抛物线开口方向判断a的符号，由抛物线的与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴的交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：①a由抛物线开口方向确定，开口方向向上，则a>0；否则a<0；②b由对称轴和a的符号确定，由对称轴公式−b2a判断符号；③c由抛物线与y轴的交点确定，交点在y轴正半轴，则c>0；否则c<0；④b2−4ac由抛物线与x轴交点的个数确定，2个交点，b2−4ac>0；1个交点，b2−4ac=0；没有交点，b2−4ac<0．
13.【答案】x1=0，x2=3
【解析】解：x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解，右边等于0时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
14.【答案】20°
【解析】解：∵PA与O相切于A点，
∴∠PAO=90°，
∵∠POA=70°，
∴∠P=180°−90°−70°=20°，
故答案为：20°．
根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15.【答案】60°
【解析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式和已知得出方程nπ×3180=π，求出方程的解即可．
本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于n的方程，题目比较好，难度适中．
解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为πcm，
∴nπ×3180=π，
解得：n=60，
故答案为：60°．
16.【答案】6 3
【解析】解：连接DF，
∵直径CD过弦EF的中点G，
∴DE=DF，
∴∠DCF=12∠EOD=30°，
∵CD是⊙O的直径，⊙O的半径为6，
∴∠CFD=90°，CD=2OD=12，
∴CF=CD⋅cs∠DCF=12× 32=6 3，
故答案为：6 3．
连接DF，根据垂径定理得到DE=DF，得到∠DCF=12∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
17.【答案】8
【解析】解：由DE/​/BC可推出△ADE∽△ABC，
所以ADAB=DEBC，
因为AD=1，DE=2，BD=3，
可求BC=8．
因为DE/​/BC，所以可以判断出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得BC的长．
本题考查了相似三角形的性质．
18.【答案】y2>y3>y1
【解析】解：∵点(−1,y1)在双曲线y=k2+1x上，
∴y1=k2+1−1=−k2−1<0．
∵k2+1≥1，
∴反比例函数y=k2+1x在第一象限内的图象单调递减，
∵2<π，
∴y2>y3>0，
∴y2>y3>y1．
故答案为：y2>y3>y1．
由点(−1,y1)在双曲线上，可得出y1<0，再由k2+1≥1，可得知反比例函数在第一象限内的图象单调递减，由此即可得出y2>y3>0>y1．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的单调性，解题的关键是找出y2>y3>0>y1.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的符号确定反比例函数的单调性是关键．
19.【答案】25
【解析】解：(1)该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=25；
(2)画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1=1220=35．
(1)直接根据概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20.【答案】证明：∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD．
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【解析】根据相似三角形的判定，选择适宜的判定方法，解题时要认真审题，找到两个对应角相等是解决该题的关键。
此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21.【答案】解：(1)由题意可得：y=(x−20)t，
y=(x−20)(−20x+800)
=−20x2+1200x−16000，
当x=−b2a=−12002×(−20)=30时，y最大=(30−20)×(−20×30+800)=2000(元)，
即当每件的销售价是30元时，超市能获取的最大利润是2000元；
(2)由题意得：1500=−20x2+1200x−16000，
解得x1=35，x2=25，
所以每件的销售价为35元和25元；
(3)由(2)可知超市想获取的利润不低于1500元，x的取值范围为：25≤x≤35．
【解析】本题是二次函数实际应用问题，考查了二次函数的性质和一元二次方程，解答(3)时注意结合函数图象解决问题．
(1)根据利润=单件利润×销售量列出y与x的函数关系式，利用对称轴求函数最大值；
(2)令y=1500构造一元二次方程；
(3)由(2)可得答案．
22.【答案】解：(1)由题意，将B(−1,−2)代入y=x+b得，
∴−2=−1+b．
∴b=−1．
∴一次函数的表达式为y=x−1．
将B(−1,−2)代入y=kx，
∴k=−1×(−2)=2．
∴反函数的表达式为y=2x．
(2)由题意，联列方程组y=x−1y=2x，
∴x=−1y=−2或x=2y=1．
∵B为(−1,−2)，
∴A(2,1)．
(3)由题意，∵直线AB为y=x−1，
∴令x=0，y=−1．
∴C(0,−1)．
∴OC=1．
又由图象及A(2,1)，B(−1,−2)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC可
=12×OC×1+12×OC×2
=12×1×3
=32．
【解析】(1)依据题意，将点B坐标代入两个解析式可求b，k的值，从而求得解析式；
(2)依据题意，由(1)两函数解析式组成方程组进行计算，然后结合B(−1,−2)，进而可以判断得解；
(3)依据题意，先由AB解析式求出点C，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC可得答案．
本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD/​/OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC是半径，
∴直线CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADAC=ACAB，
即6AC=AC10
∴AC=2 15，
∴BC= AB2−AC2= 102−(2 15)2=2 10．
【解析】(1)连接OC.只要证明OC⊥DE即可解决问题；
(2)利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题；
本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)令y=−12x+2=0，解得：x=4，y=0，则x=2，
即：点A坐标为：(4,0)，
B点坐标为：(0,2)；
(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式，
解得：b=−32，c=−2，
故：二次函数表达式为：y=12x2−32x−2；
(3)设点M(m,−12m+2)，则Q(m,12m2−32m−2)，
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：|MQ|=±(12m2−m−4)=BD=4，
当12m2−m−4=4，
解得：m=1± 17；
当12m2−m−4=−4，
解得：m=2，m=0(舍去)；
故：m=2或1+ 17或1− 17．
【解析】(1)令y=−12x+2=0，解得：x=4，即可求解；
(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(3)以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|=BD即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．