2023-2024学年山东省烟台市海阳市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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这是一份2023-2024学年山东省烟台市海阳市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知点(2,y1)，(3,y2)在反比例函数y=−k2−1x的图象上，则下列结论正确的是( )
A. y1>y2B. y1C. y1=y2D. y1和y2的大小不能确定
3.如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子( )
A. 逐渐变长
B. 逐渐变短
C. 先变长后变短
D. 先变短后变长
4.如图，某人从山脚下的点A走了130m到达山顶的点B，已知点B到山脚A的垂直高度BC为50m.若用课本上的科学计算器求坡角∠A的度数，则下列按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A. 12
B. 1010
C. 55
D. 2 55
6.已知点A(a,2)，B(b,2)，C(c,7)都在抛物线y=(x−1)2−2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( )
A. 若c<0，则aC. 若c>0，则a0，则a7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12，以点O为圆心作圆，若⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，则⊙O的半径r的取值范围是( )
A. r<52B. r>52C. 528.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D=80°，则∠EAC的度数为( )
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，则以下结论：①4a+b=0；②9a+c>−3b；③3a−3b+2c>0；④若方程a(x+1)(x−5)=−1的两根为x1和x2，则|x1−x2|>6.其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是正方形ABCD内部一动点，且∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的最小值为( )
A. 2 13−2
B. 2 13−4
C. 2 10
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在函数y=1 x−1中自变量x的取值范围是______．
12.半径为1的圆的内接正六边形的边心距为______．
13.如图，点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点C在x轴的正半轴上，AC与y轴相交于点B，若AB=BC，△AOB的面积为2，则k的值为______．
14.定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”.则抛物线y=x2−2x+3与直线y=x−2的“向心值”为______．
15.如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB=2，则阴影部分的面积为______．
16.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，若FB=FE=4，FC=2，则tan∠BAE= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
请画出正三棱柱的三视图．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象都经过A(2,−4)、B(−4,m)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
19.(本小题8分)
定义：如果一条直线把一个四边形分成两部分，且这两部分图形的周长相等，则称这条直线为这个四边形的“等分周长线”．
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，CD=AD=12，tanB=125，若直线CE是四边形ABCD的“等分周长线”，且点E在四边形ABCD的边上，求AE的长．
20.(本小题8分)
如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接AC，BC，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为点D，E．
(1)若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
(2)在△DOE中是否存在长度为定值的边？若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
21.(本小题9分)
如图，某小区门口安装了车辆出入道闸.道闸关闭时，如图①，MN为固定立柱，四边形ABCD为矩形，AB=3m，AD=1m，点D距地面0.2m；道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
(1)如图②，当道闸打开至∠ADC=45°时，CD上一点P到地面的距离PE为1.5m，求点P到立柱MN的距离PF的长；
(2)已知一辆货车宽1.9m，高1.8m，当道闸打开至∠ADC=36°时，请通过计算说明这辆货车能否驶入小区.(参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73)
22.(本小题10分)
为充分发挥劳动教育的综合育人功能，某校想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用16m长的篱笆围出一块矩形蔬菜种植园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)．
(1)若种植园ABCD的面积为63m2，求AB的长；
(2)点P处有一棵银杏树，它与墙AD，CD的距离分别是4m和9m，要将这棵树围在种植园ABCD内(含边界，不考虑树的粗细)，求种植园ABCD面积的最大值．
23.(本小题10分)
如图，点O在∠ABC的边BC上，以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，∠ABC的角平分线交⊙O于点D，过点D作DH⊥BA，垂足为点H．
(1)请利用尺规作图补全图形(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)请判断⊙O与直线DH公共点的个数，并说明理由．
24.(本小题13分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,1)，B(4,−2)，直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方抛物线上的一个动点，PD⊥AB，垂足为点D，PE//x轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当△PDE的周长最大时，求点P的坐标及△PDE的周长最大值；
(3)将抛物线y=−x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：C．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2.【答案】B
【解析】【分析】
反比例函数的系数为−k2−1<0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
【解答】
解：∵−k2−1<0，
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0<2<3，
∴点在第四象限，
∴y1故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：小明从甲处向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当小明到达路灯的下方时，他在地面上的影子变成一个圆点，当他再次远离路灯走向乙处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长，所以他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长．
故选：D．
小明由远而近经过路灯时，他的身高和路灯的高度都是不变的，但因为人和路灯间的位置发生了变化，光线与地面的夹角发生变化，所以影子的长度也会发生变化，进而得出答案．
此题考查了中心投影的性质，解题关键是了解人从路灯下走过的过程中，人与灯间位置变化，光线与地面的夹角发生变化，从而导致影子的长度发生变化．
4.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=130m，BC=50m，
由勾股定理得：AC= AB2−BC2=120(m)，
则tanA=BCAC=50120，
∴按键顺序正确的是C选项中顺序，
故选：C．
根据勾股定理求出AC，根据坡度与坡角的关系列出算式，利用科学计算器求出坡角∠A的度数．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度与坡角的关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：连接CD，则CD⊥AB，
由图可知：CD= 2，AD=2 2，AC= 10，
∵AC2=CD2+AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵AE=DE=CD，CD=12AD，
∴tanA=CDAD=12．
故选：A．
连接CD得到△ACD是直角三角形，AD=2CD，于是即可求解．
本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的三角函数定义．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=(x−1)2−2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，
∵点A(a,2)，B(b,2)，C(c,7)都在抛物线y=(x−1)2−2上，点A在点B左侧，
∴若c<0，则c若c>0，则a故选：D．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c<0时，a、b、c的大小关系或当c>0时，a、b、c的大小关系．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.【答案】C
【解析】解：当⊙O与直线AD相切时，r=12AB=52，
当⊙O与直线CD相切时，r=12BC=6，
∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，⊙O的半径r的取值范围是52故选：C．
分别求出⊙O与直线AD、直线CD相切时的半径即可解答．
本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠ACB=12∠DCB=12(180°−∠D)=50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=80°，
∴∠EAC=∠AEB−∠ACE=30°，
故选：D．
根据菱形的性质得到∠ACB=12∠DCB=12(180°−∠D)=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2，
∴b=−4a，即4a+b=0，故①正确；
∵当x=−3时，y<0，
∴9a−3b+c<0，
即9a+c<3b，故②错误；
∵b=−4a，a−b+c=0，
∴a+4a+c=0，即c=−5a，
∴3a−3b+2c=3a+12a−10a=5a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴3a−3b+2c<0，故③错误；
∵函数与x轴的交点坐标为(−1,0)，(5,0).当y=−3时，x1<−1<5故选：B．
根据抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=−3时，函数值小于0，则9a−3b+c<0，即9a+c<3b；由于x=−1时，y=0，则a−b+c=0，易得c=−5a，所以8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，再根据抛物线开口向下得a<0，于是有7a−3b+2c=7a+12a−10a=9a<0；函数与x轴的交点坐标为(−1,0)，(5,0).当y=−3时，x1<−1<5本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够通过函数的图象，推理出函数的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：延长DA到点H，使AH=AD，连接PH、EH，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AH=AD=AB=BC=4，∠DAB=90°，
∴AB垂直平分DH，
∴点H与点D关于直线AB对称，
∴PD=PH，
∴PD+PE=PH+PE，
∵PH+PE≥EH，
∴当PH+PE=EH，且EH最小时，PH+PE的值最小，此时PD+PE的值最小，
取BC的中点F，作FG⊥AD于点G，连接EF、HF，则∠FGH=90°，
∵∠BEC=90°，
∴EF=BF=CF=12BC=2，
∵∠AGF=∠GAB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFG是矩形，
∴AG=BF=2，GF=AB=4，
∴GH=AG+AH=2+4=6，
∴FH= GH2+GF2= 62+42=2 13，
∵EH+EF≥FH，
∴EH+2≥2 13，
∴EH≥2 13−2，
∴EH的最小值为2 13−2，
∴PD+PE的最小值为2 13−2，
故选：A．
延长DA到点H，使AH=AD，连接PH、EH，则点H与点D关于直线AB对称，所以PD=PH，则PD+PE=PH+PE，因为PH+PE≥EH，所以当PH+PE=EH，且EH最小时，PH+PE的值最小，此时PD+PE的值最小，取BC的中点F，作FG⊥AD于点G，连接EF、HF，则EF=BF=CF=12BC=2，AG=BF=2，GF=AB=4，求得GH=6，则FH= GH2+GF2=2 13，由EH+EF≥FH，推导出EH≥2 13−2，则EH的最小值为2 13−2，所以PD+PE的最小值为2 13−2，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】x≥0且x≠1
【解析】解：由题意可知：x≥0x≠1，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
根据函数关系即可求出x的取值范围．
本题考查自变量的取值范围，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
12.【答案】 32
【解析】解：如图所示，AB=1，过O作OG⊥AB于G；
∵此多边形是正六边形，
∴∠AOB=360°6=60°，∠AOG=60°2=30°，
∴OG=AGtan∠AOD=12 33= 32．
故答案为： 32．
根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
此题比较简单，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．
13.【答案】−8
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于D，
∴∠ADB=∠BOC=90°，
在△ADB和△COB中，
∠ADB=∠COB∠ABD=∠CBOAB=BC，
∴△ADB≌△COB(AAS)，
∴BD=OB，
∴S△ABD=S△AOB=2，
∴S△AOD=4，
根据反比例函数k的几何意义得12|k|=S△AOD=4，
∴|k|=8，
∵k<0，
∴k=−8．
故答案为：−8．
过点A作AD⊥y轴于D，则△ADB≌△COB，即可求得BD=OB，得出△AOB的面积=△ABD的面积=2，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．
本题主要考查了反比例函数的k的几何意义的应用，考查了全等三角形的判定和性质，关键是求得△AOD的面积．
14.【答案】114
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“向心值”为h，
∵x2−2x+3−(x−2)=(x−32)2+114，
∴该函数最小值为114，
故答案为：114．
通过x2−2x+3−(x−2)求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求“向心值”的方法，并不是抛物线顶点到直线竖直距离最小．
15.【答案】2π9
【解析】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，
根据垂径定理得：AC=BC=12AB=1，
∵将⊙O沿弦AB折叠，AB恰经过圆心O，
∴OC=CD=12r，
∴OC=12OA，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D=60°，
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2，
∴12+(12r)2=r2，
解得：r=2 33，
∵AC=BC，∠OCB=∠ACD=90°，OC=CD，
∴△ACD≌△BCO(SAS)，
∴阴影部分的面积=S扇形ADO=60°360∘×π×(2 33)2=2π9．
故答案为：2π9．
过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC=BC=12AB=1，根据将⊙O沿弦AB折叠，AB恰经过圆心O，得到OC=CD=12r，得到OC=12OA，得到∠OAC=30°，进而证明△AOD是等边三角形，得到∠D=60°，在Rt△AOC中根据勾股定理求出半径r，证明△ACD≌△BCO，可以将△BCO补到△ACD上，得到阴影部分的面积=S扇形ADO，即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换(折叠问题)，在Rt△AOC中，根据OC=12OA，得到∠OAC=30°是解题的关键．
16.【答案】47
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCF=90°，
又∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∴∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠CBF=∠ACE，
∴△BCF∽△CAE，
∴CFAE=BFCE，即2AE=42+4，
解得AE=3，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE//BF，
∴△AEG∽△BFG，
∴AEBF=GEGF=34，
∵GE+FG=EF=4，
∴GE=4×33+4=127，
∴tan∠BAE=GEAE=1273=47．
故答案为：47．
根据圆周角定理以及相似三角形的判定和性质可求出AE，再根据相似三角形的判定和性质，求出GE，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
17.【答案】解：所作图形如下：

【解析】根据题意可得主视图为矩形，左视图也为矩形，但矩形的宽没主视图的宽，俯视图为正三角形，从而可画出三视图．
此题考查了三视图的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，要求一定的空间想象能力．
18.【答案】解：(1)将A(2,−4)，B(−4,m)两点代入y=kx中，得k=2×(−4)=−4m，
解得，k=−8，m=2，
∴反比例函数的表达式为y=−8x；
将A(2,−4)和B(−4,2)代入y=ax+b中得2a+b=−4−4a+b=2，
解得a=−1b=−2，
∴一次函数的表达式为：y=−x−2；
(2)如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C(−2,4)．
在y=−x−2中，当x=−2时，y=0，
∴D(−2,0)，
∴CD垂直x轴于点D，

∴S△ABC=S△ADC+S△BCD=12×4×(2+2)+12×4×(4−2)=8+4=12．
【解析】(1)把A，B两点的坐标代入y=kx中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
(2)如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC=S△ACD+S△BCD即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵AB//CD，∠A=90°，
∴∠D=90°，
∴四边形AMCD是矩形．
又∵CD=AD=12，
∴AM=CM=12．
在Rt△BCM中，
tanB=CMBM，
则12BM=125，
∴BM=5，
∴BC= 52+122=13．
∴四边形ABCD的周长为：12+12+12+5+13=54．
∵直线CE是四边形ABCD的“等分周长线”，
∴点E在AB上，
则AE=542−12−12=3．
故AE的长为3．
【解析】过点C作AB的垂线，可求出BC的长，再由“等分周长线”的定义即可解决问题．
本题考查解直角三角形，理解题中“等分周长线”的定义及正切的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设该圆锥的底面半径为r，
由题意得2πr=90180π×4，
解得r=1，
即该圆锥的底面半径为1；
(2)存在，DE的长为定值，

理由：如图，连接AB，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴D为AC中点，E为BC中点．
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵∠AOB=90°，OB=OA=4，
∴AB=4 2，
∴DE=2 2．
【解析】(1)利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得；
(2)根据垂径定理能得出D是BC的中点，E应是AC边的中点，连接BA，由三角形的中位线定理可知DE=12BA．
本题考查圆锥的计算，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，三角形中位线定理解决问题．
21.【答案】解：(1)过点D作DQ⊥PE，垂足为点Q，

由题意得：∠ADQ=90°，QE=0.2m，
∵∠ADC=45°，
∴∠PDQ=∠ADQ−∠ADC=45°，
∵PE=1.5m，
∴PQ=PE−QE=1.5−0.2=1.3(m)，
在Rt△DPQ中，DQ=PQtan45∘=1.3(m)，
∴PF=3−DQ=3−1.3=1.7(m)，
∴PF的长为1.7m；
(2)这辆货车不能驶入小区，
理由：当∠ADC=36°，PE=1.8m时，
∴PQ=PE−QE=1.8−0.2=1.6(m)，
由题意得：AD//PQ，
∴∠DPQ=∠ADC=36°，
在Rt△DQP中，DQ=PQ⋅tan36°≈1.6×0.73=1.168(m)，
∴PF=3−DQ=3−1.168=1.832(m)，
∵1.832m<1.9m，
∴这辆货车不能驶入小区．
【解析】(1)过点D作DQ⊥PE，垂足为点Q，根据题意可得：∠ADQ=90°，QE=0.2m，从而可得∠PDQ=45°，PQ=1.3m，然后在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，从而进行计算即可解答；
(2)当∠ADC=36°，PE=1.8m时，则PQ=1.6m，根据题意可得：AD//PQ，从而可得∠DPQ=∠ADC=36°，然后在Rt△DQP中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，从而求出PF的长，最后进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设AB=x m，则BC=(16−x)m，
由题意得，x(16−x)=63，
解得x1=7，x2=9，
答：若种植园ABCD的面积为63m2，AB的长为7m或9m；
(2)设种植园ABCD面积为Sm2，
则S=x(16−x)，
整理得S=−(x−8)2+64，
由点P处有一棵银杏树，它与墙AD，CD的距离分别是4m和9m，
得x≥416−x≥9，
解得4≤x≤7，
∵a=−1<0，
∴当x≤8时，S随x的增大而增大，
∴当x=7时，S有最大值为−(7−8)2+64=63，
∴种植园ABCD面积的最大值为63m2．
【解析】(1)设AB=x m，则BC=(16−x)m，根据矩形的面积公式列方程即可求出结果；
(2)设种植园ABCD面积为Sm2，根据矩形面积公式列出函数表达式，根据“由点P处有一棵银杏树，它与墙AD，CD的距离分别是4m和9m”求出自变量x的取值范围，根据二次函数的增减性即可求出结果．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，矩形的面积问题，解不等式组，利用二次函数求面积的最值，本题的关键是根据题意求出自变量x的取值范围，从而根据二次函数的增减性求出最值．
23.【答案】解：(1)如图所示．

(2)⊙O与直线DH有一个公共点．
理由：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBH．
∴∠ODB=∠DBH．
∴OD//BH．
∵DH⊥BH，
∴∠DHB=90°，
∴∠ODH=180°−90°=90°，
即OD⊥DH．
∵OD为⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线，
∴⊙O与直线DH有一个公共点．
【解析】(1)按照题意画图即可．
(2)连接OD，由OB=OD可得∠OBD=∠ODB，由平分线的定义可得∠OBD=∠DBH，则可得∠ODB=∠DBH，根据平行线的判定可得OD//BH，进而可得∠ODH=90°，结合圆的切线的判定可知DH是⊙O的切线，即可得出结论．
本题考查作图—复杂作图、直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,1)，B(4,−2)，
∴−16+4b+c=−2c=1，
解得：b=134c=1，
∴该抛物线的函数表达式为y=−x2+134x+1；
(2)如图1，设直线AB的函数表达式为y=kx+n，
∵A(0,1)，B(4,−2)，
∴4k+n=−2n=1，解得：k=−34n=1，
∴直线AB的函数表达式为y=−34x+1，
令y=0，得−34x+1=0，
解得：x=43，
∴C(43,0)，
设P(t,−t2+134t+1)，其中0∵点E在直线y=−34x+1上，PE//x轴，
∴−t2+134t+1=−34x+1，
∴x=4t2−13t3，
∴E(4t2−13t3,−t2+134t+1)，
∴PE=t−4t2−13t3=−43t2+163t=−43(t−2)2+163，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC=∠PDE=90°，
又∵PE//x轴，
∴∠OCA=∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO=1，OC=43，
∴AC=53，
∴△AOC的周长为1+43+53=4，
令△PDE的周长为l，则4l=ACPE，
∴53l=4[−43(t−2)2+163]，
∴l=−165(t−2)2+645，
∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为645．
此时，点P的坐标为(2,72)；
(3)如图2，满足条件的点M的坐标为(2,72))或(−2,−252)或(6,−252).
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=−(x−2)2+72=−x2+4x−12，对称轴为直线x=2，

①若AB是平行四边形的对角线，
∵A(0,1)，B(4,−2)，点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为4−2=2，
∴点M的坐标为(2,72)；
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ.当MN//AB且MN=AB时，四边形ABNM是平行四边形，

∵A(0,1)，B(4,−2)，点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为0−2=−2，
∴点M的坐标为(−2,−252)；
Ⅱ.当NM//AB且NM=AB时，四边形ABMN是平行四边形，

∵A(0,1)，B(4,−2)，点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2+4=6，
∴点M的坐标为(6,−252)；
综上所述，点M的坐标为(2,72))或(−2,−252)或(6,−252).
【解析】(1)利用待定系数法将A(0,1)，B(4,−2)代入y=−x2+bx+c，即可求得答案；
(2)先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P(t,−t2+134t+1)，其中0(3)分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线，②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，三角形周长，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．

2023-2024学年山东省烟台市海阳市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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