高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计，共10页。


课标要求
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．
2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．
3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．
素养要求
通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程，体会数学建模及逻辑推理素养.
知识点 1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点 2 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
练一练：
1．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3a，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( C )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝3a，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(CD,\s\up6(→))|，∵|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选C．
2．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( C )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．eq \f(v1,v2)
[解析] 题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|.
题型探究
题型一 平行(共线)问题
典例1 如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝eq \f(1,3)AB，DF＝eq \f(1,4)DB，求证：A，E，F三点共线．
[证明] 要证明A，E，F三点共线，只需证明eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AF,\s\up6(→))即可．
证法一：因为DE＝eq \f(1,3)AB，DF＝eq \f(1,4)DB，
所以eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(FB,\s\up6(→)).
于是eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))－eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(FB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(FA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AF,\s\up6(→))，因此eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AF,\s\up6(→))，
又因为eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))有公共点F，所以A，E，F三点共线．
证法二：以A为原点，以eq \(AB,\s\up6(→))为x轴正方向建立平面直角坐标系如图：
则A(0,0)，设B(3a,0)，D(m，n)，则E(m＋a，n)．
∵eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))＝3eq \(FD,\s\up6(→))，设F(x，y)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3a＋3m,1＋3)＝\f(3,4)m＋a，,y＝\f(0＋3n,1＋3)＝\f(3n,4)，))
即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3m＋3a,4)，\f(3n,4)))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝(m＋a，n)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3m＋3a,4)，\f(3n,4)))＝eq \f(3,4)(m＋a，n)＝eq \f(3,4)eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))∥eq \(AF,\s\up6(→)).又A为公共点，
∴A，E，F三点共线．
[归纳提升] (1)证明A，B，C三点共线的步骤
①证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线．
②说明两向量有公共点．
③下结论，即A，B，C三点共线．
(2)证明三点共线的方法
①基底法．
②坐标法．
对点练习❶ (1)已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( A )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC．
[解析] (2)设eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，
则a·b＝|a||b|cs 60°＝1，
eq \(BD,\s\up6(→))＝a＋b.
设eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＝λb，则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝λb－a.
由AE⊥BD，得eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
即(λb－a)·(a＋b)＝0，
解得λ＝eq \f(2,5)，
所以BE∶EC＝eq \f(2,5)∶eq \f(3,5)＝2∶3.
题型二 垂直问题
典例2 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[证明] 证法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq \r(2)a，
∴eq \(DP,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→)))·(eq \(EP,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→)))
＝eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(EP,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(EP,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))
＝1×a×cs 180°＋1×(1－a)×cs 90°＋eq \r(2)a×a×cs 45°＋eq \r(2)a×(1－a)×cs 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴eq \(DP,\s\up6(→))⊥eq \(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.
证法二：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq \(DP,\s\up6(→))＝(x，x－1)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1－x，x)，
由于eq \(DP,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以eq \(DP,\s\up6(→))⊥eq \(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.
[归纳提升] 向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法．
对点练习❷ 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 证法一：设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)
＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．
因为eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
题型三 长度与距离问题
典例3 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
[分析] 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，利用a、b表示eq \(AC,\s\up6(→))、eq \(DB,\s\up6(→))，然后带入|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2中计算即可完成证明．
[证明] 不妨设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，
|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝|a|2，|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝|b|2，得|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋|b|2＋2a·b①
同理|eq \(DB,\s\up6(→))|2＝eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝(a－b)·(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b②，
①＋②得：
|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(DB,\s\up6(→))|2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2)＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．得证．
[归纳提升] 利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
对点练习❸ 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[解析] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2)))，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)eq \r(n2＋m2)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(m2＋n2)，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB．
(2)∵E为CD的中点，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4)))，
设F(x,0)，则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→)).
即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))
故λ＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(n,3)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0))，
∴|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)eq \r(n2＋9m2)，
即AF＝eq \f(1,3)eq \r(n2＋9m2).
题型四 向量在物理中的应用
典例4 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小；
(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功(力的单位：N，位移的单位：m)．
[分析] (1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．
(2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cs 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．
[解析] (1)如图，两根绳子的拉力之和eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OG,\s\up6(→))|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，
从而|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|·cs 30°＝150eq \r(3)(N)，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|·sin 30°＝150(N)，
所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq \r(3) N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
[归纳提升] 用向量方法解决物理问题的“三步曲”
对点练习❹ (1)河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10eq \r(3) km/h，求小船的实际航行速度；
(2)一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下，由点A(1,0)移动到点B(2,4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于( A )
A．25 B．5
C．－5 D．－25
[解析] (1)设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))为邻边作矩形OACB，连接eq \(OC,\s\up6(→))，如图，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq \(OC,\s\up6(→))即为小船的实际航行速度．
∴|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋b2)＝20(km/h)，
tan ∠AOC＝eq \f(10\r(3),10)＝eq \r(3)，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．
(2)∵F1＋F2＝(－3,7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,4)，∴(F1＋F2)·eq \(AB,\s\up6(→))＝－3×1＋7×4＝25，
即两个力的合力对物体所做的功等于25.
故选A．
易错警示
做功问题因对角度认识不清而致错
典例5 如图所示，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m．求此人对物体所的功．
[错解] 记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cs θ＝25×6×eq \f(\r(3),2)＝75eq \r(3)(J)，
所以此人对物体所做的功为75eq \r(3) J.
[错因分析] 要求此人对物体所做的功，可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积，根据向量数量积的公式，关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小，进而根据公式求得此人对物体所做的功．错解中错误地利用了题目中给出的角度，此角度不是作用力F与物体的位移s两者之间的夹角．
[正解] 因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sin θ＝eq \f(1.2sin 60°,1.5)＝eq \f(2\r(3),5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(在△ABC中，有\f(AB,sin C)＝\f(BC,sin A)＝\f(AC,sin B)))，所以cs θ＝eq \r(1－sin 2θ)＝eq \f(\r(13),5)，记沿斜面向上方向的单位为e，则位移s＝6e，
W＝F·s＝|F||s|cs θ＝25×6×eq \f(\r(13),5)＝30eq \r(13)(J)，
所以此人对物体所做的功为30eq \r(13) J.
对点练习❺ 如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_0__J，重力对物体m所做的功为_98__J(g＝9.8 m/s2)．
[解析] 物体m的位移大小为|s|＝eq \f(2,sin 37°)＝eq \f(10,3)(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F|·|s|cs 90°＝0(J)；
重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cs 53°＝5×9.8×eq \f(10,3)×0.6＝98(J)．
1．若eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3e1，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( C )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
[解析] 由于eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(CD,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD是梯形．又因为|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，即梯形的腰长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形，故选C．
2．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( B )
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
3．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形为( D )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
[解析] 由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．
4．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( B )
A．100焦耳 B．50焦耳
C．50eq \r(3)焦耳 D．200焦耳
[解析] F做的功为|F|cs 60°×10＝10×eq \f(1,2)×10＝50(焦耳)．
5．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是( B )
A．2eq \r(5) B．eq \f(5\r(5),2)
C．3eq \r(5) D．eq \f(7\r(5),2)
[解析] ∵BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(5\r(5),2).