高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时导学案

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课标要求
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
素养要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
知识点 1 余弦定理
[提醒] (1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，若角C＝90°，则cs C＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
练一练：
在△ABC中，符合余弦定理的是( A )
A．c2＝a2＋b2－2abcs C
B．c2＝a2－b2－2bccs A
C．b2＝a2－c2－2bccs A
D．cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
[解析] 由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．
知识点 2 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_元素__.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解三角形__.
想一想：
已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？
提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cs x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．
练一练：
1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c＝( D )
A．eq \r(39) B．8eq \r(3)
C．10eq \r(2) D．7eq \r(3)
[解析] 由余弦定理得：
c＝eq \r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cs 150°)＝eq \r(147)＝7eq \r(3).故选D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，则B＝_150°__.
[解析] 由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq \f(\r(3),2).又0°题型探究
题型一 已知两边及一角解三角形
典例1 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60eq \r(3) cm，A＝eq \f(π,6)，则a＝_60__cm；
(2)在△ABC中，若c＝eq \r(5)，b＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则a＝_4或5__.
[分析] (1)由余弦定理可直接求第三边；
(2)先由余弦定理建立方程，从中解出a的长．
[解析] (1)由余弦定理得：
a＝eq \r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cs \f(π,6))
＝eq \r(4×602－3×602)＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：(eq \r(5))2＝52＋a2－2×5×a×eq \f(9,10)，
所以a2－9a＋20＝0，解得a＝4或a＝5.
[归纳提升] 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
对点练习❶ (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2，cs B＝eq \f(1,2)，则b＝ eq \r(3) .
(2)(2022·成都高一检测)在△ABC中，C＝eq \f(2π,3)，AB＝7，BC＝3，则AC＝( B )
A．eq \f(9,2) B．5
C．eq \f(11,2) D．6
[解析] (1)在△ABC中，a＝1，c＝2，cs B＝eq \f(1,2)，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accs B＝12＋22－2×1×2×eq \f(1,2)＝3，则b＝eq \r(3).故答案为eq \r(3).
(2)在△ABC中，C＝eq \f(2π,3)，AB＝7，BC＝3，如图所示：
由余弦定理得72＝AC2＋32－2·3·AC·cseq \f(2π,3)，
整理得AC2＋3·AC－40＝0，
解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，所以AC＝5.
题型二 已知三边解三角形
典例2 (1)在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C；
(2)在△ABC中，a2－(b－c)2＝bc，则A＝( B )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[解析] (1)根据余弦定理，
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×6＋2\r(3)×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6).
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7π,12)，
∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7π,12)，C＝eq \f(π,4).
(2)由题意知a2－b2－c2＋2bc＝bc，
∴b2＋c2－a2＝bc
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，
所以A＝60°.
[归纳提升] 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．
对点练习❷ (1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，则角B的余弦值是 －eq \f(1,2) .
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( B )
A．90° B．60°
C．120° D．150°
[解析] (1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，
则cs B＝eq \f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq \f(1,2).故答案为－eq \f(1,2).
(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
题型三 判断三角形的形状
典例3 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs Bcs C，试判断△ABC的形状．
[分析] 利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
[解析] 已知等式变形为b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccs B·cs C，
∴b2＋c2＝b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs B·cs C，
∵b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs Bcs C＝
(bcs C＋ccs B)2＝a2，
∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
[归纳提升] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
对点练习❸ 在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断△ABC的形状．
[解析] 由余弦定理知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
代入已知条件得
a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，
通分得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
易错警示
忽略三角形三边关系导致出错
典例4 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
[错解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1>0，,a>0，,2a－1>0，))解得a>eq \f(1,2)，
∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ，
∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，
∴cs θ<0，
即eq \f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)＝eq \f(aa－8,2a2a－1)<0，
解得eq \f(1,2)∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，8)).
[错因分析] 解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大，本题中a＋(2a－1)>2a＋1，即a>2，而不是a>eq \f(1,2).
[正解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1>0，,a>0，,2a－1>0，))解得a>eq \f(1,2)，此时2a＋1最大．
要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，
还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.
设最长边2a＋1所对的角为θ，
则cs θ＝eq \f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)＝eq \f(aa－8,2a2a－1)<0，
解得eq \f(1,2)∴a的取值范围是(2,8)．
[误区警示] 由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．
对点练习❹ 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．
[解析] 因为a，b，c是△ABC的三边，
所以b－a所以2－1又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，
所以90°所以cs C<0，所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(5－t2,4)<0，
所以t2>5.又t>0，所以t>eq \r(5).
所以t的取值范围为(eq \r(5)，3)．
1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( C )
A．60° B．45°
C．120° D．30°
[解析] 由cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝eq \f(10,13)bc，则sin(B＋C)＝( B )
A．－eq \f(12,13) B．eq \f(12,13)
C．±eq \f(12,13) D．eq \f(5,13)
[解析] 因为b2＋c2－a2＝eq \f(10,13)bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(10,13)bc,2bc)＝eq \f(5,13)，A∈(0，π)，
所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(12,13)，
所以sin(B＋C)＝sin A＝eq \f(12,13).
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( C )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
[解析] 由eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0得－cs C>0，所以cs C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4．已知在△ABC中，AB＝eq \f(5,4)BC，AC＝3，cs B＝eq \f(4,5)，则AB＝_5__.
[解析] 设BC＝4t，则AB＝5t(t>0)，由余弦定理可得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcsB，
整理可得41t2－2×5t×4t×eq \f(4,5)＝9，
解得t＝1，因此AB＝5t＝5.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝eq \r(3)
(1)若B＝eq \f(π,6)，求b；
(2)若A＝eq \f(π,6)，求b.
[解析] (1)由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(12＋\r(3)2－b2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
解得b＝1(负值舍去)，
故b＝1.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
即1＝b2＋3－2eq \r(3)b×eq \f(\r(3),2)，
整理得b2－3b＋2＝0，
解得b＝1或b＝2.
文字语言
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_减去__这两边与它们的夹角的余弦的积的 _两__倍
符号语言
在△ABC中，a2＝_b2＋c2－2bccs_A__，
b2＝_c2＋a2－2cacs_B__，
c2＝_a2＋b2－2abcs_C__
推论
在△ABC中，cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ，cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)