高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时学案设计，共10页。

课标要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题．
素养要求
通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正弦定理解三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
知识点 1 正弦定理的表示
想一想：
在△ABC中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？
提示：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a).
当eq \f(bsin A,a)>1时，则无解；
当eq \f(bsin A,a)＝1时，则有一解；
当eq \f(bsin A,a)<1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若a[提醒] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
练一练：
在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( A )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).
故eq \f(15,\f(\r(3),2))＝eq \f(10,sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(3),3).
知识点 2 正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB．
想一想：
如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，这一关系对锐角三角形和钝角三角形也成立吗？
提示：(1)如图，△ABC为锐角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．
因为∠A＝∠D，则在△BCD中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a,sin D)＝2R.
同理，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R成立．
(2)如图，△ABC为钝角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接AO并延长交圆O于点B′，连接CB′，则∠B＝180°－∠B．
则eq \f(b,sin B)＝eq \f(b,sin180°－B′)＝eq \f(b,sin B′)＝2R.同理eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R.
所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R仍成立．
练一练：
在△ABC中，一定成立的式子是( C )
A．asin A＝bsin B B．asin A＝bcs B
C．asin B＝bsin A D．acs B＝b cs A
[解析] 由正弦定理，asin B＝bsin A⇒sin Asin B＝sin Bsin A．故选C．
题型探究
题型一 已知两角及一边解三角形
典例1 在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．
[解析] 由三角形内角和定理得
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
根据正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2sin 30°,sin 45°)＝eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq \r(2)，
c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2sin 105°,sin 45°)＝eq \f(2sin 75°,sin 45°)＝eq \f(2×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)＋1.
[归纳提升] 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
对点练习❶ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4，cs A＝eq \f(3,5)，cs B＝eq \f(5,13)，则c＝ eq \f(56,15) .
[解析] 因为cs A＝eq \f(3,5)，cs B＝eq \f(5,13)，所以sin A＝eq \f(4,5)，sin B＝eq \f(12,13)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(56,65)，
因为eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，所以c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(4×\f(56,65),\f(12,13))＝eq \f(56,15).
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
典例2 在△ABC中，解三角形．
(1)b＝4，c＝8，B＝30°；
(2)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°.
[分析] 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[解析] (1)由正弦定理，得sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(8sin 30°,4)＝1.
∵30°从而A＝180°－(B＋C)＝60°.
a＝eq \r(c2－b2)＝4eq \r(3).
∴C＝90°，A＝60°，a＝4eq \r(3).
(2)由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∵aA＝30°，∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
又eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)，
∴c＝eq \f(asin C,sinA)＝eq \f(\r(2)sin 105°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)sin 75°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(1,2))＝eq \r(3)＋1.
当B＝135°时，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，
∴c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(\r(2)sin 15°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq \r(3)－1.
∴B＝45°，C＝105°，c＝eq \r(3)＋1或B＝135°，C＝15°，c＝eq \r(3)－1.
[归纳提升] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．
对点练习❷ (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝4eq \r(3)，B＝60°，则角A＝( A )
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
(2)(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数判断正确的是( BC )
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝eq \r(3)，b＝eq \r(6)，A＝60°，无解
D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
[解析] (1)根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可得，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(1,2).
又a故选A．
(2)由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以sin B＝eq \f(bsin A,a).
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(14×\f(1,2),7)＝1，则B＝eq \f(π,2)，只有一解，故A错；
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(25×\f(1,2),30)＝eq \f(5,12)，又a>b，则只有一解，故B正确；
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(6)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(6),2)>1，则无解，故C正确；
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(9×\f(\r(2),2),6)＝eq \f(3\r(2),4)>1，则无解，故D错；故选BC．
题型三 判断三角形的形状
典例3 在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状．
[分析]
[解析] 解法一：(角化边)因为(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，
整理得：b2(a2－c2＋b2)＝a2(b2－c2＋a2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
所以a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
解法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccs B)sin B＝(sin B－sin Ccs A)·sin A，
即sin Ccs Bsin B＝sin Ccs Asin A．
因为sin C≠0，所以sin Bcs B＝sin Acs A．
所以sin 2B＝sin 2A．所以2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
[归纳提升] 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径．由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大．
对点练习❸ (1)在△ABC中，已知acs B＝bcs A，则△ABC一定是( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
(2)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若eq \f(a,cs B)＝eq \f(b,cs A)，试判断△ABC的形状．
[解析] (1)由正弦定理得：acs B＝bcs A⇒sin Acs B＝sin Bcs A⇒sin(A－B)＝0，
由于－π(2)因为eq \f(a,cs B)＝eq \f(b,cs A)，
所以eq \f(sin A,cs B)＝eq \f(sin B,cs A)，
所以sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B．
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
题型四 正、余弦定理的简单综合
典例4 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[分析] (1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出B．(2)由正弦定理可知c＝2a，再用余弦定理列方程可求得a，c.
[解析] (1)∵bsin A＝eq \r(3)acs B，
由正弦定理得sin Bsin A＝eq \r(3)sin Acs B．
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝eq \r(3)，∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acs eq \f(π,3)，
解得a＝eq \r(3)，∴c＝2a＝2eq \r(3).
对点练习❹ (1)若b2＋c2－bc＝a2，且eq \f(b,c)＝eq \f(tan B,tan C)，则△ABC的形状为( D )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \r(2)c(sin B－1)＝b－eq \r(2)c，则角C为( B )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[解析] (1)因为b2＋c2－bc＝a2，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
又因为eq \f(b,c)＝eq \f(tan B,tan C)，所以eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(sin Bcs C,sin Ccs B)，
即cs B＝cs C，所以B＝C，
故△ABC是等边三角形，
故选D．
(2)∵eq \r(2)c(sin B－1)＝b－eq \r(2)c，
∴eq \r(2)csin B＝b，
由正弦定理，∴eq \r(2)sin Csin B＝sin B，
由角B为三角形内角，则sin B≠0，可得sin C＝eq \f(\r(2),2)，
由0故选B．
易错警示
利用正弦定理解三角形
典例5 在△ABC中，若A＝60°，BC＝4eq \r(3)，AC＝4eq \r(2)，则角B的大小为( B )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
[错解] 根据正弦定理得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，即eq \f(4\r(3),sin 60°)＝eq \f(4\r(2),sin B)，
解得sin B＝eq \f(\r(2),2).
又B为三角形的内角，
所以角B为45°或135°(忽略了对角大小的判断)．
[错因分析] 本题最易犯的错误就是：
(1)由sin B＝eq \f(\r(2),2)得B＝45°或135°，而忽视AC＝4eq \r(2)(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．
[正解] 根据正弦定理得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，
即eq \f(4\r(3),sin 60°)＝eq \f(4\r(2),sin B)，
解得sin B＝eq \f(\r(2),2).
又BC>AC，所以A>B，
所以角B为45°.
对点练习❺ 已知△ABC中，a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝60°，那么角A等于( C )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
[解析] 在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(\r(2),sin A)＝eq \f(\r(3),sin 60°)，
∴sin A＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2).
∵a1．在△ABC中，若a＝eq \r(3)，sin A＝eq \f(\r(3),2)，B＝eq \f(π,6)，则b＝( A )
A．1 B．2eq \r(3)
C．2 D．eq \r(3)
[解析] 由正弦定理可得，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq \f(b,sin \f(π,6))，
解得b＝eq \f(\r(3)×sin \f(π,6),\f(\r(3),2))＝1.
故选A．
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝( B )
A．4eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．eq \r(3) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 由正弦定理可得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，
∴AC＝eq \f(BC·sin B,sin A)＝2eq \r(3).
3．在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝_2__.
[解析] 在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，
所以∠C＝60°，
由正弦定理知eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，
所以AC＝eq \f(ABsin B,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin 45°,sin 60°)＝2.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝ eq \f(1,2) .
[解析] 因为A＋B＋C＝180°，
且A＋C＝2B，所以B＝60°，由正弦定理得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1×sin 60°,\r(3))＝eq \f(1,2).
5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
[解析] 根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcs C＝2sin Bcs(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝eq \f(\r(2),2).
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦__的比相等
符号语言
eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C)