2023-2024学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A. 1条
B. 3条
C. 5条
D. 无数条
2.下列说法中，正确的有( )
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( )
A. B. C. D.
4.直角三角形的三边长不可能是( )
A. 6，8，10B. 5，12，13C. 9，12，15D. 4，5，6
5.如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
6.如图，在△ABC和△DCB中，AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的条件是( )
A. ∠DCB=∠ABC
B. ∠ABD=∠DCA
C. ∠DBC=∠ACB
D. ∠A=∠D
7.如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE=3，则AB等于( )
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
8.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是( )
A. B. C. D.
9.根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是( )
A. AB=3，BC=4，AC=6B. AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C. AB=4，BC=3，∠A=30°D. AB=6，BC=8，AC=10
10.如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的对称图形.若∠C=40°，则∠DFE的度数为何？( )
A. 65B. 70C. 75D. 80
11.如图，点P为Rt△ABC的边BC上一点，已知PC=5，AC=10，折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，则直角边BC的长为( )
A. 6.5
B. 7
C. 7.5
D. 8
12.如图，在△ABC中，AD、CE是中线，若四边形BDFE的面积是6，则△ABC的面积为( )
A. 12
B. 15
C. 18
D. 24
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.写出四个具有轴对称性质的汉字：______．
14.在如图所示的△ABC的三条高中，其中AB边上的高是线段______．
15.如图，已知△ABD和△CDB全等，点B和点D是对应点，点A和点C是对应点，则AB和CD的位置关系是______．
16.如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，就能说明△ABO≌△DCO的依据是______．
17.等腰三角形的“三线合一”是指______．
18.若△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形一定有一个内角为______°.
19.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_______．
20.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 ．
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题21分)
如图，在所给的正方形网格图中完成下列各题：(用直尺画图，保留痕迹)
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)在DE上画出点Q，使△QAB的周长最小．
22.(本小题2分)
利用尺规，作∠AOB的平分线．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数．
24.(本小题6分)
如图，已知Rt△ABC的面积为30，其中一条直角边AB=12，求AC的长．
25.(本小题6分)
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=CF，你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．
26.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1.问图中的△BEF是什么特殊三角形？(按角分类)并说明为什么？
27.(本小题6分)
如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AE=6，CD=8，求BD的长．
28.(本小题8分)
(1)大家知道3，4，5；5，12，13；8，15，17等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由；
(2)除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条．
29.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线.以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：五角星的对称轴共有5条，
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；
②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．
故选D．
认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．
本题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握并灵活应用这些知识是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：C．
把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．
本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.∵62+82=102，∴6，8，10是直角三角形的三边长，不符合题意；
B∵52+122=132，∴5，12，13是直角三角形的三边长，不符合题意；
C、52+122=152，∴9，12，15是直角三角形的三边长，不符合题意；
B，42+52≠62，∴4，5，6不是直角三角形的三边长，符合题意．
故选：D．
根据三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐项分析即可．
本题考查了勾股定理逆定理，掌握三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵三角形的内角和等于180度，如果其中两个内角之和小于第三个内角，
∴第三个内角大于90度，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C．
根据“两个内角的度数和小于第三个内角的度数”得到“第三个内角大于90度”即可得解．
本题考查了三角形内角和，以及三角形的分类，判断出第三个内角大于90度即可．
6.【答案】C
【解析】解：需要增加的条件∠ACB=∠DBC，
在△ABC和△DCB中，
AC=BD∠ACB=∠DBCCB=BC，
∴△ABC≌△DCB(SAS)．
故选：C．
题目中已有条件AC=BD，BC=CB，需要增加的条件∠ACB=∠DBC可利用SAS定理证明△ABC≌△DCB．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠C=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=30°
∴CD=2CE=6，
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD=12，
∴AB=AC=12，
故选：B．
根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠C=60°，根据直角三角形的性质得到CD=2CE=6，根据线段中点的定义得到AC=2CD=12，于是得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A：由勾股定理得：S=4+9=13，故A不符合题意；
B：S=9−4=5，故B符合题意；
C：S=4+3=7，故C不符合题意；
D：S=4−3=1，故D不符合题意；
故选：B．
由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A：三边确定，符合全等三角形判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，
B：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，
C：已知两边及其中一边的对角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意，
D：已知三角形三边关系满足62+82=102，因此三角形为直角三角形，能画出唯一的△ABC，故不符合题意．
故选：C．
根据三角形的定义三边的关系可对A选项进行判断；根据三角形全等的判定方法可对B、C、D选项进行判断．
本题考查全等三角形的判定，利用全等三角形的判定定理依次判断每个选项即可．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形BEFD是以DE为对称轴的对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的对称图形，
∴∠BED=∠DEF=∠CEF=180°3=60°，∠EDF=∠C=40°，
∴∠DFE=180°−∠DEF−∠EDF=80°，
故选：D．
根据轴对称的性质可得∠BED=∠DEF=∠CEF，据此可得∠DEF=60°，∠EDF=∠C=40°，再根据三角形的内角和定理可得∠DFE的度数．
本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
11.【答案】C
【解析】解：∵折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，PC=5，AC=10，
∴AC+PC=PB+AB=15，
设PB为x，则AB为(15−x)，
在Rt△ABC中，有AC2+BC2=AB2，
即(5+x)2+102=(15−x)2
解得：x=2.5，
故BC=BP+PC=7.5，
故选：C．
根据Rt△ABC，已知PC=5，AC=10，由折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，可以设PB为x，则AB为(15−x)，由勾股定理即可求得BC．
本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
12.【答案】C
【解析】解：连接BF，
∵AD和CE为△ABC的中线，
∴AE=BE，BD=CD，
∴S△CBE=12S△ABC，S△ACD=12S△ABC，
∴S△CBE=S△ACD，
∴S△ACF=S四边形BDFE=6，
∵AE=BE，BD=CD，
∴S△AEF=S△BEF，S△CDF=S△BDF，
∴S△AEF+S△CDF=S四边形BDFE=6，
∴S△ABC=3S四边形BDFE=18，
故答案为：C．
利用三角形中线的定义和三角形面积公式得到S△CBE=S△ACD=12S△ABC，从而得到S△ACF=S四边形BDFE，进一步证得S△AEF+S△CDF=S四边形BDFE，从而求得S△ABC=3S四边形BDFE=18．
本题考查了三角形的面积，三角形的中线把三角形分成面积相等两部分是解题的关键．
13.【答案】由，木，山，中
【解析】解：由，木，山，中为轴对称图形．
故答案为：由，木，山，中．
根据轴对称图形的概念写出具有轴对称性质的汉字．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
14.【答案】CE
【解析】解：∵△ABC为钝角是三角形，CE⊥AE，
∴CE为AB边上的高．
故答案为：CE．
根据三角形高线定义“从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形该边的高线”即可判断．
本题考查三角形的高线，解题的关键是理解三角形的高的定义．
15.【答案】平行
【解析】解：∵△ABD和△CDB全等，点B和点D是对应点，点A和点C是对应点，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB/​/CD，
故答案为：平行．
根据题意可得△ABD≌△CDB，则∠ABD=∠CDB，由此可得AB/​/CD．
本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16.【答案】SAS
【解析】解：在△ABO和△DCO中，
OA=OD∠AOB=∠DOCOB=OC，
∴△ABO≌△DCO(SAS)，
故答案为：SAS．
根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合
【解析】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
故答案为：角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合．
根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合直接回答即可．
本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是正确解答本题的关键，比较简单．
18.【答案】45
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=3∠A，
∴4∠A=∠180°，
∴∠A=45°，
∴△ABC一定有一个内角是45°，
故答案为：45．
利用三角形内角和定理以及已知条件求出∠A即可．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
19.【答案】45°
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案．
解：如图所示：
在△ABC和△CDE中
AB=CD∠ABC=∠D=90°BC=DE
∴△ABC≌△CDE(SAS)，
∴∠1 =∠3，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=45°．
故答案为：45°．
20.【答案】10°或100°
【解析】【解答】
解：根据题意，补全图如下图所示；
①在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
∴∠ACB=180°−40°−80°=60°，
由作图可知：AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=12×(180°−80°)=50°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=60°−50°=10°；
②由作图可知：AC=AD′，
∴∠ACD′=∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C=∠BAC=80°，
∴∠AD′C=40°，
∴∠BCD′=180°−∠ABC−∠AD′C=180°−40°−40°=100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
故答案为：10°或100°．
【分析】
分两种情况画图，由作图可得AC=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
本题考查了尺规作图−作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，点Q即为所求作的点．

【解析】此题主要考查了轴对称作图和有关轴对称−最短路线的问题．
(1)从△ABC各顶点向DE引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接即可得△A1B1C1；
(2)利用轴对称图形的性质可作点A关于直线DE的对称点A1，连接A1B，交直线DE于点Q，点Q即为所求，此时△QAB的周长最小．
22.【答案】解：如图，射线OC即为所求．

【解析】根据角平分线的作图方法作图即可．
本题考查作图—基本作图，熟练掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
23.【答案】解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°−50°−72°=58°，
∵BD是△ABC的一条角平分线，
∴∠ABD=29°．
【解析】直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用角平分线结合三角形内角和定理得出答案．
此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线，正确得出∠ABC的度数是解题关键．
24.【答案】解：∵Rt△ABC的面积为30，其中一条直角边AB=12，
∴12BC⋅AB=30，
即12×BC×12=30，
解得BC=5，
∴AC= AB2+BC2= 122+52=13，
即AC的长为13．
【解析】根据直角三角形的面积先确定BC，然后根据勾股定理求出AC即可．
本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
25.【答案】解：△ABC与△DFE全等，理由如下：
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=FE，
在△ABC与△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
【解析】根据等式的性质得出BC=EF，进而利用SSS证明△ABC与△DFE全等即可．
此题考查全等三角形的判定，关键是根据SSS证明△ABC与△DFE全等解答．
26.【答案】解：△BEF是直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵AB=4，AE=2，
∴BE2=AB2+BE2=20，
∵DF=1，DE=4−AE=2，
∴EF2=5，
∵CF=4−DF=3，BC=4，
∴BF2=25，
∴BF2=EF2+BE2，
∴△BEF是直角三角形．
【解析】根据勾股定理的逆定理可证明△BEF是直角三角形，问题得解．
本题考查了正方形的性质以及勾股定理和其逆定理的运用，熟记正方形的性质是解题关键．
27.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD=AE=6，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= 62+82=10，
∵AB=AC=10，
∴BD=AB−AD=10−6=4．
【解析】(1)利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
(2)先利用全等三角形的性质得到AD=AE=6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB−AD即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
28.【答案】解：(1)观点正确，理由如下：
若a，b，c是一组勾股数，则有a2+b2=c2，所以有a2=c2−b2，
利用平方差公式，可得a2=(c+b)(c−b)，
若a为偶数时，观点显然正确；若a为奇数，则c+b，c−b均为奇数，则c和b中必有一个偶数，
所以a，b，c中必定有一个偶数．
(2)m2−(m−1)2=2m−1(当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数)，
m2−(m−2)2=4(m−1)(当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数)．
【解析】(1)根据勾股定理和平方差公式即可求解；
(2)根据勾股定理及平方差公式解答即可．
此题主要考查了勾股数的定义及平方差公式，熟知满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
29.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=∠CAD．
由作图得：AE=AF．
在△ADE和△ADF中，
AE=AF∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SAS)；
(2)解：∵∠BAC=80°，∠BAD=∠CAD，
∴∠EAD=12∠BAC=40°，
由作图得：AE=AD．
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=12(180°−40°)=70°，
∵AB=AC，AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=90°−∠ADE=20°．
【解析】(1)根据三线合一得出∠BAD=∠CAD.由作图知：AE=AF.由SAS可证明△ADE≌△ADF；
(2)由作图知：AE=AD.得出∠AED=∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE=70°，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．