云南师大附中2024届高三高考适应性月考卷（七）数学试卷（PDF版附解析）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．因为，所以，故选C．
2．由双曲线的渐近线方程为可得直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线仅有一个公共点，故选.
3．由图象可得将，可得，故选A．
4．设该运动员投篮次有次命中，则，则，，令，则 ，故选B．
5．因为函数在上单调递减，所以，又函数在上单调递增，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，综上有，故选D．
6．因为，又能被整除，所以能被整除，当时符合，当，或时均不符合，故选B．
图1
7．如图1，设圆的半径为，则由题意可知，与圆的周长相等 ，即，则，设当点与点重合时，圆心为，分别作出在轴上的投影，则圆从初始位置滚动到圆，恰好滚动了个圆周，所以，则，故选B．
图3
图2
8．如图2，过点作，分别交于点，则动点在平面上的射影轨迹为线段，设当与重合时，有；当与重合时，有，则由为定长可知动点的轨迹是以为圆心，为半径且圆心角为的圆弧．如图3，在所在平面建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，直线：，直线：，联立直线与直线方程可求得，则，又，由此可得，所以，所以动点的轨迹长度为，故选A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9．2022年1月至2022年12月全国居民消费价格同比均大于0，说明2022年全年每个月都比2021年同月的居民消费水平高，因此2022年全年比2021年全年的全国居民消费价格高，故A正确；将2022年1月至2022年12月全国居民消费价格同比按从小到大顺序排列后，下四分位数是第三个数与第四个数的平均数，即，故B错误；2022年8月至2022年12月中，9月与10月的全国居民消费价格环比均大于0，说明全国居民消费价格一直在上升，11月的环比小于0，说明11月对比10月消费价格有所下降，12月环比等于0，说明12月与11月持平，因此这5个月中，10月的全国居民消费价格最高，故C错误；设2022年2月的全国居民消费价格为，则3月的全国居民消费价格为，4月的为，5月与6月的为，所以2022年6月比2022年2月的全国居民消费价格高，故D正确，故选AD．
10．因为，令，则，解得，即，则，其中所有不等式“”成立均当且，故A错误，B正确；对两边同除以可得，由可得，所以，当且仅当时，“”成立，故C正确；由可得，则 ，当且仅当即时，“”成立，故D正确，故选BCD．
11．当点与原点重合时，直线的斜率为，设，则，，将代入抛物线方程，可得，，所以抛物线方程为：，A正确；因为，若的中点纵坐标为，则，故C错误；同理，设直线的斜率为，则，，则，，因为，所以，故B正确；由可得，，即（*），由，可得（*）式等价于，即，化简得，当时，，故D正确，故选ABD．
12．由题意，，．在处的切线为： ，由题意，经过点，即，即，所以，故A错误；又 ，而，故，则 ，当且仅当即时“”成立，又，则，则，…，所以恒成立，B正确；又 ，由可得，所以为单调递增数列，C正确；因为，为的两个零点，所以，则，由韦达定理可得，则，同理可得，所以，则为公比为2等比数列，所以，故D正确，故选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．.
14．设在直线上的投影为点，则，所以当且在射线上时，最大，此时四边形为菱形且，所以，则.
15．设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则，，所以 .
图4
16．如图4，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，则由条件可得，，设，则，，则 ，当且仅当，即时，“”成立，又因为在上为增函数，所以坐在距离幕布米处，视角最大.
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）由表中数据可得
……………………………………………………（3分）
…………………………………………（5分）
关于的线性回归方程是…………………………………（6分）
（2）令，解得…………………………………（8分）
预测该农户在第12个月能被评选为“优秀带货主播”.…………………（10分）
18．（本小题满分12分）
（1）证明：平面，平面
又，，平面，平面
平面．…………………………………………（2分）
又平面．
又平面
平面平面．…………………………………………（4分）
（2）解：法一（坐标法）：如图5，以为原点，过点且垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
图5
图3
设，
则．…………………………………………（6分）
设平面的法向量为
则可取
取平面的法向量为．…………………………………（8分）
设平面与平面所成角为
则，两边平方经整理可得
……………………………………………………（10分）
解得或（舍去），
当平面与平面所成角为时，
…………………………………………………………（12分）
法二（几何法）：如图6，由可得平面，设为平面与平面ABC的交线，则
由（1）可得平面，而，平面
图6
图3
又
为平面与平面所成角，
，是的角平分线．……………………………………（8分）
在中，设点到的距离为，则由
可得（也可直接由角平分线定理得到），
…………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）如图7，连接，则当时，
在中，由余弦定理可得
图7
图3
………………………………………………………………（2分）
在中，由勾股定理可得
，
…………………………………………………………（4分）
…………………………………………（6分）
（2）如图8，连接，作于点，
则由可得为的中点，
设，则
图8
图3
…………………………………………………………（8分）
在中，由正弦定理可得
又
…………………………………………（11分）
由可得，
…………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：法一：由①
可得②………………………………………（2分）
②−①，可得
经整理可得，
即…………………………………………（4分）
为等差数列.
又由①可得，，即
…………………………………………（6分）
法二：对两边同除以
可得，
即
…………………………………………………………（2分）
设，则当时，
…………………………………………（4分）
又， …………………………………………（6分）
法三：数学归纳法（略）
（2）证明：由可得，
…………………………………………………………（7分）
，两边同除以，
可得，即……………………………………（10分）
…………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：，令，则
又单调递增，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
为的极小值点.…………………………………………（3分）
令，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，即极小值点的最大值为
…………………………………………（6分）
（2）证明：令
则…………………………………………（7分）
由（1）可得，即
又，则
…………………………………………（9分）
则
…………………………………………（10分）
当且仅当时，“”成立，
在上单调递增.
又在上恒成立，
即当且时，恒成立.
…………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
（1）解：，
，…………………………………………（2分）
椭圆的方程为：.…………………………………………（4分）
（2）证明：①当斜率为时，，分别为椭圆的左、右顶点，则，，
，则直线AM：，
令，则，
点为
，
；
…………………………………………（6分）
②当斜率不为时，设直线的方程为：，
将直线与椭圆方程联立：消去可得，
令，解得．
设，，则由韦达定理可得
…………………………………………（8分）
：，令，得，
，
又…………………………………………（9分）
，
又，，且，
，
综上，为定值.…………………………………………（12分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
D
B
B
A
题号
9
10
11
12
答案
AD
BCD
ABD
BCD
题号
13
14
15
16
答案