专题7.5 三角形的外角【十大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4295" 【题型1 三角形的外角】 PAGEREF _Tc4295 \h 1
\l "_Tc22811" 【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】 PAGEREF _Tc22811 \h 2
\l "_Tc1821" 【题型3 三角形的外角性质（求角）】 PAGEREF _Tc1821 \h 3
\l "_Tc15244" 【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】 PAGEREF _Tc15244 \h 4
\l "_Tc10380" 【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】 PAGEREF _Tc10380 \h 5
\l "_Tc12689" 【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】 PAGEREF _Tc12689 \h 6
\l "_Tc6567" 【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】 PAGEREF _Tc6567 \h 7
\l "_Tc15968" 【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】 PAGEREF _Tc15968 \h 8
\l "_Tc17908" 【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】 PAGEREF _Tc17908 \h 9
\l "_Tc26606" 【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】 PAGEREF _Tc26606 \h 11
【知识点1 三角形的外角】
三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【题型1 三角形的外角】
【例1】（2022•海沧区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是△BDE的外角的是（ ）
A．∠AEDB．∠AECC．∠ADED．∠BAE
【变式1-1】（2022•思明区校级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（ ）
A．∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
【变式1-2】如图，有 个三角形，∠1是 的外角，∠ADB是 的外角．
【变式1-3】（2022•江北区校级月考）如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2 三角形的外角性质】
①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大
于和它不相邻的任何一个内角．
【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】
【例2】（2022•通川区期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1
【变式2-1】（2022•临淄区期中）点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（ ）
A．∠APC＞∠BB．∠APC＝∠BC．∠APC＜∠BD．不能确定
【变式2-2】（2022春•兴隆县期末）如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠B＞∠2B．∠B＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠BD．∠1＞∠2＞∠B
【变式2-3】（2022•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠DB．∠D＞∠2C．∠1＝∠2+∠3D．∠3＝∠A
【题型3 三角形的外角性质（求角）】
【例3】（2022•石阡县模拟）如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式3-1】（2022•梁子湖区期末）三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为（ ）
A．1：3：6B．6：3：1C．9：7：4D．3：5：2
【变式3-2】（2022春•光明区期末）某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式3-3】（2022春•江阴市期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】
【例4】（2022•沈阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61°B．64°C．71°D．109°
【变式4-1】（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE＝ ．
【变式4-2】（2022春•邗江区期中）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【变式4-3】（2022•武冈市期末）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100°B．90°C．85°D．95°
【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】
【例5】（2022•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【变式5-1】（2022春•鄂州校级期中）如图，BD，CE是△ABC的两条高，且交于点O，
问：（1）∠1和∠2大小如何？
（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度数．
【变式5-2】（2022春•普陀区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°
【变式5-3】（2022春•腾冲县期末）已知：如图所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．
【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】
【例6】（2022春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝ °．
【变式6-1】（2022•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105°B．75°C．65°D．55°
【变式6-2】（2022•丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105°B．115°C．120°D．135°
【变式6-3】（2022•安徽二模）一副三角板如图放置，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】
【例7】（2022•沙湾区模拟）如图，直线a∥b，则∠1＝（ ）
A．100°B．110°C．125°D．135°
【变式7-1】（2022春•东西湖区校级月考）如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（ ）
A．α+β+γB．α+β﹣γC．β+γ﹣αD．α﹣β+γ
【变式7-2】（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【变式7-3】（2022•细河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】
【例8】（2022•东城区校级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
【变式8-1】（2022•武昌区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【变式8-2】（2022春•宜兴市校级期末）如图，将△ABC的∠C折叠，使C点在AC边上，折痕为DE，则（ ）
A．∠BDC＝∠DCE+90°B．∠BDC＝2∠DCE
C．∠BDC+∠DCE＝180°D．∠BDC＝3∠DCE
【变式8-3】（2022春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】
【例9】（2022春•茌平区期末）．如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【变式9-1】（2022•中原区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
【变式9-2】（2022•郏县期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【变式9-3】（2022春•江都区月考）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】
【例10】（2022春•靖江市月考）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．
如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．
根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BOn﹣1C＝（ ）
A．×180°+∠AB．×180°+∠A
C．×180°+∠AD．×180°+∠A
【变式10-1】（2022•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
【变式10-2】（2022•市北区期末）【探究发现】
如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝ ．
【变式10-3】（2022春•宝应县期中）【问题引入】
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】
（3）如图3，在△ABC中，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB则∠BOC＝ （用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．