专题13.4 期中真题重组卷（考查范围：第7~9章）-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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【苏科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分）（2022秋·河南南阳·八年级校考期中）下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a6B．ab23=ab6C．a52=a7D．a6÷a2=a4
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法、积及幂的乘方运算法则，进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.a2⋅a3=a5，故该选项错误，不符合题意；
B.ab23=a3b6，故该选项错误，不符合题意；
C.a52=a10，故该选项错误，不符合题意；
D.a6÷a2=a4，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、积及幂的乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
2．(3分）（2022春·辽宁朝阳·八年级统考期中）如图，将周长为18的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】A
【分析】根据平移的性质可得AD=CF=2，AC=DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，AC=DF，
∴四边形ABFD的周长=AB+（BC+CF）+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF，
∵△ABC的周长=18，
∴AB+BC+AC=18，
∴四边形ABFD的周长=18+2+2=22．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟记平移的性质得到相等的线段是解题的关键．
3．(3分）（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a−b，m−n，8，a+b，a2+b2，m，分别对应下列六个字：爱；我，莱，阳，学，校．现将8ma2−b2−8na2−b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱莱阳B．莱阳学校C．爱莱阳D．我爱学校
【答案】A
【分析】先提取公因式，在利用平方差公式分解即可．
【详解】解：8ma2−b2−8na2−b2
=8a2−b2m−n
=8a+ba−bm−n，
∵8，a+b，a−b，m−n四个代数式分别对应：莱，阳，爱，我，
∴结果呈现的密码信息可能是“我爱莱阳”．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．(3分）（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠2=∠4B．∠B=∠5C．∠5=∠DD．∠D+∠DAB=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
C．根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥CB，无法判定AB∥CD，故此选项符合题意；
D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
5．(3分）（2022秋·四川南充·八年级阆中中学统考期中）已知a=355，b=444，c=533，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c【答案】A
【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．
【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵125<243<256，
∴c故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．
6．(3分）（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，△ABC的面积是4，则△BEF的面积是（ ）
A．2B．1C．0.5D．0.25
【答案】B
【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E分别是BC、AD的中点，△BEC与△ABC同底，△BEC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【详解】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等，
∴S△BEF=12S△BEC，
∵E是AD的中点，△BEC与△ABC同底，
∴△BEC的高是△ABC高的一半，
∴S△EBC=12S△ABC，
∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=4，
∴S△BEF=1，
即阴影部分的面积为1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知三角形中线的性质．
7．(3分）（2022春·湖北荆门·七年级校考期中）如果∠A=36°，且与∠B的两条边分别平行，则∠B为（ ）
A．36°B．144°C．36°或144°D．36°或54°
【答案】C
【分析】分两种情况，画出图形，利用平行线的性质解答．
【详解】解：如图①，
∵AD∥BC
∴∠A=∠CMB
∵AE∥BF
∴∠B=∠CMB
∴∠B=∠A=36°；
如图②，
∵AD∥BC
∴∠A=∠ANB
∵AE∥BF
∴∠B+∠ANB=180°
∴∠B+∠A=180°，
∴∠B=144°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记平行线的性质是解题的关键．
8．(3分）（2022秋·河北邢台·八年级河北南宫中学校考期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
【答案】B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝12 [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
9．(3分）（2022春·江苏南通·七年级校考期中）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为( )
A．20°B．35°C．40°D．45°
【答案】B
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-505°=35°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
10．(3分）（2022秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）若x+px+q=x2+mx+36，p，q为正整数，则m的最大值与最小值的差为（ ）
A．25B．24C．74D．8
【答案】A
【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
【详解】解：x+px+q=x2+(p+q)x+pq，
∵x+px+q=x2+mx+36，
∴p＋q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p＋q＝13，
36＝1×36，则p＋q＝37，
36＝2×18，则p＋q＝20，
36＝3×12，则p＋q＝15，
36＝6×6，则p＋q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12．
其差为25，
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则的应用，解答的关键是理解清楚题意，求得m与p＋q，pq的关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分）（2022秋·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）计算 232023×−322022的结果是___________．
【答案】23
【分析】先逆运用同底数幂的乘法运算法则将232023化为23×232022，再逆运用积的乘方运算计算．
【详解】解：原式=23×232022×−322022
=23×23×−322022
=23×−12022
=23×1
=23
故答案为：23．
【点睛】本题考查积的乘方运算和同底数幂的乘法的逆运用．熟练掌握运算公式是解题关键．
12．(3分）（2022春·安徽亳州·七年级校考期中）已知2n=a，5n=b，20n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．
【答案】c=a2b
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论．
【详解】解：20n=4×5n=22×5n=22n×5n=2n2×5n=a2b=c，
∴a、b、c之间满足的等量关系是c=a2b；
故答案为：c=a2b．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键．
13．(3分）（2022春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是___________．
【答案】720°或900°或1080°
【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：∵多边形的内角和是900°，
∴n−2×180=900，
解得：n=7，即原多边形是七边形，
因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当多边形的边数减少了1条边，内角和=7−1−2×180°=720°；
当多边形的边数不变，内角和=7−2×180°=900°；
当多边形的边数增加一条边，内角和=7+1−2×180°=1080°．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是720°或900°或1080°，
故答案为：720°或900°或1080°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．
14．(3分）（2022秋·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）若式子x2+m+7x+25是完全平方式，则m的值是______．
【答案】3或−17
【分析】根据完全平方式的一般形式，即可得到m+7=±10，解方程，即可求解．
【详解】解：∵式子x2+m+7x+25是完全平方式，
∴x2+m+7x+25=x2±10x+25=x±52，
∴m+7=±10，
解得m=3或m=−17，
故答案为：3或−17．
【点睛】本题考查了完全平方式的一般形式，熟练掌握和运用完全平方式的一般形式是解决本题的关键．
15．(3分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC=80°，∠C=38°，则∠DAE=__．
【答案】12°
【分析】根据AD是△ABC的高线，得∠CDA=90°，根据直角三角形两锐角互余与∠C=38°，得∠CAD=50°， 根据角平分线定义与∠BAC=80°，得∠CAE=40°，即可得答案．
【详解】∵AD是△ABC的高线，
∴∠CDA=90°，
∵∠C=38°，
∴∠CAD=90°−∠C=52°，
∵∠BAC=80°， AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=52°−40°=12°，
故答案为：12°．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，角平分线，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角关系，角平分线定义的计算．
16．(3分）（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤150时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 _____．
【答案】30或120
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE//BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC//DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE//BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE//BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP//DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN//GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE//BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP//DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN//GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC//DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF//BC，AC⊥BC，
∴AI//DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN//GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120(此时DF在MN下方，舍去），
②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°-180°，
∵DF//BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC//DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN//GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°-60°，
∴t＝120，
综上，所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分）（2022春·江苏常州·七年级校考期中）把下列各式分解因式：
(1)3a2b−6ab2+9ab；
(2)a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）；
(3)a2+12−4a2．
【答案】(1)3aba−2b+3
(2)a−ba+2a−2
(3)a+12a−12
【分析】（1）利用提公因式法分解因式；
（2）先提取公因式a−b，再利用平方差公式分解因式；
（3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）3a2b−6ab2+9ab
=3aba−2b+3；
（2）a2a−b−4a−b
=a−ba2−4
=a−ba+2a−2；
（3）a2+12−4a2
=a2+1+2aa2+1−2a
=a+12a−12．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
18．(6分）（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）计算：
(1)x2⋅x3+−x5+x23．
(2)−3×106×2×104
(3)先化简，再求值：2x−3y233y−2x33y−2x4，其中x=2，y=1；
(4)已知3m+2n=8，求8m⋅4n的值．
【答案】(1)x6
(2)−6×1010
(3)3y−2x13，−1
(4)28(或256)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解；
（4）逆用幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】（1）x2⋅x3+−x5+x23
=x5−x5+x6
=x6；
（2）−3×106×2×104
=−3×2×106×104
=−6×1010．
（3）2x−3y233y−2x33y−2x4
=3y−2x6(3y−2x)7
=(3y−2x)13
当x=2，y=1时，
原式=(3×1−2×2)13=−1．
（4）∵3m+2n=8
∴8m⋅4n=23m⋅22n=23m⋅22n=23m+2n=28．(或256)
【点睛】本题考查了幂的运算，代数式求值，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题的关键．
19．(8分）（2022春·山东青岛·七年级校考期中）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=74°，CD是AB边上的高，CE平分∠ACB，DF⊥CE于点F，求∠ECD和∠CDF的度数．
【答案】∠ECD=17°，∠CDF=73°
【分析】由三角形内角和可求得∠ACB的度数，再由CE平分∠ACB，可求得∠BCE的度数，因CD是AB边上的高，则可求得∠BCD的度数，从而求得∠ECD的度数，由DF⊥CE即可求得∠CDF的度数．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=74°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=66°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=12∠ACB=33°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BCD=90°−∠B=16°，
∴∠ECD=∠BCE−∠BCD=33°−16°=17°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF=90°−∠ECD=73°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，这两个知识的应用是解题的关键．
20．(8分）（2022秋·河北廊坊·八年级统考期中）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）试确定m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长．
【答案】（1）3＜m＜5；（2）△ABC的周长＝19；（3）另外两边的长为32和8．
【分析】（1）根据三角形的三边关系，可得①（m-2）+（2m+1）＞8，（2m+1）-（m-2）＜8，解①②组成的不等式组可得；
（2）根据题意和m的取值，即可得出m=4，从而得出边的长，三边相加即可求得三角形的周长；
（3）分三种情况分别讨论即可求得m=72，代入m-2，2m+1即可求得另外两边的长．
【详解】（1）根据三角形的三边关系得
{(2m+1)+(m−2)>8(2m+1)−(m−2)<8，
解得3＜m＜5；
（2）∵△ABC的三边均为整数，
∴m＝4，
∴△ABC的周长＝m﹣2+2m+1+8＝19；
（3）当m﹣2＝2m+1时，
解得m＝﹣3（不合题意，舍去），
当m﹣2＝8时，
解得，m＝10＞5（不合题意，舍去），
当2m+1＝8时，
解得，m＝72，
所以若△ABC为等腰三角形，m＝72，
则m﹣2＝32，2m+1＝8，
所以，另外两边的长为32和8．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
21．(8分）（2022春·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平分∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．
(1)如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
(2)如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)45°
(2)∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°−2∠ENQ，证明见解析
【分析】（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=12∠FHP+∠HFP；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．
（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=12∠HEF+∠DEF=12∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=12180°−∠HED=12∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．
②首先判断出∠NEQ=∠QEF−∠NEF=12∠DEF−∠HEF=12∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=12180°−∠HED=12∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°−2∠ENQ即可．
【详解】（1）解：如图1，作MQ∥AB，
，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，∠FED=∠HFP，
∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，
∵EM平分∠FED，HM平分∠BHP，
∴∠FHM=12∠FHP，∠DEM=12∠FED，
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=12∠FHP+∠FED=12∠FHP+∠HFP，
∵HP⊥EF，
∴∠HPF=90°，
∴∠FHP+∠HFP=180°−90°=90°，
∵∠1+∠2=∠M，
∴∠M=12×90°=45°．
（2）解：①如图2，
，
∠FHE=2∠ENQ，理由如下：
∵EM平分∠FED，EN平分∠HEF，
∴∠FEM=12∠FED，∠NEF=12∠FEH，
∴∠NEQ=∠NEF+∠QEF=12∠HEF+∠DEF=12∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=90°−∠NEQ=90°−12∠HED=12180°−∠HED=12∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．
②如图3，
，
∠FHE=180°−2∠ENQ，理由如下：
∵EM平分∠FED，EN平分∠HEF，
∴∠FEM=12∠FED，∠NEF=12∠FEH，
∴∠NEQ=∠QEF−∠NEF=12∠DEF−∠HEF=12∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=90°−∠NEQ=90°−12∠HED=12180°−∠HED=12∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=180°−∠CEH=180°−2∠ENQ．
综上，可得
当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°−2∠ENQ．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
22．(8分）（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2−16一定为20的倍数．
(2)若m=p2−q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：Hm=qp，例如24=52−12，称数对(5,1)为“友好数对”，则H24=15，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)1517
【分析】（1）m=10t+4，1≤t≤9，且t为整数，即可得出结论；
（2）根据题意得10t+4=(p+q)(p−q)，分别取t=1，2，3，4，5，6时，求出p，q为正整数时的H(m)的值，即可求出最大值．
【详解】（1）证明：设m=10t+4，1≤t≤9，且t为整数，
∴m2−16
=(10t+4)2−16
=100t2+80t+16−16
=20(5t2+4t)
∵1≤t≤9，且t为整数，
∴5t2+4t是正整数，
∴m2−16一定是20的倍数；
（2）∵m=p2−q2，且p，q为正整数，
∴10t+4=(p+q)(p−q)，
当t=1时，
10t+4=14=1×14=2×7，没有满足条件的p，q，
当t=2时，
10t+4=24=1×24=2×12=3×8=4×6，
∴满足条件的有p+q=12p−q=2或p+q=6p−q=4，
解得p=7q=5或p=5q=1，
∴H(m)=57或15，
当t=3时，
10t+4=34=1×34=2×17，没有满足条件的p，q，
当t=4时，
10t+4=44=1×44=2×22=4×11，
∴满足条件的有p+q=22p−q=2，
解得p=12q=10，
∴H(m)=1012=56，
当t=5时，
10t+4=54=1×54=2×27=3×18=6×9，没有满足条件的p，q，
当t=6时，
10t+4=64=1×64=2×32=4×16=8×8，
∴满足条件的有p+q=32p−q=2或p+q=16p−q=4，
解得p=17q=15或p=10q=6，
∴H(m)=1517或35，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为1517．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解“好数”和“友好数对”的含义并进行应用是解决本题的关键．
23．(8分）（2022秋·广东云浮·八年级新兴实验中学校考期中）综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相较于点P．
(1)如图1，如果∠A=80°，求∠BPC的度数．
(2)在（1）的条件下，如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，求∠Q的度数．
(3)如图3，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍，若存在，请直接写出∠A的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)130°
(2)50°
(3)当∠A=90°或60°或120°时，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍
【分析】（1）先求∠ABC+∠ACB=100°，然后根据角平分线定义可求∠PBC+∠PCB=50°，最后根据三角形内角和定理即可求∠BPC的度数；
（2）在（1）的条件下，可求∠MBC+∠NCB=260°，然后根据角平分线定义可求∠QBC+∠QCB=130°，最后根据三角形内角和定理即可求∠BQC的度数；
（3）在△BQE中，可求∠Q=90°−12∠A，∠E=12∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；求解即可．
【详解】（1）解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相较于点P，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=50°，
∴∠P=180°−∠PBC+∠PCB=130°；
（2）解：如图，
由（1）知：∠ABC+∠ACB=100°，
∴180°−∠MBC+180°−∠NCB=100°，
∴∠MBC+∠NCB=260°，
∵△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，
∴∠QBC+∠QCB=12∠MBC+12∠NCB=12∠MBC+∠NCB=130°，
∴∠Q=180°−∠QBC+∠QCB=50°；
（3）解：由（2）知：∠Q=180°−∠QBC+∠QCB=180°−12∠MBC+∠NCB=180°−12180°−∠A=90°−12∠A，
∵∠QCB=12∠NCB，∠EBC=12∠ABC，∠E=∠QCB−∠EBC，
∴∠E=12∠NCB−12∠ABC=12∠NCB−∠ABC=12∠A，
∵BP平分∠ABC，BQ平分∠MBC，
∴∠PBC=12∠ABC，∠QBC=12∠MBC，
∴∠PBC=∠PBC+∠QBC=90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①当∠EBQ=2∠E=90°时，则∠E=45°，∴∠A=90°；
②当∠EBQ=2∠Q=90°时，则∠Q=45°，∴∠E=45°，∴∠A=90°；
③当∠Q=2∠E时，∠E=11+2×90°=30°，∴∠A=60°；
④当∠E=2∠Q时，∠E=21+2×90°=60°，∴∠A=120°；
故当∠A=90°或60°或120°时，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．