备战2024年高考物理一轮重难点复习讲义 突破02+ 弹簧模型【全攻略】

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静力学中的弹簧模型
静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于平衡状态的问题，涉及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。
【例题】如图所示，粗糙的水平地面上放着一个质量为M、倾角为θ的斜面体，斜面部分光滑，底面与水平地面间的动摩擦因数为μ，轻质弹簧一端与固定在斜面上的轻质挡板相连，另一端连接一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k。斜面体在水平向右的恒力F作用下，和小球一起以加速度a向右做匀加速直线运动（运动过程小球没离开斜面）。重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．水平恒力大小为（M＋m）aB．地面对斜面体的摩擦力为μ（M＋m）g
C．弹簧的形变量为D．斜面对小球的支持力为mgcsθ＋masinθ
【答案】B
【详解】AB．将小球和斜面看成整体进行受力分析可知
又
故水平恒力大小为
地面对斜面体的摩擦力为
A错误，B正确；
CD．对小球进行受力分析可知
解得
根据胡克定律可知弹簧的形变量为
CD错误。
故选B。
【总结归纳】
(1)弹簧的最大形变量对应弹簧弹力的最大值。
(2)当木块刚好不上滑时所受静摩擦力达到最大值，此时弹簧弹力最大。
【分类训练】
类型1 形变情况已知的弹簧模型
1．木块A、B重力分别为50 N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度系数为400 N/m，系统置于水平地面上静止不动．假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现用F＝2 N的水平拉力作用在木块B上，如图所示，则F作用后木块A、B所受摩擦力的大小分别为(弹簧始终在弹性限度内) （ ）
A．8 N,10 NB．8 N,15 N
C．10 N,8 ND．10 N,15 N
【答案】A
【详解】由题意可知，木块A和木块B受到的最大静摩擦力分别为
弹簧对木块A、B的弹力为
系统置于水平地面上静止不动，对木块A受力分析, 在X轴方向有
木块A所受摩擦力方向水平向右,故CD不符合题意；
系统置于水平地面上静止不动，又对木块B受力分析, 在X轴方向有
木块B所受摩擦力方向水平向左,故BCD不符合题意，A正确。
故选A。
类型2 形变情况未知的弹簧模型
如图所示，原长分别为和、劲度系数分别为和的轻质弹簧竖直的悬挂在天花板下，两弹簧之间有一质量为的物体，最下端悬挂着质量为的另一物体，整个装置处于静止状态。现用一个平板把下面的物体竖直地缓缓向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，这时平板受到下面的物体的压力大小是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，用平板托起稳定后，上面的弹簧处于拉伸状态，下面的弹簧处于压缩状态，并且两弹簧的形变量相同，则有
，
联立解得
根据牛顿第三定律得，平板受到下面的物体的压力大小是。
故选B。
动力学中的弹簧模型
动力学中的弹簧模型主要涉及关联物体在弹簧作用下的运动，该运动过程中弹簧的弹力往往是变力，物体的加速度、速度等物理量均与弹簧的形变量有关，试题难度中等。)
【例题】如图所示，一水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端与放在水平地面上的物体A相连，物体B靠在A的右侧，弹簧处于原长状态。现用力F压物体B使弹簧缓慢压缩了后撤去力F。已知弹簧的劲度系数，A的质量为，B的质量为，地面与A、B两物体间的动摩擦因数。下列说法中正确的是（ ）
A．F撤去瞬间，A的加速度为
B．F撤去瞬间，A对B的作用力大小为5N
C．F撤去后，B向右运动了10.5cm时与A分离
D．F撤去后，B向右运动了3cm时的速度最大
【答案】B
【详解】A．撤去F的瞬间，弹簧弹力不会发生突变，根据牛顿第二定律得A的加速度为
解得
故A错误；
B．F撤去瞬间对物体B由牛顿第二定律得
解得A对B的作用力大小为
故B正确；
C．F撤去后，弹簧恢复原长时AB分离，即B向右运动了7.5cm，故C错误；
D．F撤去后，当B的加速度为零时速度最大，即
解得
F撤去后，B向右运动的距离为
故D错误。
故选B。
【总结归纳】
(1)木板B与砝码A脱离瞬间弹簧不一定处于自然伸长状态。
(2)物体间脱离的标志是相互作用力为零，此时两物体的加速度、速度均相同。
【分类训练】
类型1 与弹簧相连的物体间作用力变化分析
1．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
【答案】D
【详解】由于在力F的作用下物体处于静止状态，此时弹簧处于压缩状态，撤去F后，物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，所以弹簧的弹性势能先减小后增大。
故选D。
类型2 与弹簧相连的物体速度与加速度变化分析
2．如图所示，轻弹簧一端固定，另一端自由伸长时恰好到达O点，将质量为m（视为质点）的物体P与弹簧连接，并将弹簧压缩到A由静止释放物体后，物体将沿水平面运动。若物体与水平面的摩擦力不能忽略，则关于物体运动的下列说法中正确的是（ ）
A．从A到O速度先增大后减小，从O到B速度不断减小
B．从A到O速度不断增大，从O到B速度不断减小
C．从A到O加速度不断减小，从O到B加速度先减小后增大
D．从A到O加速度不断减小，从O到B加速度不断增大
【答案】A
【详解】AB． 从A到O物块受合力先减小后反向增加，所以速度先加速后减速，从O到B受到的合外力始终朝左，所以速度不断减小。故选项A正确，选项B错误；
CD． 从A到O加速度先减小后增加，从O到B加速度一直增加，故选项CD错误，
故选A。
与动量、能量有关的弹簧模型
与动量、能量有关的弹簧模型常涉及碰撞问题和弹簧弹力做功问题，因弹力为变力，一般不直接用功的定义式确定其功的大小，因此，常应用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹力做功或弹性势能。
【例题】如图所示，光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视为质点，设Q的质量为m，P的质量是Q质量的3倍。Q与水平轻弹簧相连，开始Q静止，P以一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞。当弹簧的弹性势能最大时（ ）
A．Q的动能为P动能的
B．P的速度为
C．P、Q的动能之和为
D．弹簧具有的弹性势能等于
【答案】C
【详解】B．P、Q系统在水平方向上不受外力，动量守恒，当两者速度相等时，弹性势最大。由动量守恒定律得
解得
故B错误；
A．弹性势能最大时，Q的动能为
P的动能为
则Q的动能为P动能的
故A错误；
C．P、Q的动能之和为
故C正确；
D．弹簧具有的弹性势能
故D错误。
故选C。
【总结归纳】
(1)两物体发生完全非弹性碰撞时，系统动能损失最大。
(2)因碰撞时间极短，碰撞瞬间物体并没有发生明显位移，即与物体相连的弹簧形变量没有发生变化，故系统碰撞损失的动能并没有转化为弹性势能。
【分类训练】
类型1 功能关系中的弹簧模型
1．如图所示，半径m的光滑圆环沿竖直方向固定放置，为圆心，A为圆环最高点。轻弹簧劲度系数，一端固定在A点，另一端与穿在圆环上的小球连接。弹簧原长时，小球位于点，弹簧与竖直直径成53°角。静止释放小球，当小球运动至点时，其速度达到最大，速度值为，此时弹簧与竖直直径成37°角。重力加速度，，，计算结果均取一位小数，下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为1.5kgB．小球由至，其重力势能减少了4.9J
C．小球由至，其机械能减少了6.8JD．小球由至，其机械能减少了1.5J
【答案】B
【详解】A．由题意可知小球运动至C点时所受合外力为零，如图所示，根据胡克定律可知此时弹簧弹力大小为
根据力的矢量三角形与几何三角形相似可知
解得小球的质量为
故A错误；
B．小球由至，其重力势能的减少量为
故B正确；
CD．小球由B至C，设除重力之外的力对小球做功的代数和为W，根据动能定理有
解得
根据功能关系可知小球机械能减少了3.4J，故CD错误。
故选B。
类型2 动量关系中的弹簧模型
2．如图所示，质量均为m的A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧拴接在一起竖直放置在水平地面上，物体A处于静止状态。在A的正上方h高处有一质量也为m的小球C。现将小球C由静止释放，C与A发生碰撞后立刻粘在一起，弹簧始终在弹性限度内，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．C与A碰撞后A最大速度的大小为
B．C与A碰撞过程中，A、C组成的系统损失的机械能为
C．C与A碰撞后弹簧的最大弹性势能为
D．要使碰后物体B被拉离地面，h至少为
【答案】D
【详解】A．C与A碰撞前瞬间，根据自由落体的规律有
C与A碰撞，动量守恒，有
解得
之后，由于AC的总重力大于弹簧的弹力，AC将向下加速，所以A的最大速度将大于，A错误；
B．损失的机械能为
B错误；
C．C与A碰撞后，AC速度减小到零时，弹簧的弹性势能最大，根据能量守恒得
E0为初始的弹性势能，C错误；
D．AC碰后至反弹到最高点，要使碰后物体B被拉离地面，弹簧拉力至少为B的重力，即弹簧形变与碰前的一样，但是弹簧处于拉伸状态，AC的动能转化为重力势能，有
碰前，对A有
解得
D正确。
故选D。
一、单选题
1．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平天花板上，另一端与一小球相连，再对小球施加一个拉力F使小球处于平衡状态。现保持拉力F大小不变，方向沿顺时针缓慢转至水平，此过程中弹簧的长度将（弹簧始终处在弹性限度内）（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小C．减小D．增大
【答案】D
【详解】根据题意，对小球受力分析，如图所示
保持拉力F大小不变，方向缓慢转至水平过程中，由矢量三角形可得，弹簧弹力逐渐增大，弹簧长度逐渐增大。
故选D。
2．如图所示，长木板A置于水平地面上，其左端有固定的立柱，物块B叠放在A上。立柱与B之间有轻弹簧连接，水平向左的力F作用在物块B上。若力F逐渐增大，但各物体仍处于静止状态，则在此过程中（ ）
A．木板A上、下表面所受摩擦力的合力不变
B．物块B所受的摩擦力逐渐增大
C．物块B所受的摩擦力始终向右
D．弹簧的弹力逐渐增大
【答案】A
【详解】BC．初始时，弹簧处于拉伸还是压缩状态未知，逐渐增大力F，物块B所受的摩擦力可能增大也可能减小，方向可能向右也可能向左，故BC错误；
D．各物体仍处于静止状态，弹簧长度不变，弹簧的弹力不变，故D错误；
A．木板A上、下表面所受摩擦力的合力大小等于弹簧弹力，不变，故A正确。
故选A。
3．如图，粗糙水平地面上一小车在外力作用下向右做匀速直线运动。一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，弹簧处于压缩状态，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。小车与滑块始终相对静止，一起在水平地面上做匀速直线运动。在地面参考系（可视为惯性系）中，小车、弹簧和滑块组成的系统（ ）
A．动量守恒，机械能总量保持不变
B．动量守恒，机械能总量发生改变
C．动量不守恒，机械能总量保持不变
D．动量不守恒，机械能总量发生改变
【答案】A
【详解】根据题意可知，小车、弹簧和滑块组成的系统所受合外力为零，则系统的动量守恒，整个系统在水平地面上做匀速直线运动，系统的动能和重力势能都不变，物块与小车保持相对静止，弹簧的形变量不变，弹簧的弹性势能不变，则系统的机械能总量保持不变。
故选A。
4．如图所示，连在一起的两段轻弹簧竖直放置，弹簧的劲度系数分别为和，重力加速度为。当弹簧处于原长状态时，把质量为的重物轻轻放在弹簧上面，当重物所受的合力为零时，重物下降的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】重物静止时，对于上、下两段弹簧，分别满足
则重物下降的距离为
综合以上分析D正确，ABC错误。
故选D。
5．如图所示，两个弹簧的质量不计，劲度系数分别为k1、k2，它们一端固定在质量为m的物体上，另一端分别固定在平面Q、P上，当物体平衡时上面的弹簧处于原长，若把固定的物体换为质量为2m的物体（弹簧均在弹性限度内），当物体再次平衡时，物体比第一次平衡时的位置下降了x，则x为（重力加速度为g）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当物体的质量为m时，下方弹簧被压缩的长度为
当物体的质量变为2m时，设物体下降的高度为x，则上方弹簧伸长的长度为x，下方弹簧被压缩的长度为，两弹簧弹力之和等于2mg，由胡克定律和平衡条件得
联立解得
故选A。
6．如图所示，用一根轻质弹簧将A、B两个物块连接在一起，在B上作用一水平向有的恒力F。若将A、B放置在光滑的水平桌面上，物块A、B以加速度向右加速，此时弹簧的长度为；若将A、B放置在粗糙的水平桌面上，物块A、B以加速度向右加速，此时弹簧的长度为；已知弹簧始终处于弹性限度范围内，物块A、B与水平桌面的动摩擦因数相等，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．A、B放置在光滑的水平桌面上时，若突然撤去拉力F，A、B将做匀速直线运动
D．A、B放置在粗糙的水平桌面上时，突然撤去拉力F的瞬间，A、B加速度均发生改变
【答案】B
【详解】AB．A、B放置在光滑的水平桌面上时，有
A、B放置在粗糙的水平桌面上时
可得
即
故A错误，B正确；
C．A、B放置在光滑的水平桌面上时，若突然撤去拉力F，弹簧还处于拉伸状态，弹力不为0，A、B受力均不为0，均不会做匀速直线运动，故C错误；
D．A、B放置在粗糙的水平桌面上时，突然撤去拉力F的瞬间，物块B受力情况发生突变，B加速度发生突变，但弹簧弹力不变，物块A受力情况不变加速度不变，故D错误。
故选B。
7．如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同的绝缘轻弹簧连接构成等边三角形，轻弹簧均处于原长。现让每个小球带上相同的电量q，当三角形的面积增大到原来的4倍时重新达到平衡状态。已知每根弹簧的原长为，真空中的静电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】三角形的面积为
则当面积增大到原来的４倍时，边长变为原来的２倍，即当每个小球带上电量时，弹簧伸长了l0，则对其中一个小球受力分析可知
解得
故选A。
8．一轻弹簧的一端固定在倾角为的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为的小物块相连，如图所示。质量为的小物块紧靠静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为。从时开始，对施加沿斜面向上的拉力，使始终做匀加速直线运动。经过一段时间后，物块分离；再经过同样长的时间，距其出发点的距离恰好也为。弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度大小为。则（ ）
A．在弹簧压缩量为处分离B．的加速度为
C．作用于上的最小拉力为D．在匀加速运动的时间为
【答案】D
【详解】A．由于初速度为0，最初两段相同时间间隔内位移之比为
且由题可知
在弹簧压缩量为
故A错误；
B．此时两物体刚好要分离，即a与b之间无相互作用力，对a由牛顿第二定律可得
小物体b紧靠a静止在斜面上，则将二者看出一个整体，可知弹力大小与整体重力的分力大小相等，有
整理解得
故B错误；
C．分离前对整体分析可知，由牛顿第二定律有
则刚开始运动时拉力最小，则，且
则
故C错误；
D．a与b在b向上运动的位移刚好分离，此前在匀加速运动，则有
解得
故D正确。
故选D。
9．如图所示，质量均为的两物块、叠放后静止在光滑水平面上的点，其中通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连，弹簧劲度系数。现对施加一水平向左的推力，使、一起缓慢向左移至点后释放。已知、间动摩擦因数，重力加速度，设两物块间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．间距离最大为B．释放后将从上滑出
C．释放后的加速度可能为D．释放后、将一起向右做匀加速运动
【答案】A
【详解】A．、一起缓慢向左移至点，、间恰好不发生滑移，、间的最大静摩擦力等于弹簧弹力
故间距离最大为
故A正确；
B．释放后根据牛顿第二定律有
由于、间的最大静摩擦力足以提供B做加速运动的合外力，故释放后、相对静止，不会从上滑出，故B错误；
C．释放后的最大加速度为
故释放后的加速度不可能为，故C错误；
D．释放后、将一起做简谐运动，故D错误。
故选A。
10．如图所示，小球A和B套在光滑水平杆上，两球间连接轻弹簧，A、B分别通过长度相等的轻绳一起吊起质量为300g的小球C，当两绳与水平杆的夹角为37°时恰好处于平衡状态，此时弹簧压缩了2cm。已知，，重力加速度大小取。弹簧始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为（ ）
A．200N/mB．100N/mC．50N/mD．1N/m
【答案】B
【详解】对小球C受力分析可知
对弹簧
解得
k=100N/m
故选B。
11．在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可视为质点）从弹簧上端由静止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图所示，其中和为已知量。下列说法中不正确的是（ ）
A．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
C．小球向下运动过程中的最大动能为
D．当弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为
【答案】A
【详解】A．设该星球的重力加速度为，小球刚放到弹簧上时，满足，只受星球吸引力的作用，由图知，方向竖直向下；当弹簧的压缩量为时，小球的加速度为0，此时弹簧的弹力为
之后小球继续向下运动直至速度为0，弹簧的压缩量继续增大，可知当小球的速度为0时，弹簧的弹力，故A错误，符合题意；
B．设竖直向下为正方向，故对小球受力分析可知
故小球运动的加速度大小为
当时，，可得
故B正确，不符合题意；
C．由图可知，当弹簧的压缩量为时，小球的加速度为0，此时小球的速度最大，动能最大；由动能定理可得
故C正确，不符合题意；
D．当弹簧的压缩量为时，弹簧的弹性势能为
故D正确，不符合题意。
故选A。
12．如图所示，轻弹簧的一端固定，另一端连着小球A，小球A的下面用另一根相同的轻弹簧连着小球B，一根轻质细绳一端连接小球A，另一端固定在墙上，平衡时细绳水平，弹簧与竖直方向的夹角为，弹簧的形变量为弹簧形变量的3倍，重力加速度大小为g。将细绳剪断的瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．小球A的加速度大小为B．小球A的加速度大小为
C．小球B的加速度大小为D．小球B的加速度大小为g
【答案】B
【详解】细绳剪断之前，对整体受力分析
满足
对B受力分析
满足
又因为两轻弹簧劲度系数相同，且弹簧的形变量为弹簧形变量的3倍，故有
联立解得
剪断细绳后瞬间，两轻弹簧上弹力保持不变，细绳上拉力变为0，此时小球A所受合外力大小与原绳上拉力相等，小球B所受合外力为零，由牛顿第二定律可知
解得
故B正确，ACD错误。
故选B。
二、解答题
13．如图所示，一轻质弹簧两端连着木块和，静止放在光滑水平面上，一颗子弹以水平速度射入木块并留在其中，已知子弹的质量为，的质量为，的质量为，则直到弹簧压缩最短时，求：
（1）弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）系统损失的机械能为多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，由动量守恒定律有
解得
当物块与物块速度相等时，弹簧压缩到最短，此时弹性势能最大，由于整个过程系统的动量守恒，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律有
（2）系统损失的机械能为
14．如图，一水平轻弹簧左端固定，右端与一质量为m的小物块a连接，a静止在水平地面上的A处，此时弹簧处于原长状态，A左侧地面光滑；另一质量为的小滑块b静止在B处，b与地面间的动摩擦因数为μ。现对b施加一水平向左、大小为的恒定推力，经时间t后b与a发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰前瞬间撤去推力，a与b不再相碰。已知重力加速度大小为g。求；
（1）b与a碰撞前瞬间的速度大小v以及A与B间的距离x0；
（2）弹簧的最大弹性势能Epm以及碰后b运动的路程L。
【答案】（1）v = 2μgt，x0 = μgt2；（2），
【详解】（1）b从B运动到A的过程中做匀加速直线运动，设加速度大小为，则
根据牛顿第二定律有
解得
v = 2μgt，x0 = μgt2
（2）b与a发生弹性正碰，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，有
解得
a碰后向左运动到速度为零时弹簧的弹性势能最大，则
解得
b碰后向右做匀减速直线运动，设加速度大小为，则
根据牛顿第二定律有
解得
15．如图所示，质量均为m=0.4kg的两个小物块A、B（均可视为质点）放置在水平地面上，竖直平面内半径R=0.4m的半圆形轨道与水平地面相切于C点，弹簧左端固定。移动物块A压缩弹簧到某一位置（在弹簧弹性限度内），由静止释放物块A，物块A离开弹簧后与物块B碰撞并黏在一起以共同速度v=5m/s向右运动，运动过程中经过一段长为s、动摩擦因数的水平面后，冲上圆轨道。轨道其余部分均不摩擦。（g取10）
（1）刚要释放物块A时弹簧的弹性势能是多大？
（2）若s=1m，求两物块刚过C点时对轨道的压力大小。
（3）若两物块能冲上圆形轨道，且不脱离圆形轨道（从最高点飞出之前），s应满足什么条件？
【答案】（1）20J；（2）50N；（3）或
【详解】（1）物块A、B碰撞动量守恒有
可得物块A的初速度为
刚要释放物块A时弹簧的弹性势能为
（2）设两物块经过C点时速度为，两物块受到轨道支持力为，由功能关系得
根据牛顿第二定律有
联立解得
由牛顿第三定律知，两物块对轨道的压力大小为50N。
（3）物块不脱离轨道有两种情况：
①能过轨道最高点。设物块经过半圆形轨道最高点的最小速度为，则
解得
物块从碰撞后到经过最高点过程中，由功能关系有
解得
②物块上滑最大高度不超过圆弧。设物块刚好到达圆弧处速度为
物块从碰撞后到最高点，由功能关系有
物块能滑出粗糙水平面，由功能关系有
解得
综上可知，s应满足的条件是或