初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时训练

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时训练，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
2．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
3．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（ ）
A．B．C．10D．
4．平面直角坐标系中，已知、，是一个动点（m为任意实数），则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3B．2C．D．
6．如图，等边△ABC的边长为12，P是△ABC的中线AD上的动点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．B．C．10D．
7．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值是( )
A．3 B．5
C．4D．2.4
9．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在长方形ABCD中，，，F是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．5C．D．4
11．如图，平面直角坐标系中点，以为边作等边，与关于y轴对称，M为线段上一动点，则的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
12．如图，在中，，，，平分，点M、N分别为上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4B．7.2C．9.6D．4.8
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接、．则的最小值为______．
14．如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB=2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点B在y轴上运动，以为边作等腰，（点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，的最小值为__________．
16．如图，∠AOB＝30°，点C、D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE+DE的最小值为___．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值为____________．
18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是___．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
19．如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为________．
20．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若，的周长是36，则的最小值为___________．
21．如图，在中，，，，点P是线段上一动点，点M在线段上，当时，的最小值为______．
22．如图，长方形中，，，E为边上的动点，F为的中点，连接、，则的最小值为 _____．
23．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为_____dm．
三、解答题
24．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．
(1) 求线段DP的最小值；
(2) 当DP最小时，求CDP的面积．
25．如图，以一边为直角边构造，且，，，．
(1) 求证：为直角三角形．
(2) 若点P为上一动点，连接，，求最小值．
26．已知，中，，，．
(1) 如图1，若点D是AB的中点，且，求的度数；
(2) 如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．
27．（1）如图1，是边长为4的等边三角形的中线，点P、E分别在、上，且则的最小值为________；
（2）如图2，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）
28．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1．
【操作观察】
图1中，．
①则_________；
②若，则________；
【理解应用】
如图2，若，试说明∶；
【拓展延伸】
如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________；
参考答案
1．B
【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，依据Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，进而得出BC的长．
解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，
设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，
∵∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6，
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算.
2．A
【分析】求出A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．
解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（-4，1），
∴点A关于y轴的对称点A′的坐标为（4，1），
∵A′（4，1），B（-2，-3），
∴A′B==，
即PA+PB的最小值为，
故选A．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
3．B
【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.
解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点作，
由勾股定理得，
当在同一条直线上，且时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为，
故选：B.
【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
4．D
【分析】由于AB长度固定，找到点A关于直线x=1的对称点D，求出BD的长即可得到△ABC周长的最小值．
解：在△ABC中，AB长度不变，
且为=，
C（1，m），即点C为直线x=1上的动点，
设D（3，0），则A，D关于直线x=1对称，
∴AC=DC，
∴AC+BC的最小值即为BD，BD=，
∴△ABC的周长最小值为，
故选D．
【点拨】本题考查了点的坐标，最短路径问题，解题的关键是找到点D，利用BD的长代替AC+BC的最小值．
5．A
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再求出BH即可得出结论．
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=MN，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=，∠BAC=45°，
∴BH=，
∴BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3．
故选：A．
【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
6．B
【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE=AP，利用勾股定理求出BE的长，当BP⊥AC时，AP+BP=PE+BP的值最小，由此得到答案．
解：如图：
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC=30°，
∴PE=AP，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE=30°，
∴AE=AB=6，
∴，
当BP⊥AC时，
AP+BP=PE+BP=BE的值最小为．
故选：B．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是找到动点P的位置．
7．A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
8．D
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CM+MN的最小值=CM+ME=CE，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴
解得：CE=2.4．
故选：D
【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
9．A
【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．
解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，
此时，
而，
∴，
∴长度的最小值为．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键．
10．A
【分析】作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则，当三点依次在同直线上时，的值最小，求出此时的值便可．
解：作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则 ，
∴，
∵，
∴当三点依次在同直线上时，的值最小，
∴的最小值为：3．
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确的找出点的位置是解题的关键．
11．C
【分析】连接．首先证明垂直平分线段，推出关于对称，由，可知此时当点M与O重合时，的值最小，最小值为．
解：连接．
∵'和都是等边三角形，
∴垂直平分线段，
∴关于对称，
∵，
∴当点M与O重合时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为．
故选：C．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、轴对称−最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．D
【分析】取点N关于的对称点E，由轴对称图形或成轴对称的性质可推出，从而得到，当点C、M、E在一条直线上且时，有最小值，最后利用等面积法求得的值即得．
解：取点N关于的对称点E，如下图：
∵平分
∴点E在上
∵点N与点E关于对称
∴是N点与E点所连线段的垂直平分线
∴
∴
当时，CE有最小值，即有最小值
∵在中，，，
∴
∵在中，
∴
∴
∴最小值为．
故选：D．
【点拨】本题考查最短路径问题、轴对称图形或成轴对称的性质、角平分线的性质及等面积法，对称转化是解决最短路径问题的常用方法，本题解题关键是将最短路径问题转化为垂线段最短的问题．
13．
【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C=BD，进而得出B'（-1，2），再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，-1），进而得出AC+BD的最小值为A'B'，即可求解答案．
解：如图，平移CD使点D落在点B处，连接B'C，
则点C的对应点为B'，即B'C=BD，
∵CD=1，B（0，2），
∴点B'（-1，2），
作点A关于x轴的对称点A'，当点A'，C，B'在同一条线上时，AC+BD最小，
∵A（0，1），
∴A'（0，-1），
连接A'B'，则AC+BD的最小值为A'B'=，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'B'是解本题的关键．
14．9
【分析】作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．判断出点D′坐标，求出OD′，根据OD′≤OC+PC+PD′，可以推出PC+PD′≥9，可得结论．
解：作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．
∵E（0，4），D（6，0），MN∥x轴，D，D′关于MN对称，
∴D′（6，8），
∴OD′==10，
∵∠AOB=90°，AB=2，AC=CB，
∴OC=AB=1，
∵PD=PD′，
∴PC+PD=PC+PD′，
∵OD′≤OC+PC+PD′，
∴PC+PD′≥9，
∴PC+PD的最小值为9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查轴对称——最短问题，坐标与图形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≌∆ AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．
解：如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，
∴∆CDA≌∆ AEB（AAS），
∴BE=AD，
∵，
∴AD=BE=OA=3，
作点A关于CD的对称点A′，连接，则点在直线l上，，，
∴，
∵在∆COA′中，
∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=，
∴最小值=．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
16．
【分析】作C点关于OB的对称点 ，连接C'D交OB于点E，连接 ，过作 交OA于点F，则 ，此时CE+DE最小，可得到 是等边三角形，从而得到 ，再由勾股定理，即可求解．
解：如图，作C点关于OB的对称点 ，连接C'D交OB于点E，连接 ，过作 交OA于点F，则 ，此时CE+DE最小，
由对称性可得： ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∵OD＝2，
∴DF=1，
在 中，由勾股定理得：
，
即CE+DE的最小值为 ．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
17．
【分析】根据题意得当AF≥AD-DF时，可得当A，F，D在同一直线上时，AF的长最小；再根据勾股定理进行计算，即可得到线段AF长的最小值．
解：如图，连接AD，
由题意得：DF=DB=CD=，
∵AF+DF≥AD，
∴ ，
∴当A、F、D三点共线时，AF的长最小，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
即 线段AF长的最小值为．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
18．
【分析】取CD的中点G，根据等腰三角形两腰上的中线相等得到AE＋CF= AE＋EGAG，当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，利用勾股定理即可求解．
解：取CD的中点G，连接CE、EG、AG，
∵点D是BC的中点，且DE＝DB，
∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形，
∵点CF、EG是等腰三角形△DEC两腰上的中线，
∴DG＝DF＝ED＝CD，
在△DEG和△DCF中，，
∴CF＝EG，
∴AE＋CF= AE＋EGAG，
∴当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，
∵点D是BC的中点，点G是DC的中点，且BC=4，
∴BG=3，
又AB=3，且∠B=90°，
AG=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，得到当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长是解题的关键．
19．
【分析】利用角平分线的性质设出GC=GP=x，根据等积法得到方程，得出结果．
解：如图，当GP⊥AB时，GP最小，
根据作图知AG平分∠BAC，∠C=90°，
∴GC=GP，
设GC=GP=x，
在直角△ABC中，∠C=90°，
AB= ，
又∵ ，
即 ,
解得x= ,
故答案为．
【点拨】本题考查角平分线的性质，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
20．12
【分析】连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于是等腰三角形，点H是BC边的中点，故，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AP，AH．
∵，的周长为36，
∴．
∵H是BC的中点，
∴．
∵是等腰三角形，点H是BC边的中点，
∴，
∴．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴，
∴，
∴AH的长为的最小值，
∴的最小值为12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
21．
【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，根据，，可得，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．
解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则，
∴，
∴的最小值为的长，
过点作于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的使用，涉及了轴对称图形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
22．15
解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．
【分析】解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．
∵长方形中，，F为的中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为15．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．
23．128
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
，
这圈金属丝的周长最小为，
则这圈金属丝的周长的最小值的平方为．
故答案为：128．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
24．(1) DP的最小值是3；(2) 当DP最小时，△CDP的面积为12．
【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解．
（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
当DP⊥BC时，DP=AD，
∵AD=3，
∴DP的最小值是3；
（2）解：∵∠A=90°，
∴BD==5，
当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，
则∠DPB=∠DPC=90°，
∴PB==4，
∴CP=BC-PB=12-4=8，
∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12，
即当DP最小时，△CDP的面积为12．
【点拨】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键．
25．(1)见分析(2)最小值为
【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得；
（2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，
则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得．
解：（1）证明：根据题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，
则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
当B、P、M三点共线时，取最小值为，
∴最小值为．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是．
26．(1)；(2)线段的最小值为4.8．
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而得出，再利用直角三角形的两个锐角互余可得求出的度数，最后根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等腰三角形的性质即可解答；
（2）直接利用面积法，进行计算即可解答．
（1）解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
的度数为；
（2）解：如图：当时，线段最小，
的面积，
，
，
，
线段的最小值为4.8．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，以及垂线段最短．
27．（1）；（2）见分析
【分析】（1）作点关于的对称点，过点作，连接，则，当三点共线时，最小，最小值为的长，进而勾股定理求解即可；
（2）作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD.
解：（1）如图，作点关于的对称点，过点作，连接，则，
当三点共线时，最小，最小值即的长，
是等边三角形，
在中，
在中，
的最小值为
（2）如图，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．
28．(1) ①；②(2) 见分析(3)
【分析】（1）①由于翻折，故，所以－；
②由于翻折，故平分，故点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；
（2）由于翻折，知，又因为，等量代换得，从而，整理代换即可；
（3）根据“将军饮马模型知，的最小值为．再根据，，可推断出是含角的直角三角形，从而得到的长，得解．
（1）解：①翻折
，
，
－ －－
；
故答案为：；
②翻折，
平分，
点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）翻折
，
，，
又，
，
，
又
．
（3）翻折
，
，当点、 、共线时，有最小值为
的最小值为
，，
是含角的直角三角形
，即
∴的最小值为48．
【点拨】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，轴对称求线段和最值问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．