陕西省榆林市五校联考2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份陕西省榆林市五校联考2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列满足,,则( )
A.-1B.C.2D.3
2．若,,则直线不经过的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知O是坐标原点,F是抛物线的焦点,是抛物线C上一点,则的面积为( )
A.1B.2C.4D.8
4．已知为等差数列的前n项和,若,,则( )
A.64B.32C.28D.22
5．一条渐近线方程为,且经过点的双曲线的标准方程是( )
A.B.C.D.
6．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则( )
A.B.7C.12D.13
7．已知A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,若原点O到直线AB的距离是椭圆C的短轴长的,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知等差数列与等差数列的前n项和分别为与,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线与直线平行,且l与间的距离为,则的方程可以是( )
A.B.C.D.
10．如图,在四棱锥中, 底面ABCD是平行四边形, ,,若,, 则( )
A.B.
C.D.
11．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向处设立观测点B,已知经过O,A,B三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现,在平台O的正南方向的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,则( )
A.观测点A,B之间的距离是
B.圆C的方程为
C.小汽车行驶路线所在直线的方程为
D.小汽车会进入安全预警区
12．经过抛物线的焦点F的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,设,的最小值是4,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若点是线段AB的中点,则直线l的方程为
D.若,则直线l的倾斜角为或
三、填空题
13．椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积是_______________.
14．若圆与圆相切,则实数_______________.
15．已知数列的前n项和为,则数列的通项公式为___________.
16．已知点A,B,C是离心率为的双曲线上的三点,直线AB,AC,BC的斜率分别是,,,点D,E,F分别是线段AB,AC,BC的中点,O为坐标原点,直线OD,OE,OF的斜率分别是,,.若则 ___________.
四、解答题
17．已知的圆心为,且过点.
(1)求的标准方程;
(2)若直线l与相切于点A,求l的方程.
18．如图,在直四棱柱中,,,E是棱的中点,.请用向量法解决下列问题.
(1)求证:;
(2)求直线CE与平面所成角的正弦值.
19．已知双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M,N两点,求线段MN的长度.
20．已知各项都为正数的数列的前n项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
21．如图,已知与都是边长为2的正三角形,平面平面BCD,平面BCD,.
(1)求点D到平面MBC的距离;
(2)求平面MBC与平面MAD的夹角的余弦值.
22．已知椭圆的离心率为,上、下顶点分别为A,B,右顶点为C,且的面积为6.
(1)求E的方程;
(2)若点P为E上异于顶点的一点,直线是AP与BC交于点M,直线CP交y轴于点N,试判断直线MN是否过定点?若是,则求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由,可推得 , ,,,,···
所以数列是以3为周期的一个周期数列,
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：由,得,又,,则直线的斜率,在y轴上的截距,
所以直线经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为是C上一点,所以,解得,
又F是抛物线C的焦点,所以,
所以的面积为.
故选：B.
4．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,则,解得
.
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意设双曲线的方程为,
将点代入双曲线方程得,
所以双曲线的方程为,即.
故选：A.
6．答案：A
解析：项数为的中奇数项共有项,
其和为,
项数为的中偶数项共有m项,其和为,
所以,解得
故选：A.
7．答案：D
解析：由题意知,,所以直线AB的方程为,即,
原点O到直线AB的距离,
整理得,
所以椭圆C的离心率.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为数列、都是等差数列,
所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故选：D.
9．答案：AD
解析：直线,即,
设所求直线的方程为,
由题意可得,解得或.
故所求直线的方程为或.
故选：AD.
10．答案：ABC
解析：对于A,,故A正确;
对于B, ,
故B正确;
对于C,, 故C正确;
对于D,, 故D错误.
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：由题意, 得, ,
所以,即观测点A,B之间的距离是,故A错误;
设圆C的方程为 ,
因为圆C经过O,A,B三点,
所以,解得,
所以圆C的方程为 ,故B正确;
小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1,又点P的坐标是,
所以小汽车行驶路线所在直线的方程为,故C正确;
圆C化成标准方程为 , 圆心为,半径,
圆心C到直线的距离,
所以直线与圆C相交, 即小汽车会进入安全预警区,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：BC
解析：,由题意可知直线l的斜率存在且不为0,可设直线l的方程为,
联立,得,
,
,,
,
所以,当时等号成立,
所以,,所以抛物线方程为,
所以,,
所以,A选项错误;
,
所以,
,
所以,B正确;
因为点是线段AB的中点,所以,即,
所以直线l的方程为,C正确;
,所以,即,所以,
因为,所以,即,解得（舍去）,
又,故,所以,
所以直线l的斜率为,直线l的倾斜角为,D错误.
故选：BC.
13．答案：40
解析：由椭圆方程可得椭圆的四个顶点分别为,,,
故这四个顶点围成的四边形为菱形,
所以面积.
故答案为：40.
14．答案：-11或-31
解析：圆的圆心,半径,
圆的圆心,半径,
当圆与圆外切时,,即,解得;
当圆与圆内切时,,即, 解得,
所以圆与圆相切时, 或.
故答案为：-11或-31.
15．答案：
解析：数列的前n项和为,
当时,,
当时,,
,不满足上式,
所以数列的通项公式为
故答案为：.
16．答案：3
解析：因为双曲线的离心率为所以.
不妨设,,,
因为点A,B在上,所以
两式相减,得,
因为点D是AB的中点,所以,,
所以,即,所以.
同理,.
因为,所以.
故答案为：3.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题可知,的半径为,
所以的标准方程为.
（2）因为直线l与相切于点A,且,
所以,所以,
由点斜式得,,整理得,.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）由直棱柱的性质可知 ,
因为,所以DA,DC,两两互相垂直,
故以点D为坐标原点, 分别以DA,DC,所在直线为x轴, y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设,则,,
因为E是棱的中点,所以,
所以,,
所以.
所以,即.
（2）由(1)可知 ,,
设向量 是平面的法向量,
则 即令,得.
设直线CE与平面所成的角为,
则.
所以直线CE与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1);
(2)
解析：（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为,,,
由可得,,所以,解得,
所以双曲线C的右焦点为,
所以可设抛物线E的标准方程为,其焦点为,
所以,即,
所以抛物线E的标准方程为;
（2）由,得双曲线C的右顶点为,
因为直线l过点且斜率为2,所以直线l的方程为,
设,,联立直线l与拋物线E的方程,
消去y,得,所以,,
所以.
20．答案：(1);
(2).
解析：（1）数列中,,当时,,由两式相减,
得,即,
又数列的各项都为正数,则,当时,,解得,
因此数列是首项为3,公差为3的等差数列,
所以.
（2）由（1）得,,,即,
设的前n项和为,则,
当时,,当时,,
于是当时,;
当时,,
所以数列的前n项和.
21．答案：(1);
(2).
解析：（1）作CD中点E,
因为与都是正三角形,所以,
又因为平面平面BCD,且平面平面,
所以平面BCD,
所以分别以EB,EC,EM为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
且,,
设平面MBC的法向量为,
则,即,令,则,
所以,
所以点D到平面MBC的距离;
（2）设平面MAD的法向量为,
因为,
所以,即,令,则,
所以,
由（1）知面MBC的法向量为,
令平面MBC与平面MAD的夹角为,
则,
所以平面MBC与平面MAD的夹角的余弦值为.
22．答案：(1)
(2)直线MN过定点.
解析：（1）由题意知
解得,,,
所以E的方程为.
（2）显然直线AP的斜率存在,设直线AP的斜率为k,
则直线AP的方程为,
又直线BC的方程为,
由,解得,,
即.
由得,解得或,
当时,,即,
所以直线CP的斜率,
所以直线CP的方程为,令,得,即.
所以直线MN的斜率,
所以直线MN的方程为,
即,所以直线MN过定点.