河南省商丘市柘城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河南省商丘市柘城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣B．钝角三角形的内角和大于
C．白发三千丈，缘愁似个长D．打开电视，正在播放《新闻联播》
3．如图，在中，，点D为的中点，以D为圈心，2为半径作，则下列说法不正确的是（ ）
A．点A在圆外B．点C在圆上
C．与直线相切D．与直线 相交
4．甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”：乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”：丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是（ ）
（参考资料：长江流经青海、四川，云南、湖北、安徽、上海等省级行政区）
A．B．C．D．
5．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A．B．
C．D．
6．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则常数h的值为（ ）
A．1或3B．或1C．3或5D．或5
7．已知如图，、是的弦，与坐标系、轴交于、A两点，点A的坐标为，的弦的长为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点，，若反比例函数的图象经过点C，则k的值是（ ）
A．12B．48C．50D．60
9．若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若函数是反比例函数，则的值是 ．
12．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ．
13．已知、满足，，且，则＝ ．
14．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A、B的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集．
18．如图，四边形内接于，并且是的直径，C是劣弧的中点，和的延长线交于外一点E．
(1)求证：；
(2)若的长是方程的两根，求的长．
19．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
20．如图，网格中小正方形的边长为1，与是位似图形．
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，并写出点B的坐标；
(2)以点A为位似中心，在网格中作，使和位似，且位似比为；
(3)在（1）的条件下，标出和的位似中心P．
21．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，．

(1)求证：；
(2)设=．
①若，求线段的长；
②若的面积是36，求的面积．
22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23．已知抛物线：经过点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上的一个动点．
①当面积最大时，求点D的坐标；
②抛物线的对称轴交x轴于点G，过点D作于点E，交x轴于点F．当点F在线段上时，求的取值范围．
售价（元/件）
60
65
70
销售量（件）
1400
1300
1200
参考答案：
1．B
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
2．D
【分析】此题考查的是事件的分类，根据事件发生的可能性的大小判断即可．
【详解】A. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，故不符合题意；
B. 钝角三角形的内角和大于，是不可能事件，故不符合题意；
C. 白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，故不符合题意；
D. 打开电视，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形中位线定理，正确做出辅助线是解题的关键，过点D作，，连接．，求出，的长与的半径对比即可得出答案．
【详解】解：过点D作，，连接．
，
，
∵点D为的中点，
，
故点A，点C在圆外，故A正确，不符合题意，B不正确，符合题意．
，
，
，
与直线相切，C正确，不符合题意，
同理：，
与直线 相交，D正确，不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先求得取出的3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：设“北京”、“青海”、“重庆”、“湖北”、“辽宁”、“香港”、“上海”分别为A、B、C、D、E、H、I，
根据题意画树状图得：
恰好都是长江流经的省级行政区的情况有2种，
则取出的3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是．
故选：C．
5．C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
6．D
【分析】根据题意可得或．然后分两种情况分类讨论，即可求解．
【详解】解：∵二次函数，当时，有最大值0，而当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为．
∴或．
当时，时，y随x的增大而减小．
∴当时，y有最大值，
∴，解得：，（舍去）．
此时；
当时，时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值，
∴，解得：，（舍去），此时；
综上可知或5．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，明确题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
7．C
【分析】首先连接，由，可得是直径，又由点A的坐标为，弦的长为，可得中，，进而得到，最后根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图：连接，
，
是直径，
又∵点A的坐标为，弦的长为，
在中，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形的运用，解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．D
【分析】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．由菱形的性质和锐角三角函数可求点C坐标，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形的边在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
10．D
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，再根据正切函数的定义即可求解．
本题考查了矩形的折叠，求正切值，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理计算是本题的关键．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：D．
11．
【分析】本题考查反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数就叫做反比例函数，解题的关键是根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案．
【详解】解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】依题意，、是方程的两个根，根据一元二次方程根的判别式得出，，将分式化简，代入求值即可求解．
【详解】解：∵、满足，，且，
∴、是方程的两个根，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】过作于，根据旋转的性质得出，勾股定理求得，勾股定理解，即可求解．
【详解】解：若点恰好落在边上，如图，过作于，
由，，，
∴，
由旋转的性质可知，，则是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴A到的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．
【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度；连接，，切线的性质可得，所以在中，由勾股定理可得，当时，取最小值，也取最小值，然后利用面积法解得的值，进而确定长度的最小值即可．
【详解】解：对于直线：，
令，则，即，
令，则，解得，即，
∴，，
∵，
∴，
连接，，如下图，
∵为的切线，的半轻为1，即，
∴，
∴在中，，
当时，取最小值，也取最小值，
此时可有，
即，解得，
∴，
∴长度的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，直接开方法解一元二次方程，对于（1），根据先配方，再开方，求出解即可；对于（2），直接开方，求出解即可．
【详解】（1）移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
解得，；
（2）开方，得或，
解得，．
17．(1)
(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用图象求不等式的解集：
（1）将代入求出点A坐标，再代入即可求解；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入直线得，，
解得，
∴，
观察函数图象，发现：当-或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
18．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到，，从而根据等角对等边可证；
（2）根据根的判别式为0，构建方程求出m的值，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又，
∴，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意方程有两个相等的实数根，
∴，
∴或8，
当时，方程为，解得，
∴，
当时，方程为，解得（不符合题意舍去），
∴综上所述．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆内接四边形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；
（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【详解】（1）画树状图：
共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；
（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），
所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；
（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概念，一次函数图象上点的坐标特征，点与圆的位置关系，切线的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
20．(1)如图所示，；
(2)如图所示；
(3)如图所示．
【分析】此题主要考查了坐标与图形，位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题关键．
（1）根据点A的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，即可得出B点坐标即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为
（2）解：如图所示，即所求作的三角形；
（3）解：如图所示，点P即所求
21．(1)见解析；
(2)①8；②100．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由平行线性质可得到，，则；
（2）①由，，得出，根据相似三角形的性质即可得出答案；
②证明，可得，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
22．（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；
（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：

=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
23．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由面积，即可求解；
②证明为等腰直角三角形，则，进而即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
得：，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：由题意可知抛物线的表达式为：，
当时，，即点，
令，
解得：或3，
即点A、B的坐标分别为：；
①由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
过点D作轴交于点H，如图，
设点，则点，
，
∴当时，面积最大，此时点；
②由点B、C的坐标知，，则，
∴为等腰直角三角形，
则，
当点F和点A重合时，，则；
当点F和点G重合时，，则．
∴的取值范围为：．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移等知识．利用数形结合的思想是解题关键．