沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题16 平行四边形（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题16 平行四边形（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北衡水·八年级期末）将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．以上均有可能
2．(本题4分)（2022·山东烟台·八年级期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．(本题4分)(2023·广西钦州·八年级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．8
4．(本题4分)(2023·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
5．(本题4分)（2022·广东佛山·七年级开学考试）一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4条，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．(本题4分)(2023·辽宁大连·八年级期末）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，则可以增加条件（ ）
A．， B．，C．，D．，
7．(本题4分)(2023·重庆市垫江第一中学校八年级阶段练习）如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠AED=（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
8．(本题4分)（2020·北京朝阳·八年级期末）正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
9．(本题4分)(2023·全国·九年级专题练习）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（ ）
A．8B．12C．16D．32
10．(本题4分)(2023·湖北荆门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2 cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为y cm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5B．7.8C．8D．8.5
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2020·河南·东方二中八年级期中）在四边形中，，、相交于点O，若，则线段的长度等于__________．
12．(本题5分)（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）已知一个多边形每个外角都等于60°，则它的边数是______．
13．(本题5分)（2020·重庆南岸·八年级期末）如图，是正在铺设的人行道上地板砖的部分，是由正六边形和四边形镶嵌而成的图形，则图中的四边形ABCD中的锐角∠BAD的度数是______度．
14．(本题5分)（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级开学考试）已知O、A、B的坐标分别是，在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为__________．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·湖北襄阳·八年级期中）如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正几边形？它的对角线的总条数是多少？
16．(本题8分)(2023·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点．四边形是平行四边形吗？请证明你的结论．
17．(本题8分)(2023·河北廊坊·八年级期末）如图，▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．
18．(本题8分)(2023·吉林四平·八年级期末）图①、图②均为7×6的正方形网格，点、、在格点上．
（1）在图①中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
（2）在图②中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为平行四边形．（画一个即可）
19．(本题10分)（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
20．(本题10分)(2023·广东·惠州一中八年级期中）如图，在四边形中，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）求证：．
21．(本题12分)(2023·湖北孝感·八年级期中）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
22．(本题12分)(2023·全国·八年级期中）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
， ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
是边上的中线．
23．(本题14分)(2023·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）在中，E是BC的中点，于点D，，且点E为∠ADC平分线所在直线上的点．
(1)如图①，求证：；（提示：延长DE交AC于点F）
(2)如图②，图③，直接写出线段AC、AB、DE之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）、（2）的条件下，当，时，DE的长为______．
专题16 平行四边形（专题强化）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北衡水·八年级期末）将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．以上均有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少1，不变，多1，利用内角和公式求出内角的和与外角关系即可求出．
【详解】
如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，
多边形的边数和原多边形边数相同为n，
，
n=10，
如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，
多边形的边数比原多边形边数少1为n-1，
，
n=11，
如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后，
多边形的边数比原多边形边数多1为n+1，
，
n=9，
原多边形的边数为9,10,11．
故选择：D．
【点睛】
本题考查多边形剪去一个角问题，掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关键．
2．(本题4分)（2022·山东烟台·八年级期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式列方程即可得解．
【详解】
解：设多边形的边数为，多加的内角度数为，
则，
，
，
，
为正整数，
，
这个多边形的边数的值是9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是的倍数．
3．(本题4分)(2023·广西钦州·八年级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形EBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质性质定理解答即可．
【详解】
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，DE＝2，
∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴EF＝BC＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，关键是三角形中位线定理．
4．(本题4分)(2023·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．
【详解】
解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，
∴AC＝2OB＝10，
∴CD＝AB＝，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝3．
故选：C．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．
5．(本题4分)（2022·广东佛山·七年级开学考试）一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4条，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据从n边形的一个顶点引出对角线的条数为(n-3)条，可得答案．
【详解】
解：∵一个n多边形从某个顶点可引出的对角线条数为(n-3)条，
而题目中从一个顶点引出4条对角线，
∴n-3=4，得到n=7，
∴这个多边形的边数是7．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，从一个顶点引对角线，注意相邻的两个顶点不能引对角线．
6．(本题4分)(2023·辽宁大连·八年级期末）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，则可以增加条件（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定条件，对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：A、如下图所示，，四边形ABCD是一个等腰梯形，此选项错误；
B、如下图所示，，，即四边形的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形，此选项正确；
C、，，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，此选项错误；
D、，，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，此选项错误；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于掌握平行四边形的五种判定方法.
7．(本题4分)(2023·重庆市垫江第一中学校八年级阶段练习）如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠AED=（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得，，可得，根据角平分线的定义可得，进而可得，根据三角形的内角和定理即可求得的度数．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
AE平分∠DAB，
，
，
，
，
．
故选D
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
8．(本题4分)（2020·北京朝阳·八年级期末）正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABE≌△DCE，先求出∠BEA和∠CED的度数，再求∠BEC即可．
【详解】
解：根据正五边形的性质可得AB=AE=CD=DE，∠BAE=∠CDE=108°，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BEA＝∠CED＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BEC＝108°-36°-36°＝36°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质和内角和，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明△ABE≌△DCE是解题关键．
9．(本题4分)(2023·全国·九年级专题练习）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（ ）
A．8B．12C．16D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝16．
【详解】
解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF
∴△COF≌△AOE（ASA）
∵S△AOE＝4，AE＝ED
∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4，
∴S△AOD＝8
∵AO＝CO
∴S△COD＝S△AOD＝8
∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16；
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等．
10．(本题4分)(2023·湖北荆门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2 cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为y cm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5B．7.8C．8D．8.5
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象可知，点E从点A运动到点B用了4 s，可得AB＝8 cm，此时BM＝EF＝6 cm，根据勾股定理可得AM＝10 cm；当t＝6时，EF＝6 cm，可得DN＝6 cm，根据三角形ABM的面积求得BG＝4.8 cm，即得CD＝4.8 cm，由勾股定理可得CN＝3.6 cm，进而得出a的值．
【详解】
解：如图所示，作BM⊥AB，交AD于点M，作BG⊥AD，交AD于点G，作DN//BM，交BC于点N．
由题意可知，AB＝4×2＝8 cm，BM＝6 cm，
∴AM＝ cm，
∴ cm．
∵∠ADC＝90°，∠BGA＝90°，∴BG//CD．
∵BC//GD，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DC＝BG＝4.8 cm．
同理可得，DN＝BM＝6 cm，
∴CN＝ cm，
∴a＝6+3.6÷2＝7.8．
故选：B．
【点睛】
本题考查动点-函数图象问题及平行你四边形的性质与判定．根据函数图象得出图形中的相关线段信息，建立图形与图象的联系是解题的关键．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2020·河南·东方二中八年级期中）在四边形中，，、相交于点O，若，则线段的长度等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
【详解】
解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝7，
∴AO＝AC＝×7＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．
12．(本题5分)（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）已知一个多边形每个外角都等于60°，则它的边数是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：这个多边形的边数为．
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13．(本题5分)（2020·重庆南岸·八年级期末）如图，是正在铺设的人行道上地板砖的部分，是由正六边形和四边形镶嵌而成的图形，则图中的四边形ABCD中的锐角∠BAD的度数是______度．
【答案】60
【解析】
【分析】
根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据邻补角求出答案．
【详解】
解：正六边形内角和 （6-2）×180°=720°，
所以每个内角度数720°÷6=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°，
故答案为60．
【点睛】
本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
14．(本题5分)（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级开学考试）已知O、A、B的坐标分别是，在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为__________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
根据题意，分情况讨论，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，设，根据平行四边形的性质对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】
如图，
O、A、B的坐标分别是
设，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，，解得，则
②当为对角线时，，解得，则
③当为对角线时，，解得，则
综上所述，点M的坐标为或或
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，分类讨论掌握中点坐标公式是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·湖北襄阳·八年级期中）如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正几边形？它的对角线的总条数是多少？
【答案】这个正多边形是正七边形，总对角线的条数为14条
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式求解即可，从一个n边形的某个顶点出发，可以引条对角线，则总对角线的条数为条．
【详解】
解：设这个多边形为边形，根据多边形内角和公式可得，
解得
总对角线的条数为（条）
这个正多边形是正七边形，总对角线的条数为14条
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，对角线的条数，牢记多边形的内角和公式是解题的关键．
16．(本题8分)(2023·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点．四边形是平行四边形吗？请证明你的结论．
【答案】是，证明见解析
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理，可证明EGFH的对边平行，从而可证明四边形EGFH是平行四边形．
【详解】
解：四边形EGFH是平行四边形．理由如下：
∵点E、G分别是线段AB、AC的中点，
∴EGBC，
同理 HFBC，GFAD，EHAD，
∴GEHF，GFEH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．解题关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理．
17．(本题8分)(2023·河北廊坊·八年级期末）如图，▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件利用AAS来判定△CDF≌△ABE，从而得出AE=CF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵BE∥DF，
∴∠CFD=∠AEB，
在△CDF和△ABE中，
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴AE=CF．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
18．(本题8分)(2023·吉林四平·八年级期末）图①、图②均为7×6的正方形网格，点、、在格点上．
（1）在图①中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
（2）在图②中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为平行四边形．（画一个即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作A点关于直线BC的对称点D，则四边形ABDC满足条件；
（2）以AC为对角线作平行四边形ABCE即可．
【详解】
解：（1）如图①，四边形ABDC为所作；
（2）如图②，四边形ABCE为所作．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，平行四边形的性质，正确把握轴对称图形定义和平行四边形的性质是解题关键．
19．(本题10分)（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【解析】
【分析】
（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF；
（2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
(2)
解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
20．(本题10分)(2023·广东·惠州一中八年级期中）如图，在四边形中，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）∠ABC+∠ADC=180°；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的内角和定理求出即可；
（2）求出∠2=∠DFC，根据平行线的判定推出即可．
【详解】
（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠2=∠ABC，∠4=∠ADC，
∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠4+∠DFC=90°，
由（1）得∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∵∠4+∠DFC =90°，
∴∠2=∠DFC，
∴BE∥DF．
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC=∠DFC．
21．(本题12分)(2023·湖北孝感·八年级期中）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）;（2），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平角的定义求得，进而根据四边形的内角和等于360°，以及∠α＝50°，即可求得∠1+∠2的值；
（2）方法同（1）．
【详解】
（1），
，
在四边形中，
，
，
∠α＝50°，，
，
故答案为：
（2），理由如下，
，
，
在四边形中，
，
，
，
【点睛】
本题考查了平角的定义，四边形内角和为360°，掌握四边形的内角和是解题的关键．
22．(本题12分)(2023·全国·八年级期中）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
， ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
是边上的中线．
【答案】(1)见解析
(2)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
【解析】
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
(1)
解：如图，图形如图所示：
(2)
解：连接，．
，，
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点睛】
本题考查作图基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．(本题14分)(2023·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）在中，E是BC的中点，于点D，，且点E为∠ADC平分线所在直线上的点．
(1)如图①，求证：；（提示：延长DE交AC于点F）
(2)如图②，图③，直接写出线段AC、AB、DE之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）、（2）的条件下，当，时，DE的长为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)图②中，AB-AC=2DE；图③中，AB+AC=2DE
(3)或
【解析】
【分析】
（1）如图，延长DE交AC于点F，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得点F为AC中点，可知EF为△ABC的中位线，根据中位线的性质及线段的和差关系即可得答案；
（2）在图②中，延长ED交AC于点G，可证明EG为△ABC的中位线，根据中位线的性质及线段的和差关系可得AB-AC=2DE．同理在图③中可得AB+AC=2DE；
（3）由（1）（2）可得DE//AB，DE⊥AC，根据平行线的性质可得∠BAC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得AB、AC的长，利用（2）中结论即可得答案．
(1)
如图，延长DE交AC于点F，
∵，，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵点E为∠ADC平分线所在直线上的点，
∴点F为AC中点，
∴AC=2DF，
∵点E为BC中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴AB=2EF，
∴AC-AB=2DF-2EF=2（DF-EF）=2DE．
(2)
如图，延长ED交AC于点G，
∵，，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵点E为∠ADC平分线所在直线上的点，
∴点G为AC中点，
∴AC=2DG，
∵点E为BC中点，
∴EG为△ABC的中位线，
∴AB=2EG，
∴AB-AC=2（EG-DG）=2DE．
如图，设DE交AC于H，
∵，，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵点E为∠ADC平分线所在直线上的点，
∴点H为AC中点，
∴AC=2DH，
∵点E为BC中点，
∴EH为△ABC的中位线，
∴AB=2EH，
∴AB+AC=2（EH+DH）=2DE．
(3)
由（1）（2）可得DE//AB，DE⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵，，
∴AB=BC=3，
∴AC==，
∵AC＞AB，
∴DE=（AC-AB）=，或DE=（AB+AC）=．
故答案为：或
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．