沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题20 平行四边形章末素养评估卷-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题20 平行四边形章末素养评估卷-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）正六边形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．12条
2．(本题4分)（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）若一个多边形的每个内角均为，则该多边形是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
3．(本题4分)（2022·江苏·无锡市侨谊实验中学八年级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A．CB=CD，AB=AD B． C．AB//CD，AD=BCD．AB=CD，AD=BC
4．(本题4分)（2022·福建省诏安县第三实验中学一模）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
5．(本题4分)（2022·广东·一模）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
6．(本题4分)（2022·江苏·启东市长江中学八年级阶段练习）如图，若四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13B．12C．26D．52
7．(本题4分)(2023·河南焦作·八年级期中）怡林在学习正方形之后，给永鑫同学出了一道题，有下列四个条件：①；②；③；④．从中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
8．(本题4分)(2023·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A．B．C．D．
9．(本题4分)（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（ ）
A．10B．13C．18D．20
10．(本题4分)（2022·江苏·无锡市天一实验学校八年级阶段练习）如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（ ）
A．9.5B．10C．10.5D．11
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2020·宁夏吴忠·八年级期末）在一个八边形中，其中七个内角的和是1000°，则这个八边形另一个内角的度数为____．
12．(本题5分)(2023·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，连接正五边形的对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE、CE相交于点M、N．若AD＝6，则△EMN的周长为 ___．
13．(本题5分)(2023·黑龙江大庆·一模）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如图C在x轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ．连接EF，点P为EF中点，则P点运动的路径长为_____．
14．(本题5分)（2020·浙江·八年级期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将，沿，翻折，点，恰好重合于点处，若中有一个角等于，则________．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·河南·开封市第二十七中学八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数及内角和．
16．(本题8分)(2023·重庆·模拟预测）在△ABC 中，AD是△ABC 的高，∠B=30°，∠C=52°．
(1)尺规作图：作△ABC 的角平分线AE；
(2)求∠DAE的大小．
17．(本题8分)(2023·四川内江·一模）如图，已知、是对角线上的两点，且，，连接、．求证：．
18．(本题8分)(2023·浙江湖州·一模）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，P都在格点上，请按要求画出图形，使点P在所画图形的内部（不包括边界上）．
(1)请在图1中作出一个▱ABCD，点C和点D都在格点上；
(2)请在图2中画一个四边形ABEF，使得EFAB，且∠A是钝角，点E和点F都在格点上．
19．(本题10分)（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）已知：在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
(1)如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
(2)如图2，ADEF，且，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为的角．
20．(本题10分)（2022·湖南·长沙市北雅中学一模）如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠B=60°，BC=8，求的面积．
21．(本题12分)(2023·天津一中八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．
(1)的大小＝______°；
(2)求证：≌；
(3)若，则的大小＝______°．
22．(本题12分)（2022·江西抚州·七年级期末）（1）【探究】观察下列算式，并完成填空：
；
______．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．

①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；
②第 n层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
23．(本题14分)(2023·四川成都·八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=4，∠BCE=30°．
(1)求线段EC的长；
(2)求证：∠EMC=2∠AEM；
(3)如果EM=8-AE，求△AEM的面积．
专题20 平行四边形章末素养评估卷
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）正六边形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．12条
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念、对称轴的概念和正六边形的性质判断即可．
【详解】
如图所示：
正六边形相对两个顶点的连线，相对两条边中点的连线都是对称轴，共有六条，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是正六边形的性质，轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．掌握概念是解题的关键．
2．(本题4分)（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）若一个多边形的每个内角均为，则该多边形是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式，可得答案．
【详解】
解：设多边形为n边形，由题意，得
（n-2）•180=120n，
解得n=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的概念和内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
3．(本题4分)（2022·江苏·无锡市侨谊实验中学八年级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A．CB=CD，AB=ADB．
C．AB//CD，AD=BCD．AB=CD，AD=BC
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形，即选项D正确；
其他选项，均无法推导得四边形ABCD为平行四边形
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定性质，从而完成求解．
4．(本题4分)（2022·福建省诏安县第三实验中学一模）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线的性质和轴对称的性质进行角度计算解答即可；
【详解】
解：∵ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=65°，
由折叠性质可得∠DEF=∠D′EF=65°，
∴∠AED′=180°-65°-65°=50°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质；折叠前后的两个图形是全等图形，同时也是轴对称图形．
5．(本题4分)（2022·广东·一模）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可．
【详解】
解：如图，
∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知：
EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，
∴AC+BD=3，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
6．(本题4分)（2022·江苏·启东市长江中学八年级阶段练习）如图，若四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13B．12C．26D．52
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AC=24，BD=10，
∴OA=12，OB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB= =13，
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质对角线垂直解答．
7．(本题4分)(2023·河南焦作·八年级期中）怡林在学习正方形之后，给永鑫同学出了一道题，有下列四个条件：①；②；③；④．从中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用矩形、菱形、正方形之间的联系，结合正方形的判定方法分别判断即可．
【详解】
解：如图，四边形ABCD是平行四边形，
A．当①AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，当②AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，所以平行四边形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B．当②AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，又当③∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，所以平行四边形ABCD是矩形，故此选项错误，符合题意；
C．当①AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，当③∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，所以平行四边形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D．当②AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，当④AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，所以平行四边形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
8．(本题4分)(2023·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据镶嵌的定义计算判读即可．
【详解】
∵能够铺满地面的图形是内角能拼成360°，
∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了镶嵌问题，熟练掌握镶嵌的条件是解题的关键．
9．(本题4分)（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（ ）
A．10B．13C．18D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
【详解】
解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为，DC和AB之间的距离为，
∵，，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴，
即，
∴，
即△APC的面积是13，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．(本题4分)（2022·江苏·无锡市天一实验学校八年级阶段练习）如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（ ）
A．9.5B．10C．10.5D．11
【答案】D
【解析】
【分析】
根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1=2C2=4C3，FG=LK，EF=6，即可得到AB．
【详解】
解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，
∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，
∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，BF=FG，AE=AK，CL=HL，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，即BF+FE+AE=AK+KL+CL，
又∵BF=FG=KL，
∴EF=CL=6=CH，
由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，
∵C1=2C2，
∴AE=CH=3，
又∵2C2=4C3，
∴C3=C2=×12=6，
∴BF=×6=2，
∴AB=BF+EF+AE=2+6+3=11，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2020·宁夏吴忠·八年级期末）在一个八边形中，其中七个内角的和是1000°，则这个八边形另一个内角的度数为____．
【答案】80°
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可进行求解．
【详解】
解：由题意得：八边形的内角和为180°×（8-2）=1080°，
∴这个八边形另一个内角的度数为1080°-1000°=80°；
故答案为80°．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
12．(本题5分)(2023·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，连接正五边形的对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE、CE相交于点M、N．若AD＝6，则△EMN的周长为 ___．
【答案】6
【解析】
【分析】
由题意知，，，；同理可证：，由，即可求的周长．
【详解】
解：由题意知
∴
在和中
∴
∴
∴
同理可证：
∴的周长为
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质，三角形全等，等腰三角形的性质．解题的关键在于通过等腰三角形将边长进行转化．
13．(本题5分)(2023·黑龙江大庆·一模）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如图C在x轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ．连接EF，点P为EF中点，则P点运动的路径长为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
如图所示，延长AE，BF交于点H，则△ABH为等边三角形，再由三角形AEQ与三角形BGF为等边三角形，得到两对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EQ与AH平行，EQ与BH平行，进而确定出四边形EQFH为平行四边形，根据P为EF的中点，得到P为HQ的中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，利用中位线定理求出运动的路径长即可．
【详解】
解：如图所示，延长AE，BF交于点H，则△ABH为等边三角形，
∵△AEQ与△BFQ都为等边三角形，
∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，
∴FQ∥AH，EQ∥BH，
∴四边形EQFH为平行四边形，
∵P为EF的中点，
∴P为HQ中点，
∵A（﹣2，0），B（4，0），BC＝2，
∴OC＝2，
随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，
∴，
即P运动的路径为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平行线的判定与性质，坐标与图形性质，中位线定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．(本题5分)（2020·浙江·八年级期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将，沿，翻折，点，恰好重合于点处，若中有一个角等于，则________．
【答案】或．
【解析】
【分析】
由折叠的性质得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD＝BD，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，再分三种情况讨论即可．
【详解】
解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°−∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
当∠PDC＝48°时，则∠PDC＝∠BDC＝48°，
∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，∠ACD＝∠A，
∴∠A＝∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·河南·开封市第二十七中学八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数及内角和．
【答案】这个多边形的边数是10，内角和为
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和以及外角和列出方程求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，则
，
，
．
内角和为
答：这个多边形的边数是10，内角和为．
【点睛】
本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
16．(本题8分)(2023·重庆·模拟预测）在△ABC 中，AD是△ABC 的高，∠B=30°，∠C=52°．
(1)尺规作图：作△ABC 的角平分线AE；
(2)求∠DAE的大小．
【答案】(1)见解析
(2)∠DAE的大小为11°
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）先利用三角形内角和定理计算出∠BAC=98°，再利用角平分线的定义得到∠EAC=49°，接着计算出∠DAC，然后计算∠EAC-∠DAC即可．
(1)
解，作图如下：
(2)
解：∵∠B=30°，∠C=52°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=98°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=49°，
∵AD为高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=38°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=49°-38°=11°．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形内角和定理．
17．(本题8分)(2023·四川内江·一模）如图，已知、是对角线上的两点，且，，连接、．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
通过证明BE和DF平行且相等得出四边形BEDF是平行四边形，得出结论．
【详解】
证明： ，，
，．
∵四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
．
又，
四边形是平行四边形．
．
【点睛】
本题考查平行四边形额判定和性质，两个图形注意从这两个图形的公共部分入手．
18．(本题8分)(2023·浙江湖州·一模）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，P都在格点上，请按要求画出图形，使点P在所画图形的内部（不包括边界上）．
(1)请在图1中作出一个▱ABCD，点C和点D都在格点上；
(2)请在图2中画一个四边形ABEF，使得EFAB，且∠A是钝角，点E和点F都在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质画出图形即可；
（2）根据四边形的特点“EFAB，且∠A是钝角”画出图形即可．
(1)
解：如图所示，四边形ABCD即为所求；
∵,，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)
解：如图所示，四边形ABEF即为所求；
∵，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与网格问题，平行四边形的判定，熟知勾股定理与网格的知识是解题的关键．
19．(本题10分)（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）已知：在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
(1)如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
(2)如图2，ADEF，且，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为的角．
【答案】(1)见详解
(2)、、、．
【解析】
【分析】
（1）证，得到DF//BE，，则四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；
（2）证四边形是平行四边形，得，再证是等边三角形，得，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得，同理．
(1)
证明：四边形为平行四边形，
∴AB//CD，
，
在和中，
，
，
，
∵BE//DF，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
(2)
解：四边形是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AD//EF，
四边形是平行四边形，
，
由（1）得：四边形是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
同理：，
即图2中四个度数为的角为、、、．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．(本题10分)（2022·湖南·长沙市北雅中学一模）如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠B=60°，BC=8，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)平行四边形ABCD的面积为．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由已知条件得出AM∥CN，AM=CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA=90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
（2）根据∠B=60°，BC=8，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出的面积．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形；
(2)
解：∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
∴Rt△BCM中，BM=BC=4，CM=4，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴的面积为AB×CM=8×4=32．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
21．(本题12分)(2023·天津一中八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．
(1)的大小＝______°；
(2)求证：≌；
(3)若，则的大小＝______°．
【答案】(1)45
(2)证明见解析
(3)65
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质求解即可；
（2）由正方形ABCD可知，，，进而可证≌（SAS）；
（3）由≌可知，由三角形外角的性质可知，计算求解即可．
(1)
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
故答案为45．
(2)
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴，
在和中
∵
∴≌（SAS）．
(3)
解：∵≌
∴
∵
∴
故答案为65．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
22．(本题12分)（2022·江西抚州·七年级期末）（1）【探究】观察下列算式，并完成填空：
；
______．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．

①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；
②第 n层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
【答案】（1）；（2）①6，30；②6，或；（3）3750，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）观察算式找出规律即可；
（2）①观察图形数出正方形和正三角形块数；②根据前三层正方形和正三角形块数找出规律；
（3）分别找出所给正方形和正三角形块数各能铺设地面多少层，进而确定答案．
【详解】
解：（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，
故答案为：n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵第一层包括6块正方形和6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，
第三层包括6块正方形和30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，
∴第n层包括6块正方形和6（2n-1）块正三角形地板砖．
故答案为：6，6（2n-1）；
（3）铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
理由如下：
∵150÷6=25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设25层需要正三角形地板砖的数量为：
6[1+3+5+⋯+（2n-1）]=6n2，
∴当n=25时，
6n2=6×252=3750，
∴铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，代数式的求值，正确找出其变化规律是解题的关键．
23．(本题14分)(2023·四川成都·八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=4，∠BCE=30°．
(1)求线段EC的长；
(2)求证：∠EMC=2∠AEM；
(3)如果EM=8-AE，求△AEM的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质、勾股定理即可得；
（2）延长，相交于点，先根据平行四边形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质、等量代换即可得证；
（3）延长，相交于点，过点作，交延长线于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，再根据线段和差可得，在中，利用勾股定理可求出的值，然后在中，利用勾股定理可得的长，最后利用三角形的面积公式即可得．
(1)
解：点为边的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
(2)
证明：如图，延长，相交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
是的斜边上的中线，
，
，
．
(3)
解：如图，延长，相交于点，过点作，交延长线于点，
由（2）已证：，
，
设，则，
，
由（1）已得：，
，
在中，，即，
解得，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
则的面积为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、含30°的直角三角形性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角、三角形的外角性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．