沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题04 一元二次方程的相关概念 （知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

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©知识点一：一元二次方程的定义
【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
例．（福建省莆田市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·甘肃兰州·九年级期中）若关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·四川凉山·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）
C．（2x﹣1）（3x+2）＝5D．（2x+1）2＝4x2﹣3
练习3．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①ax2+bx+c＝0；②；③（x﹣2）（2x﹣1）＝0；④；⑤；⑥x2＝8．
A．①②④⑤B．②C．①②③④⑤⑥D．②③⑥
©知识点二：一元二次方程的一般形式
【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
例．（2020·江苏邳州·九年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1B．0、－1、1C．1、－1、1D．2、－1、1
练习1．（2020·江苏邳州·九年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1B．0、－1、1C．1、－1、1D．2、－1、1
练习2．(2023·天津红桥·九年级期中）一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1B．a＝3，b＝－6，c＝1
C．a＝－3，b＝－6，c＝1D．a＝3，b＝－6，c＝－1
练习3．（2022·湖南龙山·九年级期末）把一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数和常数项依次是（ ）
A．3、1、6B．3、1、﹣6C．1、6、3D．3、﹣6、1
©知识点三：一元二次方程的解
【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
例．（2022·甘肃定西·九年级期末）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
练习1．（2022·山东泗水·九年级期末）关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ）
A．3B．－2C．－3D．－4
练习2．(2023·重庆北碚·模拟预测）若x＝2021是关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣1＝0的一个根，则2020﹣4042b+20212a的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
练习3．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校九年级期末）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
专题04 一元二次方程的相关概念（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：一元二次方程的定义
【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
例．（福建省莆田市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：一般地，形如（其中a、b、c是常数，a≠0）的方程叫做一元二次方程，由此进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、未知数的最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、即，是一元二次方程，符合题意；
C、未知数的最高次是3，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
练习1．(2023·甘肃兰州·九年级期中）若关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．
【详解】
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴a2+1=2且a-1≠0，
解得：a=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．
练习2．(2023·四川凉山·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）
C．（2x﹣1）（3x+2）＝5D．（2x+1）2＝4x2﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0，a≠0时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简后是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
练习3．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①ax2+bx+c＝0；②；③（x﹣2）（2x﹣1）＝0；④；⑤；⑥x2＝8．
A．①②④⑤B．②C．①②③④⑤⑥D．②③⑥
【答案】D
【解析】
【分析】
分析:根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】
解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③（x﹣2）（2x﹣1）＝0是一元二次方程；
④是分式方程；
⑤不是一元二次方程；
⑥x2＝8是一元二次方程．
∴是一元二次方程的是②③⑥．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．
©知识点二：一元二次方程的一般形式
【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
例．（2020·江苏邳州·九年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1B．0、－1、1C．1、－1、1D．2、－1、1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
练习1．（2020·江苏邳州·九年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1B．0、－1、1C．1、－1、1D．2、－1、1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
练习2．(2023·天津红桥·九年级期中）一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1B．a＝3，b＝－6，c＝1
C．a＝－3，b＝－6，c＝1D．a＝3，b＝－6，c＝－1
【答案】D
【解析】
【分析】
先化成一元二次方程的一般形式，再求出、、的值即可．
【详解】
解：，
，
，，，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是能化成一元二次方程的一般形式，注意：找各项系数时，带着前面的符号．
练习3．（2022·湖南龙山·九年级期末）把一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数和常数项依次是（ ）
A．3、1、6B．3、1、﹣6C．1、6、3D．3、﹣6、1
【答案】D
【解析】
【分析】
把一元二次方程化为，后根据系数的属性确定即可．
【详解】
∵，
∴，
∴二次项系数、一次项系数和常数项依次是3、﹣6、1，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式与三项系数，准确化成一般式是解题的关键．
©知识点三：一元二次方程的解
【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
例．（2022·甘肃定西·九年级期末）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据关于x的一元二次方程x2-ax=0的一个根是2，将x=2代入方程即可求得a的值．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2-ax=0的一个根是2，
∴22-2a=0，
解得a=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
练习1．（2022·山东泗水·九年级期末）关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ）
A．3B．－2C．－3D．－4
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入中，解得，得一元二次方程为，计算求解即可．
【详解】
解：将代入中，解得
∴一元二次方程为
∴
解得或
∴方程的另一根为3
故选A．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于求出一元二次方程．
练习2．(2023·重庆北碚·模拟预测）若x＝2021是关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣1＝0的一个根，则2020﹣4042b+20212a的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【解析】
【分析】
将x＝2021代入方程得出20212a﹣4042b＝1，再整体代入计算可得．
【详解】
解：把x＝2021代入方程ax2﹣2bx﹣4＝0得20212a﹣4042b﹣1＝0，
∴20212a﹣4042b＝1，
∴2020﹣4042b+20212a
＝2020+(20232a﹣4042b）
＝2020+1
＝2021．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求解，准确计算是解题的关键．
练习3．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校九年级期末）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【解析】
【分析】
把代入方程求出，把它代入计算即可求出值．
【详解】
解：把代入方程得：，即，
则原式，
，
．
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．