沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题04 一元二次方程的相关概念（强化练习）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题04 一元二次方程的相关概念（强化练习）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·湖北恩施·九年级期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①：②；③；④．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
2．(本题4分)(2023·河南·鹤壁市外国语中学九年级阶段练习）如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3B．3C．﹣3D．都不对
3．(本题4分)（2022·陕西陇县·九年级期末）方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3和2B．-3和2C．3和-2D．-3和-2
4．(本题4分)(2023·广西港南·九年级期中）一元二次方程5x2﹣3x＝x+1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1B．a＝5，b＝4，c＝1
C．a＝4，b＝﹣5，c＝1D．a＝﹣5，b＝4，c＝﹣1
5．(本题4分)(2023·广东阳东·二模）若方程x2-4x+c=0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c=﹣3B．c=3C．c=5D．c=0
6．(本题4分)（2022·湖北硚口·九年级期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
7．(本题4分)（2022·内蒙古乌兰察布·九年级期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，则m值等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
8．(本题4分)（2020·广东·深圳市盐田区外国语学校七年级阶段练习）如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( )
A．2个B．3个C．6个D．8个
9．(本题4分)（2022·安徽·由南翔学校合并一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．D．
10．(本题4分)(2023·湖北武穴·九年级期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·甘肃兰州·九年级期中）关于x的方程是一元二次方程，则k满足的条件是____________．
12．(本题5分)(2023·江苏常州·九年级期中）当m＝_________时，关于x的方程（m＋2）xm﹣2＋6x﹣9＝0是一元二次方程
13．(本题5分)（2022·甘肃白银·九年级期末）已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根为______．
14．(本题5分)(2023·河南省淮滨县第一中学三模）已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·全国·九年级专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
（1）；
（2）．
16．(本题8分)（2022·内蒙古准格尔旗·九年级期末）已知关于x的方程．
(1)当k_________时，方程是一元二次方程；
(2)若方程有两个实数根，求k的取值范围；
17．(本题8分)(2023·全国·九年级专题练习）结合题意列出方程，并将其转化成一元二次方程的一般形式(不用求解)．
（1）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
（2）在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张，求这个数学小组有多少名同学．
18．(本题8分)(2023·福建·龙岩市第五中学九年级阶段练习）阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
19．(本题10分)(2023·四川省达川第四中学九年级期中）已知是方程的解，求代数式的值．
20．(本题10分)（2022·广东澄海·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为，求m的值；
(2)若方程没有实数根，求m的取值范围．
21．(本题12分)(2023·广东蕉岭·一模）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
22．(本题12分)(2023·吉林临江·九年级期末）已知关于x的方程的一个根与关于x的方程的一个根互为相反数，求m的值．
23．(本题14分)（2020·江苏·苏州草桥中学八年级期中）已知等腰直角中，，，点为边上动点，连接，过点作，交于点，拖动点．
（1）若，垂足为点，求证：
（2）若且，求的长度
专题04 一元二次方程的相关概念（强化练习）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·湖北恩施·九年级期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①：②；③；④．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
①符合一元二次方程的四个条件，故方程是一元二次方程；
②中时方程不是一元二次方程，故方程不一定是一元二次方程；
③变形为，故方程不是一元二次方程；
④是分式方程，故不是一元二次方程；
综上分析可知，只有①是一元二次方程，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．(本题4分)(2023·河南·鹤壁市外国语中学九年级阶段练习）如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3B．3C．﹣3D．都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解出m的值即可．
【详解】
解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，
解得：m=-3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．(本题4分)（2022·陕西陇县·九年级期末）方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3和2B．-3和2C．3和-2D．-3和-2
【答案】D
【解析】
【分析】
先将方程变形，再根据一元二次方程方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项”进行解答即可得．
【详解】
解：
一次项系数为：-3，常数项为：-2，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一次项系数和常数项，解题的关键是熟记一元二次方程的一般形式．
4．(本题4分)(2023·广西港南·九年级期中）一元二次方程5x2﹣3x＝x+1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1B．a＝5，b＝4，c＝1
C．a＝4，b＝﹣5，c＝1D．a＝﹣5，b＝4，c＝﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等式的性质即可求解．
【详解】
一元二次方程5x2﹣3x＝x+1化为一般形式ax2+bx+c＝0后，
得5x2﹣4x﹣1＝0，
则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知一元二次方程一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
5．(本题4分)(2023·广东阳东·二模）若方程x2-4x+c=0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c=﹣3B．c=3C．c=5D．c=0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意将x=3代入原方程，求出c的值即可．
【详解】
当x=3时，32-4×3+c=0，
解得c=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，直接代入是解决此类问题的常用方法．
6．(本题4分)（2022·湖北硚口·九年级期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，掌握理解一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．
7．(本题4分)（2022·内蒙古乌兰察布·九年级期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，则m值等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，计算求出符合要求的解即可．
【详解】
解：由题意知
解①得
解②得
令或
解得或
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于明确．
8．(本题4分)（2020·广东·深圳市盐田区外国语学校七年级阶段练习）如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( )
A．2个B．3个C．6个D．8个
【答案】C
【解析】
【分析】
先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可．
【详解】
解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，
∴a+b=k，ab=18，
∵a，b，k均为整数，
∴a=±1，b=±18，k=±19；
a=±2，b=±9，k=±11；
a=±3，b=±6，k=±9；
故k的值共有6个，
故选C．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
9．(本题4分)（2022·安徽·由南翔学校合并一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于x的一元二次方程有一个根为m，由根的定义得到，再把代入，整理后即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为m
∴
∴
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式等知识，关键在于灵活变形，利用整体代入的方法解决问题．
10．(本题4分)(2023·湖北武穴·九年级期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【详解】
∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·甘肃兰州·九年级期中）关于x的方程是一元二次方程，则k满足的条件是____________．
【答案】k≠0
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得出k≠0．
【详解】
解：关于x的方程kx2-x+6=0是一元二次方程，则k满足的条件是k≠0．
故答案为：k≠0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12．(本题5分)(2023·江苏常州·九年级期中）当m＝_________时，关于x的方程（m＋2）xm﹣2＋6x﹣9＝0是一元二次方程
【答案】4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．
【详解】
解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴，m+2≠0
解得m=4，
故答案为：4．
【点睛】
考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．(本题5分)（2022·甘肃白银·九年级期末）已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根为______．
【答案】
【解析】
【分析】
把x=1代入，得到关于a的一元一次方程，解出a的值，然后将a代入原方程中，求解后即可得出结果．
【详解】
解：把x=1代入得，
，
解得，a=1，
即原方程为： ，
即，
解得，x1=1，x2=-2，
即方程的另一个根为：x=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程及解一元二次方程，正确掌握代入法求得a的值并进一步正确解方程是解题的关键．
14．(本题5分)(2023·河南省淮滨县第一中学三模）已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．
【答案】 ； ；
【解析】
【分析】
将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，为有理数，
∴，也为有理数，
故当时候，只有，，
∴，，
故答案是：，；
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·全国·九年级专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
（1）；
（2）．
【答案】（1），各项的系数分别是：，，；（2），各项的系数分别是：，，．
【解析】
【分析】
（1）两边都乘-1，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数；
（2）两边同乘-12，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数．
【详解】
（1）两边都乘-1，就得到方程：
3x2+4 x -2=0．
各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．
（2）两边同乘-12，得到整数系数方程：
6 x 2-20 x +9=0．
各项的系数分别是：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．
16．(本题8分)（2022·内蒙古准格尔旗·九年级期末）已知关于x的方程．
(1)当k_________时，方程是一元二次方程；
(2)若方程有两个实数根，求k的取值范围；
【答案】(1)≠1
(2)k≤5且k≠1
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义，进行判断即可，
（2）根据一元二次方程根的判别式大于或等于0求解即可
(1)
解：∵方程是一元二次方程
∴k≠1
故答案为：≠1
(2)
解：∵方程有两个实数根，
∴，且
解得且
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，理解定义以及一元二次方程根的判别式是解题的关键，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
17．(本题8分)(2023·全国·九年级专题练习）结合题意列出方程，并将其转化成一元二次方程的一般形式(不用求解)．
（1）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
（2）在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张，求这个数学小组有多少名同学．
【答案】（1）x2－20x＋64＝0；（2）y²－y－90＝0
【解析】
【分析】
（1）设矩形的长为x cm，则矩形的宽为，然后根据矩形的面积公式列出方程，最后化为一般形式即可；
（2）设这个数学小组有y名同学，则每个同学都要赠送张，然后根据一共赠送了90张列出方程，最后化为一般式即可．
【详解】
解：（1）设矩形的长为x cm，则矩形的宽为，
由题意得，
；
（2）设这个数学小组有y名同学，则每个同学都要赠送张，
由题意得
化成一般形式为．
【点睛】
本题主要考查了列一元二次方程和一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系列出方程．
18．(本题8分)(2023·福建·龙岩市第五中学九年级阶段练习）阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
19．(本题10分)(2023·四川省达川第四中学九年级期中）已知是方程的解，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算化简，再根据一元二次方程的解，得，再代入化简后的式子求值即可．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】
原式
由是方程的解，得，
所以原式.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，整体代入是解题的关键．
20．(本题10分)（2022·广东澄海·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为，求m的值；
(2)若方程没有实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式求解即可．
(1)
解：把代入
得：，
解得：；
(2)
解：∵方程没有实数根，
∴，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟知相关知识是解题的关键．
21．(本题12分)(2023·广东蕉岭·一模）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】(1)
(2)m的值为
【解析】
【分析】
(1)根据一元二次方程的判别式，可得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的范围；
(2)根据第（1）问确定k的最大整数值，将k的值代入方程，求此方程的根，再将根代入，可以得到关于m的方程，解方程即可得到m的值，注意检验是否符合一元二次方程的定义．
(1)
根据题意得，
解得；
(2)
∵，
∴k的最大整数为6，
∴方程x2﹣5x+k＝0变形为x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，
解得m＝1；
而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，
当x＝3时，9（m﹣1）+3+m﹣3＝0，
解得，，
∴m的值为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义与解法，以及根的判别式，解题的关键是对于一元二次方程的根以及根的判别式的理解，特别需要注意检验是否符合一元二次方程的定义．
22．(本题12分)(2023·吉林临江·九年级期末）已知关于x的方程的一个根与关于x的方程的一个根互为相反数，求m的值．
【答案】m的值为0或3．
【解析】
【分析】
设第一个方程的根为，则第二个方程的根为，分别将两根代入原方程中，最后让两式相减，消掉，得到关于的方程，求解即可．
【详解】
解：设这两个方程的根分别为a和
把代入方程，得①
再把代入方程，得②
①-②消去a得：
解得或．
【点睛】
本题主要是考查了利用根的关系，求解含参方程中的参数，一定要注意根据根的关系，将根代入方程，利用消元法，消去根，得到关于参数的方程，这是求解该题的主要思路．
23．(本题14分)（2020·江苏·苏州草桥中学八年级期中）已知等腰直角中，，，点为边上动点，连接，过点作，交于点，拖动点．
（1）若，垂足为点，求证：
（2）若且，求的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，结合题意，得到，从而得；再结合等腰直角中，，得，从而得到，结合勾股定理，即可完成证明；
（2）过D作交AC于点G，结合题意，推导出等腰直角,得DG和AB的关系式；通过，得，通过外角性质，计算得，从而得到，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半，得AD和AB的关系式，通过中勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵
∴
∵
∴
∴
∵等腰直角中，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴；
（2）如图，过D作交AC于点G
设
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴或（舍去）
∴的长度为．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、全等三角形、直角三角形的性质，从而完成求解．