沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题05 一元二次方程的解法 （专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题05 一元二次方程的解法 （专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北新乐·九年级期末）一元二次方程的根为（ ）．
A． B． C．，D．，
2．(本题4分)(2023·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(本题4分)（2022·湖北松滋·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．(本题4分)(2023·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21B．，69C．4，21D．，11
5．(本题4分)（2022·云南昆明·九年级期末）一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m＝﹣2C．m＝1D．m＝﹣2或m＝1
6．(本题4分)(2023·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜5
7．(本题4分)(2023·四川游仙·一模）关于x的方程（m﹣1）x2＋x＋m2＋2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0
8．(本题4分)（2022·甘肃麦积·九年级期末）已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（ ）
A．3B．3或-4C．8D．3或8
9．(本题4分)(2023·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2018
10．(本题4分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的两个根，则代数式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·江苏无锡·九年级期末）用配方法将方程化成的形式：________．
12．(本题5分)(2023·四川新都·一模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是___．
13．(本题5分)(2023·广东·华南师大附中九年级阶段练习）若直角三角形两边长x，y满足，则其第三条边长为______．
14．(本题5分)(2023·广东越秀·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·贵州毕节·九年级期中）用适当的方法解下列方程
（1）2（x－1）2＝18；
x2－2x＝2x＋1
16．(本题8分)(2023·山东即墨·九年级期中）解方程
(1)配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；
(2)（x＋2）（x＋3）＝1
17．(本题8分)(2023·山西·介休市第三中学校九年级阶段练习）先阅读材料，然后按照要求答题。
阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为：
①
解得：
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴原方程的解为：，
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解决问题：若，求的值。
18．(本题8分)(2023·江苏丰县·模拟预测）解方程
(1)解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
(2)解不等式组，并写出它的最大负整数解．
19．(本题10分)(2023·上海市建平中学西校八年级阶段练习）我们知道：对于任何实数x．
①∵x2≥0，
∴x2+1＞0；
②∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+＞0．
模仿上述方法解答：
求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；
不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值．
20．(本题10分)（2022·北京·九年级期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，
(1)计算：________；
(2)判断是否为一元二次方程，并求解．
(3)判断方程的根是否为，，并说明理由．
21．(本题12分)（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
22．(本题12分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．
(1)若，求m的值；
(2)令T＝＋，求T的取值范围．
23．(本题14分)（2022·江苏镇江·九年级期末）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程中令，则方程可变形为，
根据关于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．
(1)关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；
(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
(3)【猜想与证明】
双察下表中每个方程的解的特点：
猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；
(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．方程
方程的解
方程
方程的解
，
，
，
，
，
，
……
……
……
……
专题05 一元二次方程的解法 （强化练习）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北新乐·九年级期末）一元二次方程的根为（ ）．
A． B． C．，D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程特点，利用直接开平方法，先把方程两边开方，即可求出方程的解．
【详解】
解：，
两边直接开平方，得，
则．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法的基本步骤及方法．
2．(本题4分)(2023·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到a是非负数，由此求得a的取值范围．
【详解】
解：∵（x-4）2=a有解，
∴a≥0，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．
3．(本题4分)（2022·湖北松滋·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在方程的左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】

故选D．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
4．(本题4分)(2023·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21B．，69C．4，21D．，11
【答案】A
【解析】
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
则，
即，
∴，，
故选A．
【点睛】
本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的求解过程．
5．(本题4分)（2022·云南昆明·九年级期末）一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m＝﹣2C．m＝1D．m＝﹣2或m＝1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程二次项系数不为0，且判别式△=0即可求解．
【详解】
解：∵方程为一元二次方程，
∴m-2≠0，解得m≠2，
∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式△=b²-4ac=4m²-4(m-2)×(-1)=4m²+4m-8=0，
解得：m1=-2，m2=1，
综上所述，m的取值范围为：：m1=-2或m2=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程判别式的使用，当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根．
6．(本题4分)(2023·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用公式法表示出方程的根，再进行估算即可．
【详解】
一元二次方程，
，
，
，
则较小的根，即，
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．(本题4分)(2023·四川游仙·一模）关于x的方程（m﹣1）x2＋x＋m2＋2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
把x＝0代入方程得到m2+2m﹣3＝0，求出结果．
【详解】
解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或﹣3．
故选：C．
【点睛】
本题考查方程的解以及解一元二次方程，把解代入原方程是解决问题的关键．
8．(本题4分)（2022·甘肃麦积·九年级期末）已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（ ）
A．3B．3或-4C．8D．3或8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可得：（1）x≥-2时，x2+x+（-2）=10；（2）x＜-2时，（-2）2+x+（-2）=10；据此求出实数x的值为多少即可．
【详解】
解：（1）x≥-2时，
x2+x+（-2）=10，
∴x2+x-12=0，
解得：x=-4或x=3，
∵x≥-2，
∴x=3；
（2）x＜-2时，
（-2）2+x+（-2）=10，
∴4+x+（-2）=10，
解得：x=8，
∵8＞-2，
∴x=8不符合题意．
综上，可得：实数x的值为3．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“#”的含义．
9．(本题4分)(2023·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2018
【答案】A
【解析】
【分析】
对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021．
【详解】
解：对于一元二次方程，
设t=x-1，
所以at2+bt+3=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020，
则x-1=2020，
解得x=2021，
所以一元二次方程必有一根为x=2021．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．(本题4分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的两个根，则代数式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到αβ=1，通过根的定义得到α2+2022α+1=0，β2+2022β+1=0，即可得到1+2023α+α2=α，1+2026β+β2=4β，进一步即可求出答案．
【详解】
∵α，β是方程x2+2022x+1=0的两个根，
∴αβ=1，α2+2022α+1=0，β2+2022β+1=0，
∴1+2023α+α2=α，1+2026β+β2=4β
∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）
=a•4β
=4αβ
=4×1
=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程根的定义，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·江苏无锡·九年级期末）用配方法将方程化成的形式：________．
【答案】
【解析】
【分析】
配方法表示方程即可．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的配方法．解题的关键在于识别方程的形式并正确的表示．
12．(本题5分)(2023·四川新都·一模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是___．
【答案】2
【解析】
【分析】
由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围，根据根与系数的关系得到＝2m，解分式方程即可．
【详解】
解：根据题意得：m≠0且Δ＝[﹣2（m＋2）]2﹣4m2＝16m＋16＞0，
∴m＞﹣1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝，
∵x1＋x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
经检验，m＝2或﹣1是原分式方程的解，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程的步骤是解题的关键．
13．(本题5分)(2023·广东·华南师大附中九年级阶段练习）若直角三角形两边长x，y满足，则其第三条边长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x和y的值，然后分两种情况求解即可．
【详解】
解：∵，
∴x2-x=0，y-2=0，
解得x1=0（舍去），x2=1，y=2，
设第三条边为x，
当x为斜边时，x=，
当2为斜边时，x=，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，解一元二次方程，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
14．(本题5分)(2023·广东越秀·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③
【解析】
【分析】
分别讨论函数的和的正负，得出函数过第几象限，可得出结论①错误，结论②正确；由解析式可得一次函数过定点，可得出当点和定点重合时，最大，故③正确；分别求出点和点的坐标，根据是等腰三角形可得出等式，并求出参数的值，得出结论④错误．
【详解】
解：当，，即时，直线经过第一，第二，第三象限；
当，即时，直线经过第一，第三象限；
当，，即时，直线经过第一，第三，第四象限；
当时，，直线经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确；
一次函数，
当时，，即直线经过定点，当点和定点重合时，
取得最大值；即③正确；
若与轴交于点，与轴交于点，
则，，，
若为等腰三角形，则，
，解得或，
又当时，点和点，点重合，故不成立，
当为等腰三角形，；故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象过象限问题，等腰三角形存在性等问题，解题的关键是在计算时注意特殊情况即函数过原点时的情况需要排除．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·贵州毕节·九年级期中）用适当的方法解下列方程
（1）2（x－1）2＝18；
（2）x2－2x＝2x＋1
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据题意利用直接开方法进行一元二次方程的求解即可；
（2）根据题意利用配方法进行一元二次方程的求解即可.
【详解】
解：（1）2（x－1）2＝18
所以或，
解得：或；
（2）x2－2x＝2x＋1
所以或，
解得：或.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握并适当地选择一元二次方程求解的方法是解题的关键.
16．(本题8分)(2023·山东即墨·九年级期中）解方程
(1)配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；
(2)（x＋2）（x＋3）＝1
【答案】(1)x1＝3+，x2＝3﹣；
(2)x1＝，x2＝
【解析】
【分析】
（1）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用公式法求解即可．
(1)
解：∵2x2﹣12x﹣12＝0，
∴x2﹣6x﹣6＝0，
∴x2﹣6x＝6，
∴x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
(2)
解：整理成一般式，得：x2+5x+5＝0，
∴a＝1，b＝5，c＝5，
∴Δ＝52﹣4×1×5＝5＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．(本题8分)(2023·山西·介休市第三中学校九年级阶段练习）先阅读材料，然后按照要求答题。
阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为：
①
解得：
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴原方程的解为：，
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解决问题：若，求的值。
【答案】（1）换元；（2）4
【解析】
【分析】
(1)根据题目的变形可以看出运用了换元法和整体思想在解答这道题，故得出结论为换元法;
(2)先设，原方程可以变为：，再解一道关于y的方程求出y的值，即的值．
【详解】
解：(1)根据题目的变形可以看出运用了换元法和整体思想在解答这道题，故得出结论为换元法；
(2)设，
则原方程变形为：，
整理，得，即，
解得：（不合题意，舍去），
即：
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键在于整体换元的思想.
18．(本题8分)(2023·江苏丰县·模拟预测）解方程
(1)解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
(2)解不等式组，并写出它的最大负整数解．
【答案】(1)
(2)，最大负整数解为
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解的方法解一元二次方程即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得它的最大负整数解．
(1)
x2﹣2x﹣3＝0
解得
(2)
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为
它的最大负整数解为
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
19．(本题10分)(2023·上海市建平中学西校八年级阶段练习）我们知道：对于任何实数x．
①∵x2≥0，
∴x2+1＞0；
②∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+＞0．
模仿上述方法解答：
求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x2+4x+3的值总大于0，得证；
（2）证明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可.
【详解】
证明：(1)∵2x2+4x+3
=2(x2+2x)+3
=2(x2+2x+1)+1
=2(x+1)2+1⩾1>0.
2x2+4x+3>0
(2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7)
=3x2−5x−1−2x2+4x+7
=x2−x+6
=(x−)2+>0，
∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值.
【点睛】
本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非负数的性质以及配方法的应用.
20．(本题10分)（2022·北京·九年级期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，
(1)计算：________；
(2)判断是否为一元二次方程，并求解．
(3)判断方程的根是否为，，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是一元二次方程，
(3)不是，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直接代入求值即可；
（2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可；
（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可
(1)
故答案为：
(2)
是一元二次方程
解得：
(3)
的根不是，
，则，即
【点睛】
本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
21．(本题12分)（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
【答案】(1)， y， x或x＝﹣1
(2)x
【解析】
【分析】
（1 ）根据换元法设，可得关于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方程的解；
（ 2）根据分式的加减，可得：0，根据换元法，可得答案．
(1)
解：设y，则原方程化为：y，
方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y或2，
经检验：y和2都是方程y的解．
当y时，，解得x＝2；
当y＝2时，2，解得：x＝﹣1．
经检验：x和x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为:，y，x或x＝﹣1
(2)
解：原方程化为：0，
设y，则原方程化为：y0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y0的解．
当y＝1时，1，该方程无解；
当y＝﹣1时，1，解得：x．
经检验：x是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x．
【点睛】
本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注意两次解分式方程都要检验．
22．(本题12分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．
(1)若，求m的值；
(2)令T＝＋，求T的取值范围．
【答案】(1)1
(2)0【解析】
【分析】
首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；
（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．
(1)
∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，
∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，
解得m≤1，
∵m是不小于-1的实数，
∴-1≤m≤1，
∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．
∵x12+x22=2，
∴（x1+x2）2-2x1x2=2，
∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，
整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），
∴m的值为1；
(2)
T＝＋，
=
=
=
=
=
=2-2m．
∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，
解得m=1或m=0．
∴当m=1或m=0时，T没有意义．
∴且
∴0<2-2m≤4且．
即0【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子．
23．(本题14分)（2022·江苏镇江·九年级期末）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程中令，则方程可变形为，
根据关于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．
(1)关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；
(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
(3)【猜想与证明】
双察下表中每个方程的解的特点：
猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；
(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
【答案】(1)m2，n2
(2)ax2+2bx+4c=0
(3)cx2+bx+a=0
(4)见解析
【解析】
【分析】
[理解]（1）令，根据题意可得或，即可求解方程；
（2）由题意可知，，由于方程的两个根分别是，，则，，即可写出符合条件的方程；
[猜想与证明]（1）由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数；
（2）先将变形为，设，方程可变形为，设方程的解是，，则可得方程的解为，，把代入得，；把代入得，，即可证明．
(1)
解：[理解]（1）令，
方程可化为，
有两个实数根，，
或，
或，
或，
故答案为：，；
(2)
方程有两个实数根，，
或，
，，
方程的两个根分别是，，
，，
方程的两个根为，，
故答案为：；
(3)
[猜想与证明]由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数，
故答案为：；
(4)
证明：由两边同除以，得，
设，方程可变形为，
设方程的解是，，
可得方程的解是，，
把代入得，；把代入得，，
所以方程的解是，，
即方程的两个根与方程的两个根互为倒数．
【点睛】
本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键．
方程
方程的解
方程
方程的解
，
，
，
，
，
，
……
……
……
……