沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题18 菱形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题18 菱形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共45页。

©知识点一：菱形的性质
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
菱形具有平行四边形的所有性质；
2、菱形的四条边都相等；
几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD
3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
几何描述：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC
3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
◎考点1：利用菱形的性质求角度
例．(2023·广东·深圳市南山区荔香学校九年级开学考试）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．70°
练习1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，在正五边形的内部作菱形，则的度数为（ ）
A．30°B．32°C．36°D．40°
练习2．(2023·陕西·榆林市第五中学九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
练习3．(2023·陕西汉中·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
◎考点2：利用菱形的性质求线段长
例．（2022·贵州毕节·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（ ）
A．6B．8C．D．
练习1．(2023·重庆·八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（ ）
A．B．3C．D．
练习2．（2022·广西百色·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，，，，则AB的长为是（ ）
A．6B．8C．10D．12
练习3．（2022·湖南湘西·九年级期末）已知菱形ABCD的对角线交于原点O，点A的坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
◎考点3：利用菱形的性质求面积
菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝ QUOTE
例．(2023·全国·八年级期中）已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（ ）
A．20B．40C．60D．80
练习1．(2023·贵州六盘水·九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（ ）
A．B．C．6D．
练习2．(2023·贵州毕节·九年级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（ ）
A．5B．2C．D．
练习3．(2023·宁夏·银川市第三中学九年级期中）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2B．C．6D．8
◎考点4：利用性质证明
例．（2022·河南·郑州中学九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．当是矩形时， B．当是菱形时，
C．当是正方形时， D．当是菱形时，
练习1．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BDD．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
练习2．(2023·重庆八中九年级阶段练习）如图，四边形是菱形，点E，F分别在，边上，添加以下条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
©知识点二：菱形的判定
1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2、四条边相等的四边形是菱形。
3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
◎考点5：添加一个条件成为菱形
例．（2022·全国·八年级）在中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO=COB．AO=BOC．AO⊥BOD．AB⊥BC
练习1．(2023·辽宁锦州·九年级期中）如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③B．②③
C．③④D．①
练习2．(2023·陕西咸阳·九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC垂直平分BD时，它是正方形
练习3．(2023·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，下列条件：①；②；③；④，其中不能使平行四边形是菱形的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
◎考点6：证明四边形是菱形

例．(2023·山东滨州·一模）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．邻边相等的四边形是菱形
练习1．(2023·北京昌平·八年级期中）下列命题中，正确的是（ ）．
A．有一个角是的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
练习2．(2023·上海市民办扬波中学八年级期中）下列命题中，真命题是（ ）．
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形
练习3．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两组邻角互补的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的菱形是正方形
©知识点三：菱形的判定与性质的综合
◎考点7：利用菱形的性质与判定求角度
例．(2023·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的度数．
练习1．(2023·湖北襄阳·一模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°．
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
练习2．（2020·浙江·一模）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）．
（1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）．
（2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角
为
练习3．（2013·江苏南京·九年级阶段练习）平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；
（1）求证：BH =AB；
（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．
◎考点8：利用菱形的性质与判定求线段长
例．(2023·全国·八年级期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，AE与DF交于点O，连接EF，OC．
(1)请依题意补全图形．求证：四边形ADEF是菱形；
(2)若AD=4，AB=6，∠ADC=60°，求OC的长．
练习1．(2023·河北保定·八年级期末）如图，在▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．
（1）求AB的长．
（2）若CE//BD，BE//AC，连接OE，求证：OE＝AD．
（3）设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．
练习2．(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．连接、．
（1）若以、、、为顶点的四边形是菱形，求的值；
（2）连接，当时，直接写出的值．（不必写过程）
练习3．(2023·安徽滁州·八年级期末）如图，在ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若，，求四边形BEFD的周长
◎考点9：利用菱形的性质与判定求面积
例．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
练习1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AM//BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D， DE⊥BD，交BN于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积．
练习2．(2023·广东·深圳市高级中学九年级期中）在中，，是的中点，连接，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
练习3．(2023·江苏镇江·八年级期末）如图，点E在矩形ABCD边DA的延长线上，EA=AD，过点D作DF/∥BE交BA的延长线于点F，连接BD，EF．
（1）求证：四边形BDFE为菱形；
（2）若AB＝2，∠ADB＝30°，求菱形BDFE的面积．
专题18 菱形（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：菱形的性质
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
菱形具有平行四边形的所有性质；
2、菱形的四条边都相等；
几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD
3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
几何描述：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC
3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
◎考点1：利用菱形的性质求角度
例．(2023·广东·深圳市南山区荔香学校九年级开学考试）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．70°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意知所作直线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°－∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE＝75°－30°＝45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
练习1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，在正五边形的内部作菱形，则的度数为（ ）
A．30°B．32°C．36°D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
由正五边形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度数，由菱形ABCF可得，∠ABC和∠BAF互补，继而求得∠BAF的度数，从而求出∠FAE的度数．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠ABC=108°，
∵四边形ABCF是菱形，
∴AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF=180°，
∴∠BAF=180°-108°=72°，
∴∠FAE=∠BAE-∠BAF=108°-72°=36°．
故选C．
【点睛】
此题考查了正五边形的性质与菱形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
练习2．(2023·陕西·榆林市第五中学九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°-∠D=180°-110°=70°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠1=∠BAD=35°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
练习3．(2023·陕西汉中·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BF，根据菱形的性质得出△ADF≌△ABF，从而得到∠ABF=∠ADF，然后结合垂直平分线的性质推出∠ABF=∠BAC，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠BAD=40°，
在△ADF和△ABF中，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠ABF=∠ADF，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠DAF=∠ADF=40°，
∴∠CFD=∠ADF+∠DAF=80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角定理等，理解图形的基本性质是解题关键．
◎考点2：利用菱形的性质求线段长
例．（2022·贵州毕节·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，
∴AE=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
练习1．(2023·重庆·八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的面积以及的长，求得的长，勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形是菱形
∴，
OA＝4，S菱形ABCD＝24，
即
中，
连接
PE⊥AB，PF⊥AD，
S菱形ABCD＝24，
故选D
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
练习2．（2022·广西百色·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，，，，则AB的长为是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
由与AE的长度，可计算出AD，进而可计算出AB的长度．
【详解】
∵，
∴△ADE为直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角函数的应用，以及菱形的性质，掌握三角函数的相关计算是解决本题的关键．
练习3．（2022·湖南湘西·九年级期末）已知菱形ABCD的对角线交于原点O，点A的坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形是中心对称图形，菱形ABCD的对角线交于原点O，则点与点关于原点中心对称，根据中心对称的点的坐标特征进行求解即可
【详解】
解：∵菱形是中心对称图形，菱形ABCD的对角线交于原点O，
∴与点关于原点中心对称，
点B的坐标为，
点D的坐标是
故选A
【点睛】
本题考查了菱形的性质，求关于原点中心对称的点的坐标，掌握菱形的性质是解题的关键．
◎考点3：利用菱形的性质求面积
菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝ QUOTE
例．(2023·全国·八年级期中）已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（ ）
A．20B．40C．60D．80
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】
解：这个菱形的面积＝×10×8＝40．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
练习1．(2023·贵州六盘水·九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质求得的长，进而根据菱形的面积等于，即可求得的长
【详解】
解：如图，设的交点为，
四边形是菱形
，，，
在中，，
菱形的面积等于
故选B
【点睛】
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得的长是解题的关键．
练习2．(2023·贵州毕节·九年级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴BC= =5，
∴S菱形ABCD=，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=，
故选：D．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
练习3．(2023·宁夏·银川市第三中学九年级期中）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2B．C．6D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．
【详解】
解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
又∵BD=2，
∴菱形ABCD的面积S=×AC×BD=×2×2=2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．
◎考点4：利用性质证明
例．（2022·河南·郑州中学九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．当是矩形时， B．当是菱形时，
C．当是正方形时， D．当是菱形时，
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据矩形、菱形、正方形、菱形的性质逐项判断即可求解．
【详解】
解：A. 当是矩形时，，故原结论错误，不合题意；
B. 当是菱形时，，故原结论错误，不合题意；
C. 当是正方形时，，故原结论正确，符合题意；
D. 当是菱形时，，故原结论错误，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，熟知三种特殊平行四边形的性质是解题关键，注意三种特殊平行四边形的性质不要混淆．
练习1．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BDD．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
【答案】D
【解析】
【分析】
由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；
当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.
练习2．(2023·重庆八中九年级阶段练习）如图，四边形是菱形，点E，F分别在，边上，添加以下条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由四边形是菱形可得，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【详解】
解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明，故不符合题意；
B、添加可转化为，可用证明，故不符合题意；
C、添加，不能证明，故符合题意；
D、添加，可用证明，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分每一组对角，判断即可．
【详解】
解：如图：
①，错误，不符合题意；
②，正确，符合题意；
③，正确，符合题意；
所以正确的有两个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每组对角是解本题的关键．
©知识点二：菱形的判定
1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2、四条边相等的四边形是菱形。
3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
◎考点5：添加一个条件成为菱形
例．（2022·全国·八年级）在中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO=COB．AO=BOC．AO⊥BOD．AB⊥BC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的判定分析即可；
【详解】
∵四边形ABCD时平行四边形，AO⊥BO，
∴是菱形；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．
练习1．(2023·辽宁锦州·九年级期中）如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③B．②③
C．③④D．①
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】
解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
④▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故正确的为①③
故选：A．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
练习2．(2023·陕西咸阳·九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC垂直平分BD时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项正确，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC垂直平分BD，
∴四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
练习3．(2023·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，下列条件：①；②；③；④，其中不能使平行四边形是菱形的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解析】
【分析】
菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】
解：①，对角线相等的平行四边形是矩形，故①符合题意；
②，对角线垂直的平行四边形是菱形，故②不符合题意；
③，邻边相等的平行四边形是菱形，故③不符合题意；
④，
∵,
∴,
∴，
∴,邻边相等的平行四边形是菱形，故④不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与矩形的判定定理，难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解本题的关键．
◎考点6：证明四边形是菱形

例．(2023·山东滨州·一模）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．邻边相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理，矩形的判定定理即可一一判定．
【详解】
解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理，矩形的判定定理，熟练掌握和运用各特殊四边形的判定是解决本题的关键．
练习1．(2023·北京昌平·八年级期中）下列命题中，正确的是（ ）．
A．有一个角是的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误；
C、两组邻角相等的四边形不是平行四边形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键．
练习2．(2023·上海市民办扬波中学八年级期中）下列命题中，真命题是（ ）．
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理及特殊四边形的判定定理即可作出判断．
【详解】
A选项：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项说法正确，是真命题，所以本选项符合题意；
B选项：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以本选项说法错误，是假命题，不符合题意；
C选项：两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以本选项说法错误，是假命题，不符合题意；
D选项：两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项说法错误，是假命题，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，熟练掌握这些判定定理是解题的关键．
练习3．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两组邻角互补的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的菱形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形，矩形，正方形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、两组邻角互补的四边形可能是梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平行四边形，矩形，正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，正方形的判定定理是解题的关键．
©知识点三：菱形的判定与性质的综合
◎考点7：利用菱形的性质与判定求角度
例．(2023·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDE=35°．
【解析】
【分析】
（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）先根据三角形的内角和定理得出，再由菱形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
（2），，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
练习1．(2023·湖北襄阳·一模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°．
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）由题意根据∠DBF=∠ABD-∠ABF进行计算即可得出答案.
【详解】
解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=70°，DC//AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=140°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=40°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=40°，
∴∠DBF=∠ABD－∠FBE=30°．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
练习2．（2020·浙江·一模）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）．
（1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）．
（2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角
为
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用菱形的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形．
【详解】
（1）满足条件的菱形ABCD如图1所示；
（2）满足条件的平行四边形ABCD如图2所示．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，菱形的判定的和性质，平行四边形的判定和性质等知识，正确把握平行四边形以及菱形的性质是解题关键．
练习3．（2013·江苏南京·九年级阶段练习）平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；
（1）求证：BH =AB；
（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．
【答案】（1）通过证明DC=AB，△CDE≌△BHE ，BH=DC所以BH="AB" （2）∠H=∠G
【解析】
【详解】
试题分析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H
又∵E是CB的中点，∴CE="BE"
∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC
∴BH=AB
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C
∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE
∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF ∴∠H=∠G
考点：全等三角形和菱形
点评：本题考查全等三角形和菱形，掌握三角形全等的判定方法，熟悉菱形的性质是解决本题的关键
◎考点8：利用菱形的性质与判定求线段长
例．(2023·全国·八年级期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，AE与DF交于点O，连接EF，OC．
(1)请依题意补全图形．求证：四边形ADEF是菱形；
(2)若AD=4，AB=6，∠ADC=60°，求OC的长．
【答案】(1)作图见解析，证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）以D为圆心画弧交分别于点，以为圆心，大于为半径，画弧交点为Q，连接DQ并延长与AB交点即为F，连接即可补全图形；由DF平分∠ADE，AE平分∠BAD可知，，由四边形ABCD是平行四边形，知 ，，，可知，，可得，，进而可证四边形AFED是菱形．
（2）如图2，过点O作OG⊥CD于G，四边形ADEF是菱形，∠ADF=∠EDF=30°，，在中，，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得，，在中，勾股定理求解OC即可．
(1)
解：补全图形如图1所示，以D为圆心画弧交分别于点，以为圆心，大于为半径，画弧交点为Q，连接DQ并延长与AB交点即为F，连接即可；
证明：∵DF平分∠ADE，AE平分∠BAD
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴，，
∴，
∴
∵
∴四边形AFED是平行四边形
∵
∴四边形AFED是菱形．
(2)
解：如图2，过点O作OG⊥CD于G
∴
∵四边形ADEF是菱形
∴∠ADO=∠ODG=30°，
∴在中，，由勾股定理知，
在中，，由勾股定理知
∴
在中，由勾股定理知OC2
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线，菱形的判定与性质，含有30°的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
练习1．(2023·河北保定·八年级期末）如图，在▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．
（1）求AB的长．
（2）若CE//BD，BE//AC，连接OE，求证：OE＝AD．
（3）设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．
【答案】（1）10；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）证明四边形ABCD是菱形，得OA=8，OB=6，AC⊥BD，再由勾股定理即可求解；
（2）证明四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得AD=BC，AC⊥BD，则∠BOC=90°，即可得出结论；
（3）过点D作DH⊥BC于点H，先由菱形的面积求出DH=，再由勾股定理得BH=，则PH=BH-OB=，然后由勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=8，
OB=OD=BD=6，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴AB=；
（2）证明：∵CE//BD，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
由(1)得：平行四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OB=BC，
∴OE=AD；
（3）过点D作DH⊥BC于点H，
如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=10，
菱形ABCD的面积=BC×DH=AC×BD，
即10DH=×16×12，
∴DH=，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：
BH=，
由(2)得：四边形OBEC是矩形，
∴PB=PC，
∴PB=BC=5，
∴PH=BH-PB=-5=，
在Rt△PDH中，
DP=．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理，证明平行四边形ABCD为菱形是解题的关键．
练习2．(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．连接、．
（1）若以、、、为顶点的四边形是菱形，求的值；
（2）连接，当时，直接写出的值．（不必写过程）
【答案】（1）5；（2）6或10
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得，，可得到当在点左边时，，当在点右边时，，又有当，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质分类讨论，即可求解；
（2）根据，可得AE=2CF，然分两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意，得，，
当在点左边时，，
当在点右边时，，
，
∴当，即或，即或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图，连接CE，当时，在点左边得到平行四边形AFCE，

∴，，，
，
在 中，由勾股定理得：
，
．
当时，以，，，为顶点的四边形是菱形；
当时，，此时在点右边，得到平行四边形ACFE，
，，，
在 中，由勾股定理得：
，
，
当时，以，，，为顶点的四边形不是菱形．
若以，，，为顶点的四边形是菱形，则的值为．
（2）如图，
∵，
∴ ，
∴AE=2CF，
当在点左边，即时 ，
，解得： ；
当在点右边，即 时，
，解得： ，
综上所述，当时，的值为或．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积，动点问题，熟练掌握菱形的判定和性质，并利用分类讨论的思想解答是解题的关键．．
练习3．(2023·安徽滁州·八年级期末）如图，在ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若，，求四边形BEFD的周长
【答案】（1）见解析；（2）16
【解析】
【分析】
（1）利用中位线可证，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明即可；
（2）由∠AFB＝90°，得DF＝DB＝DA＝AB＝4，再根据菱形的判定定理证得四边形BEFD是菱形，进而求得答案．
【详解】
（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，，
∴，
又∵，，
∴，
由（1）得：四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∴，
∴四边形BEFD的周长．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定和性质等，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形的边相等是解题的关键．
◎考点9：利用菱形的性质与判定求面积
例．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)120
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；
（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)
解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
练习1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AM//BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D， DE⊥BD，交BN于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由ASA可证明△ADO≌△CBO，再证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD=AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC=DE=2，AD=EC，由菱形的性质得出EC=CB=AB=2，得出EB=4，由勾股定理得BD=，即可得出答案．
【小题1】
解：证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAC=∠ACB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD=CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
【小题2】
由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CB，
又DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=2，AD=EC，
∴EC=CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=CB=AB=2，
∴EB=4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝=．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
练习2．(2023·广东·深圳市高级中学九年级期中）在中，，是的中点，连接，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质结合已知条件得出，得出，从而确定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出即可；
（2）根据菱形的性质以及三角形面积关系可得，即可求解．
【详解】
（1）证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形．
（2）解：是的中点，
，
四边形是菱形，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等知识，灵活熟练的掌握相关的定理是解题的关键．
练习3．(2023·江苏镇江·八年级期末）如图，点E在矩形ABCD边DA的延长线上，EA=AD，过点D作DF/∥BE交BA的延长线于点F，连接BD，EF．
（1）求证：四边形BDFE为菱形；
（2）若AB＝2，∠ADB＝30°，求菱形BDFE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）菱形BDFE的面积．
【解析】
【分析】
（1）首先证明△ADF≌△AEB可得AF=AB，进而可以证明四边形BDFE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出结果．
【详解】
（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDA=∠BEA，
在△ADF和△AEB中，
，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴AF=AB，
∵EA=AD，
∴四边形BDFE为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，
∴平行四边形BDFE为菱形；
（2）∵∠DAB=90°，AB=2，∠ADB=30°，
∴AD=AB=2，
∴BF=2AB=4，DE=2AD=4，
∴菱形BDFE的面积为×BF•DE=×4×4=8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ADF≌△AEB．