沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题19 正方形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题19 正方形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共61页。

©知识点一：正方形的性质
◎考点1：根据性质求角
例．（2022·山东济南·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
练习1．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
练习2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（ ）度
A．30°B．45°C．50°D．60°
练习3．(2023·四川成都·九年级期中）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30°B．20°C．15°D．10°
◎考点2：根据性质求线段长
例．(2023·江苏徐州·二模）如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（ ）
A．2B．8C．2或8D．4
练习1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
练习2．(2023·四川·石室中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（ ）
A．7B．2C．D．
◎考点3：根据性质求面积
例．（2020·江苏徐州·九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以正方形的三边AB、AD、CD为直径在正方形的内部作半圆，则阴影部分的面积之和为（ ）
A．2B．3C．D．2
练习1．(2023·山东省青岛第二十六中学九年级期中）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（ ）
A．9B．18C．24D．36
练习2．(2023·安徽宿州·八年级期中）在直线l上依次摆放着七个正方形．如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3．正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2B．C．D．1
◎考点4：正方形折叠问题
例．(2023·江苏·无锡市东林中学八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（ ）
A．8B．9C．12D．以上都不正确
练习1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
练习2．(2023·湖南永州·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．B．C．3D．3.5
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．0.5B．1C．2D．无法确定
◎考点5：求正方形重叠部分面积
例．(2023·全国·八年级专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.
A．2B．3C．6D．8
练习1．(2023·山西晋中·八年级期末）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点则阴影部分的面积和为（ ）
A．12B．13C．14D．18
练习2．(2023·河北·九年级专题练习）在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对
练习3．(2023·广西北海·七年级期中）如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ ）
A．b2B．b2C．b2D．2b2
◎考点6：根据正方形的性质证明

例．（2022·广西·南丹县教学研究室九年级期末）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A．不变B．先增大再减小
C．先减小再增大D．不断增大
练习1．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（ ）
A．DE＝BGB．DE＞BGC．DE＜BGD．DE≥BG
练习2．(2023·山东临沂·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝2，则EF的值为（ ）
A．6B．C．D．5
练习3．(2023·广东·坪山中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
©知识点二：正方形的判定
◎考点7：判定定理的理解
例．(2023·湖南·长沙市南雅中学九年级阶段练习）下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形
练习1．(2023·山东菏泽·九年级期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
练习2．（2022·广东河源·九年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
练习3．(2023·山西运城·九年级期中）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
◎考点8：添加条件成为正方形
例．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
练习1．（2022·广东佛山·九年级开学考试）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CDB．BC=CDC．∠D=90°D．AC=BD
练习2．(2023·北京市第十七中学八年级期中）下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是矩形B．若，则是正方形
C．若，则是菱形D．若，则是正方形
练习3．(2023·上海市北海中学八年级期中）如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 （ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=时，它是矩形
◎考点9：证明四边形为正方形
例．(2023·广东·深圳市海滨中学九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
练习1．(2023·全国·八年级课时练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
练习2．(2023·山东临沂·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝ADC．BD＝ABD．OD＝AC
练习3．(2023·四川成都·八年级期末）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
©知识点三：正方形性质与判定的综合
◎考点10:根据性质与判定求角度
例．(2023·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5°B．25°C．30°D．不能确定
练习1．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·浙江衢州·八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2B．C．D．
练习3．（2020·河南漯河·八年级阶段练习）如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
A．135°B．90°C．75°D．60°
◎考点11：根据性质与判定求求线段长
例．(2023·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1B．C．D．
练习1．(2023·浙江温州·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A．B．C．D．＋1
练习2．(2023·陕西·榆林市第五中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．C．4D．2
练习3．(2023·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级开学考试）如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
◎考点12：根据性质与判定求面积
例．（2022·山东·济宁学院附属中学九年级期末）如图，正方形的边长为4，分别以正方形的三条边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
练习1．（2020·吉林·长春北师大附属学校八年级期中）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.
A．48B．12C．24D．36
练习2．（2020·河南·九年级专题练习）如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设DP＝xcm，则△POD的面积y(cm2)随x(cm)变化的关系图象为( )
A．B．C．D．
48练习3为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，求正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
◎考点13：根据性质与判定求证明
例．(2023·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，求证：BE＝FD．
练习1(2023·广东揭阳·七年级期末）提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；
（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．
练习2．(2023·全国·八年级专题练习）如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形．
练习3．(2023·河北唐山·八年级期末）（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；
请你完成问题情境中（2）的证明
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．
专题19 正方形（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：正方形的性质
◎考点1：根据性质求角
例．（2022·山东济南·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得∠DAE的度数，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度数，从而可求得∠CDE的度数．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜
∵AE=AD
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是关键．
练习1．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠BCE=20°，在Rt△BCF中利用三角形内角和180°可求∠BFC度数．再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠AEF的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．
又BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE=∠BCE=20°．
∵∠ABC=90°，∠BCF=20°
∴∠BFC=180°-∠ABC-∠BCF
=180°-90°-20°
=70°
∵∠BFC=∠BAE+∠AEF
∴∠AEF=∠BFC-∠BAE=70°-20°=50°
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质．解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．
练习2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（ ）度
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及HL判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，即可求∠EAF=45°
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，
∵AG⊥EF，∴∠AGF=∠AGE=90°，
∵AG=AB，∴AG=AB=AD，
在Rt△ABF与Rt△AGF中，
∴△ABF≌△AGF，
∴∠BAF=∠GAF，
同理可得：△AGE≌△ADE，
∴∠GAE=∠DAE；
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG，
∴∠EAF=45°
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF≌△AGF．
练习3．(2023·四川成都·九年级期中）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30°B．20°C．15°D．10°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案．
【详解】
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键．
◎考点2：根据性质求线段长
例．(2023·江苏徐州·二模）如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（ ）
A．2B．8C．2或8D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
设，则，根据正方形的性质可知，将的面积用表示为一个等式，求出值，即可求解．
【详解】
解：设，则，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
即，解得或，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的的性质以及方程的应用，熟练掌握数形结合思想是解决问题的关键．
练习1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知是的中位线，则有，根据正方形的周长求边长，进而可求的长．
【详解】
解：由题意知是的中位线
∴
∵正方形ABCD的周长为8
∴
∴
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质．
练习2．(2023·四川·石室中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（ ）
A．7B．2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接BE，证明△ABE≌△ADE，可得ED=BE，在等腰直角三角形AEF中，求出AF，EF的长，再在Rt△BEF中求出BE的长，即可得出ED的长．
【详解】
如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，
∵EF⊥AB于点F，AE=3，
∴AF=EF=3，
∵AB=10，
∴BF=7，
∴BE，
∴ED=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决问题的关键在于连接BE构造全等三角形．
◎考点3：根据性质求面积
例．（2020·江苏徐州·九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以正方形的三边AB、AD、CD为直径在正方形的内部作半圆，则阴影部分的面积之和为（ ）
A．2B．3C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据公式分别求出正方形的面积及半圆的面积，再计算图形a的面积，即可求出阴影面积的和．
【详解】
解：正方形面积为=4，半圆面积为，
∴图形a的面积为，
阴影部分的面积之和为，
故选：A．
．
【点睛】
此题考查了正方形的面积公式，正方形的性质，半圆面积公式，求不规则图形的面积，正确理解图形的构成特点及正方形的性质是解题的关键．
练习1．(2023·山东省青岛第二十六中学九年级期中）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（ ）
A．9B．18C．24D．36
【答案】B
【解析】
【分析】
正方形对角线长相等，因为正方形又是菱形，所以正方形的面积可以根据（a、b是正方形对角线长度）计算．
【详解】
解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是（a、b是正方形对角线长度）
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形对角线相等的性质，解本题的关键是清楚正方形面积可以按照菱形面积计算公式计算，并熟记菱形的面积计算公式．
练习2．(2023·安徽宿州·八年级期中）在直线l上依次摆放着七个正方形．如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3．正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，易证，得，即可求解．
【详解】
解：如图所示，
由题意可得：，
∴，
∴
在和中，

∴
∴
∴
同理可证，
∴
故选A
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得，∠BMN=90°，FB=AB=2，由此利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，AB=2，
∴，∠BMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，
则在Rt△BMF中，，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
◎考点4：正方形折叠问题
例．(2023·江苏·无锡市东林中学八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（ ）
A．8B．9C．12D．以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
由图形翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由阴影部分的周长＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出结论．
【详解】
解：由翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，
阴影部分的周长＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12．
故选C．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
练习1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∴∠APQ=∠PQM，
∴∠PQM=∠APQ=∠AED，
∵PM⊥BC，
∴PM=AD，
∵∠D=∠PMQ=90°，
∴△PQM≌△ADE，
∴PQ=AE，
在 中，，AD=12，
由勾股定理得：
，
∴PQ=13．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键．
练习2．(2023·湖南永州·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．B．C．3D．3.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出CE，根据折叠的性质得到EH=DH，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【详解】
解：设CH=x，则DH=6-x，
∵BE：EC=2：1，BC=6，
∴CE=2，
由折叠的性质可知：EH=DH=6-x，
在Rt△CEH中，EH2=CH2+CE2，即（6-x）2=x2+22，
解得：x=，即CH=，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到EH=DH是解题的关键．
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．0.5B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积．
【详解】
解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴S△COF＝S△DOE，
∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换．
◎考点5：求正方形重叠部分面积
例．(2023·全国·八年级专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.
A．2B．3C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答.
【详解】
解：如图，
连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则，，
，
，
≌，
四边形AENF的面积等于的面积，
而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的．
练习1．(2023·山西晋中·八年级期末）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点则阴影部分的面积和为（ ）
A．12B．13C．14D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的中心对称性，得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，即可解答．
【详解】
解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，
∴
=
=14
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的中心对称性，根据中心对称性得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的是解题的关键．
练习2．(2023·河北·九年级专题练习）在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
本题重叠部分面积需要结合图形特点，利用对称性质，通过假设未知数表示未知线段，利用面积公式求解，并根据线段范围判别面积大小．
【详解】
如图一所示，设AI=x，BJ=y，则有x+y=AB-IJ=2-1=1，重叠部分四边形JILK面积为2．
如图二所示，设AI=x，BJ=y，
因为JM=HE=1，△JIM为直角三角形，斜边JI大于直角边JM，
故有：x+y＜1，重叠部分平行四边形JILK面积为．
如图三所示，设AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重叠部分四边形JIDK面积为．
在由图一到图三的转变过程中，x+y的取值逐渐减小，则重叠部分面积逐渐增大，故甲同学说法错误．
如图四所示，设AI=AN=x（1＜x＜2），重叠部分多边形BINDKM面积为．
当0＜x＜2时， ，所以图四重叠部分的面积大于图三重叠部分面积，乙同学说法正确．
如图五所示，设AI=AN=x，所以重叠部分四边形INDB面积为，
因为，所以重叠部分面积小于2，即小于图一重叠面积．
综上，图一到图四重叠部分面积逐渐增大，图五面积小于图一，故图五面积最小，丙同学说法正确．
故答案为C选项．
【点睛】
本题考查正方形以及矩形性质，并在此基础进行知识延伸，需要假设未知数并结合对称性质化抽象问题为形象问题，利用未知量取值范围求解本题．
练习3．(2023·广西北海·七年级期中）如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ ）
A．b2B．b2C．b2D．2b2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形得出三角形ABC的面积S=正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB-S△AFC-S△BHC，再根据面积公式求出即可．
【详解】
解：∵将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起，
∴CM＝AF＝FG＝a，BG＝CG＝CH＝BH＝b，
∴三角形ABC的面积S＝S正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB﹣S△AFC﹣S△BHC
＝a2+b2+•（b﹣a）﹣•（a+b）﹣b•b
＝a2+b2+﹣﹣﹣﹣
＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，列代数式和整式的混合运算，能根据图形列出代数式是解此题的关键．
◎考点6：根据正方形的性质证明

例．（2022·广西·南丹县教学研究室九年级期末）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A．不变B．先增大再减小
C．先减小再增大D．不断增大
【答案】A
【解析】
【分析】
由正方形的性质得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，证明△OBM≌△OCN（ASA），得到两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积=，由此得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD和OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠BOM=∠CON，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积=，
故选：A．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理及正方形的性质是解题的关键．
练习1．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（ ）
A．DE＝BGB．DE＞BGC．DE＜BGD．DE≥BG
【答案】A
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD为正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根据四边形CEFG为正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再证∠BCG=∠DCE，△BCG与△DCE具有可旋转的特征即可
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴GC=EC，∠GCE=90°，
∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCE，
∴BG=DE，
故选项A．
【点睛】
本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键．
练习2．(2023·山东临沂·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝2，则EF的值为（ ）
A．6B．C．D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“ASA”判定△ADE≌△CDF，可证DE=DF，在Rt△ADE中，运用勾股定理求出DE的长度，再在Rt△DEF中，运用勾股定理即可求出EF的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，
即∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF，
∵E为AB的中点，AE=2，
∴AD=AB=4，
在Rt△ADE中，DE，
在Rt△DEF中，EF．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和勾股定理的应用，求线段的长度常常是把线段转化到直角三角形中，运用勾股定理进行计算求值．
练习3．(2023·广东·坪山中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得，，然后利用ASA证明即可判断①正确，根据全等三角形的性质得AP=AM，从而得出是等腰直角三角形，则，同理可得，即可得，根据正方形的性质得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和正方形的对角线相等即可得，即可判断②错误；判断四边形PEDF是矩形，根据矩形的性质得PF=OE，再根据勾股定理即可得，故可判断③正确，即可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，,
∵，，
∴，，
在和中，
∴（ASA），
故①正确，
∴AP=AM，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴BP=BN，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故②错误；
∵，，，
∴，
∴四边形PEOF是矩形，
∴PF=OE，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
故③正确，
综上，正确的结论由①③，
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
©知识点二：正方形的判定
◎考点7：判定定理的理解
例．(2023·湖南·长沙市南雅中学九年级阶段练习）下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意；
D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解本题的关键．
练习1．(2023·山东菏泽·九年级期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．
【详解】
解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答．
练习2．（2022·广东河源·九年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质一一判断即可
【详解】
解：A、若四个角都相等，则这四个角都为直角，有三个角是直角的四边形是矩形，故A选项为假命题，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项为假命题，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项为假命题，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故D选项为真命题，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
练习3．(2023·山西运城·九年级期中）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，据此可以判断A正确，又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；故可以判断B选项，如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，进而知∠FAD＝∠ADF，AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且当AB＝AC时，那么AD平分∠BAC，则可得四边形AEDF是菱形，故知D选项不正确．
【详解】
解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确；
如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，可得四边形AEDF是菱形．只有AD⊥BC，不能判断四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定，此题是道基础概念题，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理．
◎考点8：添加条件成为正方形
例．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】
解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
练习1．（2022·广东佛山·九年级开学考试）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CDB．BC=CDC．∠D=90°D．AC=BD
【答案】B
【解析】
【分析】
先证四边形ABCD是矩形，当BC=CD时，四边形ABCD是正方形由此判断．
【详解】
解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当BC=CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：B．
【点睛】
此题考查了正方形的判定定理，熟记正方形的判定定理并应用是解题的关键．
练习2．(2023·北京市第十七中学八年级期中）下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是矩形B．若，则是正方形
C．若，则是菱形D．若，则是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．
【详解】
解：中，，
四边形是矩形，选项符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项不符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
练习3．(2023·上海市北海中学八年级期中）如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 （ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=时，它是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选不项符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
◎考点9：证明四边形为正方形
例．(2023·广东·深圳市海滨中学九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定即可得到答案．
【详解】
解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；
B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形，原说法正确，符合题意；
C、一组对边平行另一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握它们的判定方法．
练习1．(2023·全国·八年级课时练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的判定方法即可判断．
【详解】
A.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意；
B.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意；
C.四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；
D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
练习2．(2023·山东临沂·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝ADC．BD＝ABD．OD＝AC
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】
解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即或．
故选：A．
【点睛】
本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．
练习3．(2023·四川成都·八年级期末）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各个选项中的说法，可以判断能否构成正方形，不正确的说明理由或举出反例即可．
【详解】
解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；
对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；
四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确正方形的判定方法．
©知识点三：正方形性质与判定的综合
◎考点10:根据性质与判定求角度
例．(2023·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5°B．25°C．30°D．不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键．
练习1．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可．
【详解】
根据旋转的性质，得∠BAE=38°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=45°，∠ABH=135°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠E=90°，
∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°，
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键．
练习2．(2023·浙江衢州·八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解．
【详解】
解：分别取的中点为，连接，
分别是的中点，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形．
练习3．（2020·河南漯河·八年级阶段练习）如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
A．135°B．90°C．75°D．60°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可求解
【详解】
连接BC，
∵AC、AB、BC是正方形的对角线，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键．
◎考点11：根据性质与判定求求线段长
例．(2023·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】
证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
练习1．(2023·浙江温州·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A．B．C．D．＋1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP＝PD+PE，当在同一直线上时，的值最小为的长，进而根据勾股定理求得的值．
【详解】
解：连接BD，
∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，
∴无论P在什么位置，都有PD＝PB；
故均有BP+EP＝PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP＝DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC＝BC＝2，
∵E是BC的中点，
∴EC＝1，
在Rt△DEC中，
DE＝＝＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键．
练习2．(2023·陕西·榆林市第五中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．C．4D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°，
∴∠CON＝∠DOM，
在△OCN和△ODM中，
，
∴△OCN≌△ODM（ASA），
∴S△OCN＝S△ODM，
∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON，
即S△ODC＝S四边形MOND＝2，
∵OD•OC＝2，
而OD＝OC，
∴OD＝2，
∴BD＝2OD＝4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键．
练习3．(2023·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级开学考试）如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】
解：正方形的边长为12，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键．
◎考点12：根据性质与判定求面积
例．（2022·山东·济宁学院附属中学九年级期末）如图，正方形的边长为4，分别以正方形的三条边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据S阴影=2×(S半圆-S△AOD)求解即可．
【详解】
如图，连接OA、OD，
则根据对称性可得：S阴影=2×(S半圆-S△AOD)=，
故选：D．
【点睛】
本题考查扇形的面积计算，正方形的性质，解题关键是表示出两个弓形面积之和与半圆与三角形面积之间的关系．
练习1．（2020·吉林·长春北师大附属学校八年级期中）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.
A．48B．12C．24D．36
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和等腰三角形的性质，设,结合勾股定理，求得正方形的边长，即可求得答案.
【详解】
∵与都是正方形，
∴，
∴，
设,
∵
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴正方形的面积是：36，
故选：
【点睛】
本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，勾股定理的应用是解题的关键.
练习2．（2020·河南·九年级专题练习）如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设DP＝xcm，则△POD的面积y(cm2)随x(cm)变化的关系图象为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
△POD的面积可分为两部分讨论，P由A运动到D时，面积逐渐减小，由D运动到C时，面积逐渐增大，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：∵正方形ABCD的边长为2cm，O是对角线的交点，
∴点O到AD或CD的距离为1cm，
∴当P由A运动到D时，y＝x(0≤x≤2)，
当P由D运动到C时，y=x(0≤x≤2)，
故符合条件的图象只有选项B．
故选B．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
48练习3为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，求正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
本题考查的正方形的中心对称性．连接OD,OC利用ASA证明三角形全等．故可得覆盖部分的面积为正方形的面积的为．故选择C
◎考点13：根据性质与判定求证明
例．(2023·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，求证：BE＝FD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由正方形四个角都是直角，四个边都相等，得AB=AD，由E是AD的中点，得：AF=AB，AE=AF，即可证明Rt△ADF≌Rt△ABE，可得BE=DF．
【详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∵AF=AB，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°，
∴AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质．解本题的关键要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质的基本知识点．
练习1(2023·广东揭阳·七年级期末）提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；
（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．
【答案】（1）；（2），，见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得BE＝CD；
（2）由“SAS”可证△EAC≌△BAG，可得CE＝BG，∠AEC＝ABG，即可证明CE⊥BG；
（3）由“AAS”可证△ABC≌△AEH，可得EH＝BC，由三角形的面积公式可得结论．
【详解】
解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为： ；
（2），；理由如下：
如图，设AB与CE的交点为P，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
；
即：，；
（3）如图，过点作交延长线于；
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】
本题是四边形综合题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
练习2．(2023·全国·八年级专题练习）如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
练习3．(2023·河北唐山·八年级期末）（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；
请你完成问题情境中（2）的证明
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）PD＝EF．证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质证明△APB≌△APD，故可求解；
（2）连接PB，证明四边形PEBF是矩形，根据矩形对角线相等即可求解．
【详解】
解：（1）证明：在△APB和△APD中，
∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∴△APB≌△APD，
∴PB＝PD．
（2）猜想：PD＝EF．
证明：连接PB．
由（1）可知：PB＝PD．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PB＝EF，
∴PD＝EF．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、矩形的性质．