沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 期末模拟（三）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 期末模拟（三）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共30页。

1．(本题4分)（重庆市永川区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ）
A．B．C．D．为任意实数
2．(本题4分)(2023年河南省洛阳市中考数学三模试卷）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＋k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≥2C．k＜2D．k＞2
3．(本题4分)（2022·广西贵港·一模）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2023B．2021C．D．2022
4．(本题4分)(2023·山东临沂·二模）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16B．12C．8D．6
5．(本题4分)（2022·河北石家庄·八年级期末）嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
6．(本题4分)(2023·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BCB．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD=BCD．AD∥BC，AD=BC
7．(本题4分)(2023·广西桂林·八年级期末）初一（2）班50名学生的身高被分为5组，1至4组的频数分别为8、12、14、11，则第5组的频率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
8．(本题4分)（2022·河南平顶山·九年级期末）已知某公司10月份总收入为40万元，经全体员工不懈努力，到12月底实现了第四季度总收入132.4万元的奋斗目标．设11，12两个月总收入的月均增长率为，由题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．(本题4分)(2023·河北·大厂回族自治县第二回民中学八年级期中）在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则∠AEC=（ ）
A．30度B．67.5 度C．22.5 度D．30度
10．(本题4分)(2023·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
11．(本题5分)（浙江省绍兴市2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）若a1，则代数式a2+2a﹣4的值为 _____．
12．(本题5分)(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC 中， AB=10 cm， AC=6 cm， BC=8 cm，若将 AC 沿 AE 折叠，使得点 C 与 AB 上的点D 重合，则△AEB 的面积为_____cm2．

13．(本题5分)(2023·河南新乡·二模）小天想要计算一组数据82，80，84，76，89，75的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5记这组新数据的方差为S12，则S12___S02（选填“＞”“＝”“＜”）．
14．(本题5分)(2023·上海民办行知二中实验学校八年级期中）已知n＜5，且关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0两根都是整数，则n＝___．
15．(本题8分)（2022·浙江·杭州市公益中学八年级开学考试）计算：
(1)
(2)
16．(本题8分)(2023·云南·弥勒市长君实验中学九年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)（x+3）2＝（1﹣2x）2
17．(本题8分)（2022·河北邢台·八年级期末）一个零件的形状如图所示，按规定，，质检工人测得，就断定这个零件不合格，这是为什么？
18．(本题8分)(2023·湖南湘西·九年级期中）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．(本题10分)（2022·重庆·模拟预测）已知：如图，在平行四边形中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线AE，交BC于点E，在AD上截取，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．
20．(本题10分)(2023·上海市西南模范中学八年级期中）已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．
21．(本题12分)(2023·湖北·仙桃荣怀学校八年级阶段练习）如图，在10×10的网格中建立如图的平面直角坐标系，线段AB两个端点的坐标分别是A（1，4），B（3，1）
（1）画出线段AB关于y轴对称的线段CD，则点A的对应点C的坐标是 ；
（2）将线段AB先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的对应线段EF，观察线段EF与DC是否关于某直线对称？若是，则对称轴是 ；E点坐标是 ；
（3）△ABP是以AB为直角边的格点等腰直角三角形（A，B，P三点都是小正方形的顶点），则点P的坐标是
22．(本题12分)（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．
解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
(1)当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
(2)当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
(3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当垂直于墙的一边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
23．(本题14分)（2022·黑龙江·模拟预测）齐齐哈尔市某中学为了解学生参加户外活动的情况，对全校学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的频数分布表和扇形统计图，请根据图表信息，回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人，m＝______，在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是______度；
(2)被调查的学生每天户外活动时间的中位数出现在______组；
(3)被调查的小丽同学接下来的五天户外活动时间（单位：小时）分别为：1.1，0.8，1，0.9，1.2，则这组数据的方差为______；
(4)若该校共有3000名学生，请估计该校每天户外活动时间不少于2小时的学生有多少名．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得分
一、单选题(共40分)
评卷人
得分
二、填空题(共20分)
评卷人
得分
三、解答题(共90分)
组别
时间/小时
人数
A
0.5≤x＜1
8
B
1≤x＜1.5
21
C
1.5≤x＜2
m
D
2≤x＜2.5
n
E
2.5≤x＜3
6
2023-2024学年沪科版八年级下册期末模拟（三）
考试时间：120分钟；满分：150分
考试范围：第16-20章
1．(本题4分)（重庆市永川区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ）
A．B．C．D．为任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m21≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m21≠0，
解得：m≠±1，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）．
2．(本题4分)(2023年河南省洛阳市中考数学三模试卷）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＋k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≥2C．k＜2D．k＞2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据判别式的意义，得到，然后解不等式即可．
【详解】
解：∵，
，
根据题意得，
解得 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是运用代入数据解不等式即可．
3．(本题4分)（2022·广西贵港·一模）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2023B．2021C．D．2022
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】
解：由题意可知：，
解得：x>2022，
∴x的值可能为2023
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．
4．(本题4分)(2023·山东临沂·二模）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16B．12C．8D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠可得，进而得到，，然后根据勾股定理求出CD的长，再结合中线的定义利用求解．
【详解】
解：由折叠可得，
．
，由折叠可得，
,
．
是C的中线，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换，中线的性质，勾股定理.熟练掌握翻折的性质是解答关键．
5．(本题4分)（2022·河北石家庄·八年级期末）嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正五边形每个内角为108°，根据长方形纸片对边平行，再根据两直线平行，同旁内角互补可求解．
【详解】
∵折的图形为正五边形，
∴∠2= =108°，
又∵长方形纸片对边平行，
∴∠1+∠2=180°，
∠1=180°-∠2=180°-108°=72°
故选D．
【点睛】
本题考查折纸中角的度数，熟练掌握正五边形每个内角的度数，平行线的性质是解决本题的关键．
6．(本题4分)(2023·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BCB．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD=BCD．AD∥BC，AD=BC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】
解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
7．(本题4分)(2023·广西桂林·八年级期末）初一（2）班50名学生的身高被分为5组，1至4组的频数分别为8、12、14、11，则第5组的频率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用频率的定义结合已知求出第5组频数，进而得出答案．
【详解】
解：∵某班50名学生的身高被分为5组，第1～4组的频数分别为8、12、14、11，
∴第5组的频数是：50-8-12-14-11=5，
故第5组的频率是：
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．
8．(本题4分)（2022·河南平顶山·九年级期末）已知某公司10月份总收入为40万元，经全体员工不懈努力，到12月底实现了第四季度总收入132.4万元的奋斗目标．设11，12两个月总收入的月均增长率为，由题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据代数式的性质，首先分别计算得11，12两个月总收入，再根据一元二次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵11，12两个月总收入的月均增长率为，
∴11月总收入为：万元
∴12月总收入为：万元
∵第四季度总收入132.4万元
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解．
9．(本题4分)(2023·河北·大厂回族自治县第二回民中学八年级期中）在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则∠AEC=（ ）
A．30度B．67.5 度C．22.5 度D．30度
【答案】C
【解析】
【分析】
先连接AC，根据正方形的性质，得出AC=EC，进而得到∠E=∠CAF，再根据平行线的性质，得出∠E=∠DAF，最后根据∠CAD=45°，求得∠AEC的度数．
【详解】
解：如图，连接AC，
则正方形ABCD中，AC=BD，
∵CE=BD，
∴AC=EC，
∴∠E=∠CAF，
∵ADEC，
∴∠E=∠DAF，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CAD=45°，
∴∠CAF=∠DAF=22.5°，
∴∠AEC=22.5°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形ACE．解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每条对角线平分一组对角．
10．(本题4分)(2023·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】
解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
11．(本题5分)（浙江省绍兴市2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）若a1，则代数式a2+2a﹣4的值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】
此题可先把代数式a2+2a﹣4变形为（a+1）2﹣5，再把a1代入变形的式子计算即可．
【详解】
∵a²+2a﹣4＝（a+1）2﹣5．
∴当a1时，
原式＝（1+1）2﹣5
＝7﹣5
＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的逆用、二次根式的化简求值，解答本题的关键是一定要先化简到最简二次根式，再代入求值．
12．(本题5分)(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC 中， AB=10 cm， AC=6 cm， BC=8 cm，若将 AC 沿 AE 折叠，使得点 C 与 AB 上的点D 重合，则△AEB 的面积为_____cm2．

【答案】15
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=6cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，设EC=DE=x，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出方程，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】
解：∵AC2+BC2=82+62=100cm2，AB2=100cm2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=6cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，
设EC=DE=x，
在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，
∴x2+42=(8-x)2，
解得．
∴DE=3，
∴S△ABE=×AB×DE=×10=cm2．
故答案为15．
【点睛】
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，翻折的性质，拓展一元一次方程以及三角形的面积公式等，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
13．(本题5分)(2023·河南新乡·二模）小天想要计算一组数据82，80，84，76，89，75的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5记这组新数据的方差为S12，则S12___S02（选填“＞”“＝”“＜”）．
【答案】=
【解析】
【分析】
根据方差的意义判断，一组数据都减去同一个数所得的新数据与原数据的波动大小相同．
【详解】
解：∵一组数据同时减去相同的数，所得新数据的波动性与原数据相同，
∴S12＝S02
故答案为：＝．
【点睛】
本题考查方差的意义，方差反映一组数据的波动大小，方差越大波动越大，方差越小波动越小，方差相同，则波动大小相同．解题关键是判断数据的波动情况．
14．(本题5分)(2023·上海民办行知二中实验学校八年级期中）已知n＜5，且关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0两根都是整数，则n＝___．
【答案】或或或
【解析】
【分析】
先利用方程有两根求解结合已知条件可得再求解方程两根为结合两根为整数，可得为完全平方数，从而可得答案.
【详解】
解： 关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0有两根，



x2﹣2x﹣2n＝0，




而两个根为整数，则为完全平方数，
或或或
解得：或或或
故答案为：或或或
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，利用公式法解一元二次方程，熟练的解一元二次方程是解本题的关键.
15．(本题8分)（2022·浙江·杭州市公益中学八年级开学考试）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，再算二次根式的乘法和加法，即可求解；‘
（2）先化简二次根式，再进行二次根式的混合运算，即可求解．
(1)
解：原式

(2)
解：原式


【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，熟练运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题的关键．
16．(本题8分)(2023·云南·弥勒市长君实验中学九年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)（x+3）2＝（1﹣2x）2
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法进行求解一元二次方程即可；
（2）根据直接开平方法进行求解即可．
(1)
解：
或，
∴；
(2)
解：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴方程的解为．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
17．(本题8分)（2022·河北邢台·八年级期末）一个零件的形状如图所示，按规定，，质检工人测得，就断定这个零件不合格，这是为什么？
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在五边形DHGFE中利用内角和定理求得∠GFE的度数即可作出判断．
【详解】
解：∵四边形ABCD的内角和是：180×（4－2）=360°．
∠H=360°－∠A－∠B－∠C=90°
五边形DHGFE的内角和是180×（5－2）=540°．
则∠GFE =540°－∠FGH －∠EDH－∠H －∠FED =130°．
因为质检工人测得∠GFE=140°
因此这个零件不合格．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，正确进行角度的计算是关键．
18．(本题8分)(2023·湖南湘西·九年级期中）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可；
（2）将代入方程，求得，从而求得方程的解，根据三角形三边关系，确定腰长和底边长，即可求解．
【详解】
解：（1），
判别式，
所以，无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）将代入方程，得，解得，
即方程为，解得，，
当为等腰△ABC的腰时，底边长为，，不满足三角形四边关系，舍去，
当为等腰△ABC的腰时，底边长为，，，符合三角形三边关系，此时周长为，
故答案为：
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，一元二次方程的求解以及三角形三边关系，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解．
19．(本题10分)（2022·重庆·模拟预测）已知：如图，在平行四边形中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线AE，交BC于点E，在AD上截取，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法和作一条线段等于已知线段的作法作图即可；
（2）根据四边形为平行四边形，可得，，，再根据平分，可证得，即有，再根据，，可得，即有，可证四边形为平行四边形，从而得到．
(1)
解：（1）如图所示，
(2)
（2）如图所示，
四边形为平行四边形，
，，，
平分，
，
∵，
，
∴
，
又∵，
∴，
，
即，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的作法，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，熟悉相关作法和性质是解题的关键．
20．(本题10分)(2023·上海市西南模范中学八年级期中）已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用菱形的性质，AF⊥BC ，CH⊥AD，可证四边形AFCH为矩形，得AH=CF，再证明△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)，得到EH=FG，EF=GH，证得四边形EFGH是平行四边形，进一步证得∠HEF=90°，得出结论．
（2）连结BD，FH，AC，设BD、AC、FH相交于点O.利用菱形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，证明∠EFH=45°，进一步证明EF=EH，得出结论．
(1)
证明∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
∴∠ABC+∠BAD=180°
∵AF⊥BC ，CH⊥AD
∴∠AFC=∠AHC=90°
∵ADBC
∴ ∠FAH=180°－∠AFC=90°
∴四边形AFCH为矩形，
∴AH=CF
∵AE＝AH，CG＝CF
∴AH＝CF＝AE＝CG，BF=BE=DH=DG
∴△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)
∴EH=FG，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF=∠BFE=（180°－∠ABC）=90°-∠ABC
同理可得∠AEH=∠BAD
∴∠BFE+∠AEH=（∠ABC+∠BAD）=90°
∴∠HEF=180°－（∠BFE+∠AEH）=90°
∴四边形EFGH是矩形．
(2)
证明：如图，连结BD，FH，AC，设BD、AC、FH相交于点O.
∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，AB=BC=CD=AD， AC⊥BD
∴∠ADB=∠CBD，△ABD是等腰三角形，∠BOC==90°
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=22.5°
∴∠BCO=180°-∠CBD-∠BOC=67.5°
∵四边形AFCH为矩形
∴OF=OC，∠AFC=90°
∴△FOC是等腰三角形
∴∠OFC=∠BCO=67.5°
∴∠AFH=∠AFC-∠OFC=22.5°
∵BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF=∠BFE=（180°－∠ABC）=90°-∠ABC=67.5°
∵AF⊥BC
∴∠AFB=90°
∴∠AFE=∠AFB-∠BFE=22.5°
∴∠EFH=∠AFE+∠AFH=45°
∵四边形EFGH是矩形
∴∠FEH=90°
∴∠EHF=180－∠FEH－∠EFH=45°
∴∠EFH=∠EHF
∴EF=EH
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，正方形的判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，综合性较强，关键在于灵活应用相关知识．
21．(本题12分)(2023·湖北·仙桃荣怀学校八年级阶段练习）如图，在10×10的网格中建立如图的平面直角坐标系，线段AB两个端点的坐标分别是A（1，4），B（3，1）
（1）画出线段AB关于y轴对称的线段CD，则点A的对应点C的坐标是 ；
（2）将线段AB先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的对应线段EF，观察线段EF与DC是否关于某直线对称？若是，则对称轴是 ；E点坐标是 ；
（3）△ABP是以AB为直角边的格点等腰直角三角形（A，B，P三点都是小正方形的顶点），则点P的坐标是
【答案】（1）画图见解析，；（2）轴，；（3）
【解析】
【分析】
（1）先确定关于轴对称的对应点 再连接即可；
（2）先确定平移后的对应点 再连接 由图形位置可得关于轴对称，再写出的坐标即可；
（3）先求解 作再证明 是等腰直角三角形，同理：作证明，所以是等腰直角三角形，从而可得答案.
【详解】
解：（1）如图，线段即为所求作的线段，
（2）如图，线段为平移后的线段，
线段与线段关于轴对称，
所以对称轴是轴，则
（3）如图，即为所求作的三角形，
由勾股定理可得：


是等腰直角三角形，
同理： 所以是等腰直角三角形.
此时：
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，平移的性质，轴对称的作图，平移的作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定，数形结合的运用是解本题的关键.
22．(本题12分)（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．
解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
(1)当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
(2)当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
(3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当垂直于墙的一边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，小，3
(2)2，大，7
(3)当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32
【解析】
【分析】
（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围，再进行分析计算即可；
（2）先配方，把多项式变成完全平方形式，再进行分析计算；
（3）根据总长为16m，构造方程求解即可．
(1)
解：∵2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2+3≥3，
∴当x＝1时，代数式有最小值为3．
故答案为：1，小，3．
(2)
解：﹣x2+4x+3
＝﹣（x2﹣4x）+3
＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3
＝﹣（x﹣2）2+7，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2+7≤7，
∴当x＝2时，代数式有最大值为7．
故答案为：2，大，7．
(3)
解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m，
花园的面积为x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x2﹣8x）
＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）
＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2（x﹣4）2≤0，
∴﹣2（x﹣4）2+32≤32，
∴当x＝4时，代数式有最大值为32，
即当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32．
【点睛】
本题主要考查配方法的实际运用，解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．
23．(本题14分)（2022·黑龙江·模拟预测）齐齐哈尔市某中学为了解学生参加户外活动的情况，对全校学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的频数分布表和扇形统计图，请根据图表信息，回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人，m＝______，在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是______度；
(2)被调查的学生每天户外活动时间的中位数出现在______组；
(3)被调查的小丽同学接下来的五天户外活动时间（单位：小时）分别为：1.1，0.8，1，0.9，1.2，则这组数据的方差为______；
(4)若该校共有3000名学生，请估计该校每天户外活动时间不少于2小时的学生有多少名．
【答案】(1)60；15；36
(2)C
(3)0.02
(4)估计该校有600名学生每天户外活动时间不少于2小时
【解析】
【分析】
（1）根据B组的人数和百分比，可以计算出被调查的学生总数进而求出m、n的值，用360°乘D组人数所占比例可得D组所在扇形的圆心角度数；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据方差公式即可求解；
（4）根据表中的数据，可以计算该校有多少名学生每天户外活动时间不少于2小时．
(1)
解：本次被调查的学生有21÷35%＝60（人），
∴m＝60×25%＝15，
∴n＝60﹣8﹣21﹣15﹣6＝10（人），
∴D组所在扇形的圆心角是：360°36°，
故答案为：60；15；36；
(2)
解：本次被调查的学生有60人，
∴中位数是第30，31个数的平均数，
∵A组的人数为8，B组的人数为21，C组的人数为15，
∴被调查的学生每天户外活动时间的中位数出现在C组；
故答案为：C；
(3)
解：（1.1+0.8+1+0.9+1.2）＝1，
∴[（1.1﹣1）2+（0.8﹣1）2+（1﹣1）2+（0.9﹣1）2+（1.2﹣1）2]
（0.01+0.04+0+0.01+0.04）

＝0.02．
故答案为：0.02；
(4)
解：3000600（人），
答：估计该校有600名学生每天户外活动时间不少于2小时．
【点睛】
本题考查统计表、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得分
一、单选题(共40分)
评卷人
得分
二、填空题(共20分)
评卷人
得分
三、解答题(共90分)
组别
时间/小时
人数
A
0.5≤x＜1
8
B
1≤x＜1.5
21
C
1.5≤x＜2
m
D
2≤x＜2.5
n
E
2.5≤x＜3
6