陕西省西安市周至县2024届高三一模数学(理)试题
展开一、单选题
1.若z(1+i)=2i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,4,N=2,5,则N∪∁UM=( )
A.2,3,5B.1,3,4C.1,2,4,5D.2,3,4,5
3.函数fx=sinx1+csxx∈−π,π的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,则其公比q=( )
A.1B.2C.3D.1或3
5.过点A4,1的圆C与直线x−y=1相切于点B2,1,则圆C的方程为( )
A.x−32+y+12=5B.x−32+y2=2
C.x−32+y−82=50D.x−32+y2=2
6.如下图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
7.现有一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为8,若随机去掉一个数xi(i=1,2,3,4,5)后,余下的四个数的平均数为9,则下列说法正确的是( )
A.余下四个数的极差比原来五个数的极差更小B.余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C.余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大D.去掉的数一定是4
8.已知函数fx=csx+φ,则“f0=0”是“fx为奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等,且体积为8π3.在该圆锥内有一个正方体,其下底面的四个顶点在圆锥的底面内,上底面的四个顶点在圆锥的侧面上,则该正方体的棱长为( )
A.23B.1C.2−2D.4−22
10.已知等差数列an的公差为π;集合S=sinann∈N*,若S=a,b,则a+b=( )
A.−1B.0C.12D.1
11.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是
A.0,5−12B.5−12,1C.0,3−12D.3−12,1
12.若曲线y=lnx与曲线y=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是( )
A.(−ln2−1,+∞)B.[−ln2−1,+∞)
C.(−ln2+1,+∞)D.[−ln2+1,+∞)
二、填空题
13.已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6,则p= .
14.将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学,则不同的分法种数为 .
15.已知函数y=fx+1是偶函数,且在区间−∞,−1上是增函数,则不等式f−2x>f−8的解集为 .
16.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列,以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1,3,7,13,则该数列的第14项为 .
三、解答题
17.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sinA=sin2B,a=4,b=6.
(1)求csB的值;
(2)求△ABC的面积.
18.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).
(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;
(2)测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:
(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附:K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
19.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点E在线段DD1上.
(1)求证:AC⊥BE;
(2)当E是DD1的中点时,求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值.
20.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程y=2x,原点到过A(a,0)、B(0,−b)点的直线l的距离为63.
(1)求双曲线方程;
(2)过点Q(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于两点P1、P2,且Q是线段P1P2的中点?若存在,请求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
21.已知函数fx=x−ax+1−lnx+1a∈R.
(1)求函数fx的单调区间;
(2)已知m,n是正整数,且1
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=t+8ty=t−8t(t为参数),点P4,0.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=23csθ,射线l的极坐标方程为θ=π6ρ≥0.
(1)写出曲线C1的极坐标方程;
(2)若l与C1,C2分别交于A,B(异于原点)两点,求△PAB的面积.
23.已知函数f(x)=|2x−1|−|x−3|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b为正实数,且a+b+2m=0,证明不等式a2b+b2a≥5.
<23.4
≥23.4
合计
对照组
实验组
合计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
参考答案:
1.D
【分析】根据复数的运算法则求得复数z,继而求得共轭复数对应的点,即可判定.
【详解】因为z(1+i)=2i,
所以z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=2+2i2=1+i,
则z=1−i,其对应的点为1,−1,在第四象限,
故选:D.
2.A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以∁UM=2,3,5,
又N={2,5},所以N∪∁UM={2,3,5},
故选:A.
3.A
【详解】首先判断函数的奇偶性,再由函数在0,π上的取值情况判断即可.
【分析】函数fx=sinx1+csxx∈−π,π则f−x=sin−x1+cs−x=−sinx1+csx=−fx,
所以fx=sinx1+csx为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除C、D;
当x∈0,π时sinx∈0,1,csx∈−1,1,所以1+csx∈0,1,则fx>0,故排除B.
故选:A
4.C
【分析】由a2+a4=90结合a2+a4a1+a3=qa1+a3a1+a3求解即可.
【详解】因为a1+a3=30,S4=120,所以a2+a4=90,则a2+a4a1+a3=qa1+a3a1+a3=q=3.
故选:C
5.D
【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得kBC=−1,得到关于圆心的一个方程,根据圆的性质,可知圆心C在AB的垂直平分线x=3上,由此可求得a,b的值,得到圆心坐标,进而可求得圆的半径即可求解.
【详解】设圆心C(a,b),
因为直线x−y=1与圆C相切于点B2,1,
所以kBC=b−1a−2=−1,即a+b−3=0,
因为AB中垂线为x=3,则圆心C满足直线x=3,
即a=3,∴b=0,
所以半径r=(3−2)2+(0−1)2=2,
所以圆C的方程为x−32+y2=2,
故选:D.
6.C
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系,利用空间向量求异面直线所成角.
【详解】
以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2,则E2,1,0,F1,0,0,B12,2,2,
C0,2,0,B1C=−2,0,−2,EF=−1,−1,0,
设异面直线B1C与EF所成的角为θ,θ∈0,π2,
则csθ=B1C⋅EFB1C⋅EF=28⋅2=12,所以θ=60°.
故选:C
7.D
【分析】ABC选项,利用特殊值的方法判断;D选项,根据平均数的定义得到xi=4.
【详解】因为x1,x2,x3,x4,x5的平均数为8,设去掉xi后余下的四个数的平均数为9,
则xi=x1+x2+x3+x4+x5−4×9=5×8−4×9=4,D正确.
例如这5个数分别为3,4,4,4,25,则去掉4之后,极差依然不变为22,
中位数不变依然为4不变,,最小值不变依然为3,则C错误则可得A,B,C错误.
故选:D.
8.C
【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可知:fx的定义域为R,
若f0=csφ=0,可得φ=π2+kπ,k∈Z,
若k为偶数,则fx=csx+π2+kπ=csx+π2=−sinx为奇函数;
若k为奇数,则fx=csx+π2+kπ=−csx+π2=sinx为奇函数;
即充分性成立;
若fx为奇函数,则f0=0,即必要性成立;
综上所述:“f0=0”是“fx为奇函数”的充要条件.
故选:C.
9.D
【分析】根据题意,求得圆锥的高与底面圆的半径为2,作出组合体的轴截面,结合△SO1D∽△SOA,列出方程,即可求解.
【详解】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等,设圆锥的高为h,底面圆的半径为r,则r=h,
又因为圆锥的体积为8π3,可得13πr2h=13πr3=8π3,解得r=2,则h=2,
设圆锥的顶点为S,底面圆心为O,则高为SO=2,SO与正方体的上底面交点为O1,
在该圆锥内有一个正方体,其下底面的四个顶点在圆锥的底面内,上底面的四个顶点在圆锥的侧面上,取其轴截面,如图所示,
设正方体的棱长为a,可得CD=2a,
由△SO1D∽△SOA,可得SO1SO=O1DOA,即2−a2=22a2,解得a=42+2=4−22,
所以该正方体的棱长为4−22.
故选:D.
10.B
【分析】根据给定的等差数列,写出通项公式,再结合正弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答即可.
【详解】∵等差数列an的公差为π,∴ an=a1+n−1π=nπ+a1−π,
∴ sinan=sin(nπ+a1−π),∴最小正周期T=2ππ=2,
要使集合S=a,b只有两个元素, 则sina1≠sina2sina1=sina3,即sina1≠sinπ+a1sina1=sin2π+a1,
不妨取a1=π6,则a=sina1=sinπ6=12,b=sina2=sinπ+π6=−12,
所以a+b=0.
故选:B.
11.A
【详解】如图根据对称性,点D在直线y=x上,可得x2a2+x2b2=1,即x2=a2b2a2+b2>c2.
可得b2>ac,∴c2+ac−a2<0,∴e2+e−1<0,解得0
点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式e=ca;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
12.A
【分析】设公切线与函数f(x)=lnx切于点A(x1,lnx1)(x1>0),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)切于点B(x2,x22+2x2+a)(x2<0),然后利用导数的几何意义表示出切线方程,则可得1x1=2x2+2lnx1−1=a−x22,消去x1,得a=x22−ln(2x2+2)−1,再构造函数,然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数f(x)=lnx切于点A(x1,lnx1)(x1>0),
由f(x)=lnx,得f′(x)=1x,所以公切线的斜率为1x1,
所以公切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1),化简得y=1x1⋅x+(lnx1−1),
设公切线与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)切于点B(x2,x22+2x2+a)(x2<0),
由g(x)=x2+2x+a(x<0),得g′(x)=2x+2,则公切线的斜率为2x2+2,
所以公切线方程为y−(x22+2x2+a)=(2x2+2)(x−x2),化简得y=2(x2+1)x−x22+a,
所以1x1=2x2+2lnx1−1=a−x22,消去x1,得a=x22−ln(2x2+2)−1,
由x1>0,得−1
所以F(x)>F(0)=−ln2−1,
所以由题意得a>−ln2−1,
即实数a的取值范围是(−ln2−1,+∞),
故选:A
【点睛】关键点点睛:此题考查导数的几何意义,考查导数的计算,考查利用导数求函数的最值,解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程,考查计算能力,属于较难题.
13.6
【分析】求出抛物线的准线方程,再利用抛物线定义列式计算即得.
【详解】抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=−p2,依题意,3−(−p2)=6,解得p=6,
所以p=6.
故答案为:6
14.20
【分析】直接从6本不同的书抽3本书给甲同学,剩余3本书给乙同学,结合组合计数原理可得结果.
【详解】将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学,只需从6本不同的书抽3本书给甲同学,剩余3本书给乙同学,
所以,不同的分法种数为C63C33A22·A22=20种.
故答案为:20.
15.−∞,3
【分析】由y=f(x+1)与y=f(x)图象的平移关系,可得f(x)的对称性与单调性,利用单调性解抽象不等式即可.
【详解】因为函数y=fx+1是偶函数,且在区间−∞,−1上是递增增函数,
而函数f(x)图象可由函数f(x+1)向右平移1个单位得到,
故函数f(x)关于直线x=1对称,且在区间−∞,0上是递增增函数,
由f−2x>f−8,且−2x,−8∈(−∞,0],
得−2x>−8,即2x<8,解得x<3.
不等式f−2x>f−8的解集为−∞,3.
故答案为:−∞,3.
16.183
【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列an+1−an的通项公式,再利用累加法计算即可求解.
【详解】设该二阶等差数列为an,则a1=1,a2=3,a3=7,a4=13,
由二阶等差数列的定义可知,a2−a1=2,a3−a2=4,a4−a3=6,⋅⋅⋅,
可知数列an+1−an是以a2−a1=2为首项,公差d=2的等差数列,则an+1−an=2n,
即a2−a1=2,a3−a2=4,a4−a3=6,⋅⋅⋅,an+1−an=2n,
将所有上式累加可得an+1−a1=n2+2n2=n2+n,则an+1=n2+n+1,
所以a14=132+13+1=183,即该数列的第14项为a14=183.
故答案为:183.
17.(1)csB=13
(2)82
【分析】(1)利用正弦定理结合二倍角公式可得解.
(2)根据余弦定理可得c,由csB可得sinB,进而可得面积.
【详解】(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,
又sinA=sin2B=2sinBcsB,
所以a2sinBcsB=bsinB,即42sinBcsB=6sinB,
解得csB=13;
(2)由(1)得csB=13,则sinB=223,
又由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=42+c2−622×4c=13,c>0,
解得c=6,
所以S=12acsinB=12×4×6×223=82.
18.(1)分布列见解析,期望为1
(2)(i)m=23.4,2×2列联表见解析;(ⅱ)有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
【分析】(1)根据超几何分布求分布列,进而可得期望;
(2)(i)直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可;(ⅱ)利用卡方公式及对照表计算即可.
【详解】(1)依题意,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C200C202C402=1978,P(X=1)=C201C201C402=2039,P(X=2)=C202C200C402=1978,
所以X的分布列为:
故E(X)=0×1978+1×2039+2×1978=1.
(2)(i)由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为m=23.2+23.62=23.4,
填二联表如下:
(ⅱ)由上表及卡方公式可知:
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×62−142220×20×20×20=6.4>3.841,
所以有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
19.(1)证明见解析
(2)32
【分析】(1)连接BD,利用线面垂直的判定、性质推理即得.
(2)建系,利用空间向量求线面夹角.
【详解】(1)在长方体ABCD−A1B1C1D1中,连接BD,则AC⊥BD,
由ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,得AC⊥ED,
而ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BED,因此AC⊥平面BED,
又BE⊂平面BED,所以AC⊥BE.
(2)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,E0,0,1,C10,1,2,
可得AC=−1,1,0,EC1=0,1,1,BC1=−1,0,2,
设平面BC1E的法向量n=x,y,z,则n⋅EC1=y+z=0n⋅BC1=−x+2z=0,
令x=2,则y=−1,z=1,可得n=2,−1,1,
设直线AC与平面BC1E所成角为θ∈0,π2,
则,
所以直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为32.
20.(1)x2−y22=1
(2)不存在,理由见解析
【分析】(1)求出直线l的方程,根据原点到直线的距离求出a,b的关系式,再结合双曲线的渐近线方程求出a,b,即可得解;
(2)假设直线m存在,设Q是线段P1P2的中点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),利用点差法求出直线m的方程,再联立方程,根据根的判别式即可得出结论.
【详解】(1)解:因为直线l过A(a,0)、B(0,−b)两点,所以方程为bx−ay−ab=0,
因为原点到直线l的距离为63,所以abb2+a2=63,
因为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程y=2x,
所以ba=2,解得a=1,b=2,
所以双曲线方程为x2−y22=1;
(2)解:假设直线m存在,设Q是线段P1P2的中点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=2,
因为P1、P2在双曲线上,
则x12−y122=1x22−y222=1,两式相减整理得2(x1+x2)(x1−x2)−(y1−y2)(y1+y2)=0,
所以4(x1−x2)=2(y1−y2),所以k=2,
所以直线l的方程为y−1=2(x−1),即2x−y−1=0,
联立2x−y−1=0x2−y22=1,消y得2x2−4x+3=0,
因为Δ=16−4×3×2=−8<0,
所以直线m与双曲线无交点,所以直线m不存在.
21.(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)求导,令导数为0,结合定义域对a进行讨论即可;
(2)两边取对数,整理后,构造函数h(x)=ln(1+x)x,证明hx为0,+∞上的减函数,即可求解.
【详解】(1)函数fx的定义域为(−1,+∞),f′(x)=a−x(x+1)2,
①当a≤−1时,f′x<0在−1,+∞上恒成立,fx的减区间为−1,+∞,无增区间;
②当a>−1时,令f′x>0,解得−1
所以fx的增区间为−1,a,减区间为a,+∞.
综上,当a≤−1时,fx的减区间为−1,+∞,无增区间;
当a>−1时,fx的增区间为−1,a,减区间为a,+∞.
(2)两边同时取对数,证明不等式成立等价于证明nln1+m>mlnn+1,
即证明ln(1+m)m>ln(1+n)n,
构造函数h(x)=ln(1+x)x,h′(x)=xx+1−ln(1+x)x2,
令g(x)=xx+1−ln(1+x),由(1)知,当a=0时,gx在0,+∞上为减函数,故gx
因为1
22.(1)ρ2cs2θ=32
(2)5
【分析】(1)由参数方程可得x2=t2+64t2+16,y2=t2+64t2−16,进而即可推得x2−y2=32,根据公式即可得出曲线C1的极坐标方程;
(2)将θ=π6分别代入C1,C2的极坐标方程得出ρA=8,ρB=3,进而得出弦长AB=5.然后求出点P4,0到射线的距离d,即可得出答案.
【详解】(1)由C1的参数方程得x2=t2+64t2+16,y2=t2+64t2−16,
所以x2−y2=32.
又x=ρcsθ,y=ρsinθ,所以ρ2cs2θ=32,
所以C1的极坐标方程为ρ2cs2θ=32.
(2)将θ=π6代入曲线C1的极坐标方程ρ2cs2θ=32可得ρA=8,
将θ=π6代入曲线C1的极坐标方程ρ=23csθ可得ρB=3,
所以AB=ρA−ρB=5.
又射线l的直角坐标方程为y=33x,即为3x−3y=0,
所以点P4,0到射线的距离为d=4332+−32=2,
所以S△PAB=12⋅d⋅AB=12×2×5=5.
23.(1)m=−52
(2)证明见解析
【分析】(1)讨论去绝对值可得f(x)的解析式及最小值;
(2)由(1)可得a+b=5,利用基本不等式可得答案.
【详解】(1)当x<12时,f(x)=−2x+1+x−3=−x−2≥−52,
当12≤x≤3时,f(x)=2x−1+x−3=3x−4∈−52,5,
当x>3时,f(x)=2x−1−x+3=x+2>5,
综上,
f(x)=−x−2,x<123x−4,12≤x≤3x+2,x>3,可知当x=12时,f(x)有最小值−52,
所以m=−52;
(2)由(1)可得a+b=5,因为a,b为正实数,所以a2b+b≥2a,b2a+a≥2b,
所以a2b+b2a≥a+b=5.
X
0
1
2
P
1978
2039
1978
<23.4
≥23.4
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
陕西省西安市周至县2023届高三三模文科数学试题: 这是一份陕西省西安市周至县2023届高三三模文科数学试题,共4页。
陕西省西安市周至县2023届高三三模文科数学试题(含解析): 这是一份陕西省西安市周至县2023届高三三模文科数学试题(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
陕西省西安市周至县2023届高三三模文科数学试题(含答案): 这是一份陕西省西安市周至县2023届高三三模文科数学试题(含答案),共6页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。