2022-2023学年河北省石家庄二十七中高一(下)开学数学试卷(含解析)
展开1.−660°=( )
A. −133πradB. −256πradC. −113πradD. −236πrad
2.命题“∃x∈(0,+∞),x+1x≥3”的否定是( )
A. ∃x∈(0,+∞),x+1x≤3B. ∃x∈(0,+∞),x+1x<3
C. ∀x∈(0,+∞),x+1x<3D. ∀x∈(0,+∞),x+1x≤3
3.若用二分法逐次计算函数f(x)=ln x+x在区间[0.5,1]内的一个零点附近的函数值,所得数据如下:
则方程ln x+x=0的一个近似根(精度为0.1)为
( )
A. 0.56B. 0.57C. 0.65D. 0.8
4.指数函数f(x)=(a−1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−2,−1)∪(1,2)
C. (1,2)D. (2,+∞)
5.函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知a>0,b>0,且满足2a+b=ab,则a+b的最小值为( )
A. 2B. 3C. 3+2 2D. 32+ 2
7.某工厂设计了一款纯净水提炼装置,该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水,假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质,要使水中的杂质不超过原来的4%,则至少需要提炼的次数为(参考数据:取lg2=0.3)( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)=a−xx+1,若f(−1)=12,则f(x−1)<1的解集为( )
A. (12,32)B. (−∞,12)
C. (32,+∞)D. (−∞,12)∪(32,+∞)
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知a>b>1a>0,则( )
A. b>1B. a>1C. a>1bD. a+b>2a
10.已知θ为锐角,角α的终边上有一点M(−sinθ,csθ),x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N,则( )
A. 若α∈(0,2π),则α=π2+θ
B. 劣弧MN的长度为π2+θ
C. 劣弧MN所对的扇形OMN的面积为是α2
D. sinα+sinθ>1
11.已知点P(m,−2m)(m≠0)是角α终边上一点,则( )
A. tanα=−2B. csα= 55C. sinαcsα<0D. sinαcsα>0
12.若f(x)=x+1x,g(x)=lgx+2,则( )
A. 函数f(x)为奇函数
B. 当x1,x2∈(0,+∞)时,f(x1)+f(x2)2≤f(x1+x22)
C. 当x1,x2∈(0,+∞)时,g(x1)+g(x2)2≤g(x1+x22)
D. 函数h(x)=f(x)−g(x)有两个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.令a=60.7,b=0.76,c=lg0.76,则三个数a,b,c的大小顺序是______.(用“>”连接)
14.已知sin(50°−α)=13,且−270°<α<−90°,则sin(40°+α)= .
15.已知函数f(x)=x2−x+3,x≤0lg2x,x>0,则f(f(12))= .
16.设函数f(x)=1ex+aex(e为自然对数的底数,a为常数),若f(x)为偶函数,则实数a= ;若对∀x∈R,f(x)≥−1恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值:
(1)lg14−lg25;
(2)2 3×331.5×612.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−1x.
(1)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)判断f(x)的奇偶性,并求f(x)在区间[−2,−1]上的值域.
19.(本小题12分)
已知sinα+csα=m,
(1)若m= 2,求tanα的值;
(2)若tan2α+1tan2α=103,且α∈(0,π4),求实数m的值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−2ax−3.
(1)若a=1,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)在[3,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)求f(x)在[−1,2]上的最小值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π3)+m,x∈R,且f(x)在[−π4,π6]上的最小值为0.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a⋅3x+13x−1.
(1)当a=1时,解方程lgf(2x)−lgf(x)=1−lg16;
(2)当x∈(0,1]时,|f(2x)−f(x)|≥1恒成立,求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了角度制和弧度制的转化,是基础题.
根据角度制和弧度制的转化公式计算即可.
【解答】
解:−660×π180=−11π3rad,
故选:C.
2.【答案】C
【解析】解:命题“∃x∈(0,+∞),x+1x≥3”的否定是:否定限定量词和结论,
故为:∀x∈(0,+∞),x+1x<3,
故选:C.
命题的否定是:否定限定量词和结论
考查命题的否定,基础题.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的零点存在定理的运用,考查分析判断能力,属于基础题.
运用零点存在定理,结合图表,以及精确度为0.1,可得所求结论.
【解答】
解:由于f(0.625)>0,f(0.5625)<0,
且0.625−0.5625<0.1,
则方程lnx+x=0的一个近似根为0.57.
故选:B.
4.【答案】C
【解析】解:由于指数函数f(x)=(a−1)x是R上的减函数,
故有0则实数a的取值范围为(1,2),
故选:C.
由题意利用指数函数的定义和性质,求得实数a的取值范围.
本题主要考查指数函数的定义和性质,属于基础题.
5.【答案】C
【解析】解:函数y=4xx2+1,定义域为R,
又∵f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1,∴f(−x)=f(x),
∴函数y=4xx2+1为奇函数,排除AB,
又∵当x<0时,y=4xx2+1<0,排除D,
故选:C.
易证函数为奇函数,可排除AB,且当x<0时,y<0,可排除D.
本题主要考查了函数图象的变换,考查了函数的奇偶性的判断,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础题.
由题意,得2b+1a=1,a>0,b>0,然后根据a+b=(a+b)(2b+1a),利用基本不等式求出a+b的最小值.
【解答】
解:由题意,得2b+1a=1,a>0,b>0,
所以a+b=(a+b)(2b+1a)=3+ba+2ab≥3+2 2,
当且仅当ba=2ab且2b+1a=1,即a=1+ 2,b=2+ 2时取等号,
所以a+b的最小值为3+2 2.
故选:C.
7.【答案】A
【解析】【分析】
根据已知条件,结合对数函数的公式,即可求解.
本题主要考查函数的实际应用,掌握对数函数的公式是解本题的关键,属于基础题.
【解答】
解:经过n次提炼后,水中的杂质不超过原来的4%,
由题意可得,(1−50%)n<4%,即n>lg12125=2lg25=2lg5lg2=2(1−lg2)lg2≈4.7,
故至少需要5次提炼.
故选:A.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解,利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键,是中档题.
根据条件求出a的值,利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可.
【解答】
解:函数f(x)是偶函数,∵f(−1)=12,
∴f(1)=12,即f(1)=a−11+1=a−12=12,得a−1=1,
即a=2,
则当x∈[0,+∞)时,f(x)=a−xx+1=2−xx+1=3−(x+1)x+1=3x+1−1,
则当x≥0时,f(x)为减函数,
由2−xx+1=1,得x=12,
则f(x−1)<1等价为f(|x−1|)
得x>32或x<12.
即不等式的解集为(−∞,12)∪(32,+∞),
故选:D.
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质,以及特殊值法,属于基础题.
根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.
【解答】
解:对于A,令a=2,b=0.6,满足a>b>1a>0,故A错误,
对于B,∵a−1a=a2−1a=a−1a+1a>0,
又∵a>0,a+1>0,
∴a−1>0,即a>1,故B正确,
对于C,∵b>1a>0,
∴ab>1,
∴a>1b,故C正确,
对于D,∵a>1a,b>1a,
∴a+b>1a+1a=2a,故D正确.
故选:BCD.
10.【答案】ABDC
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式,弧长公式,扇形面积公式,同角三角函数的关系的应用,属于基础题.
根据题意,结合诱导公式化简整理,可判断A的正误;根据弧长公式,可判断B的正误;根据扇形面积公式,可判断C的正误;根据同角三角函数的关系,可判断D的正误,即可得答案.
【解答】
解:A:(−sinθ,csθ)=(−cs(π2−θ),sin(π2−θ))=(cs[π−(π2−θ)],sin[π−(π2−θ)])=(cs(π2+θ),sin(π2+θ)),故α=π2+θ,故A正确;
B:劣弧MN的长度为(π2+θ)×1=π2+θ,故B正确;
C:α=π2+θ,而θ为锐角,故π2<α<π,扇形OMN的面积为S=12×12×α=α2,故C正确;
D:sinα+sinθ=sin(π2+θ)+sinθ=sinθ+csθ,
因为θ为锐角,故(sinθ+csθ)2=sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ>1,可得sinθ+csθ>1.故D正确.
故选:ABCD.
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数基本关系式的应用,属于基础题.
由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα,再利用任意角的三角函数的定义,同角三角函数基本关系式即可求解.
【解答】
解:根据P(m,−2m)(m≠0)是角α终边上的一点,
可得:tanα=−2mm=−2,故A正确,
当m<0时,csα=m m2+4m2<0,故B错误,
又tanα=sinαcsα<0,可得sinαcsα<0,可得C正确,D错误.
故选:AC.
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、零点及数形结合思想、转化思想,属于中档题.
对于A,根据f(x)与f(−x)的关系判断函数的奇偶性,即可判断,
对于BC,利用作差法即可判断;
对于D,根据零点的存在性定理,结合两函数的图象即可判断.
【解答】
解:对于A选项,函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0},由f(−x)=−x−1x=−f(x),
所以函数f(x)=x+1x为奇函数,可知A选项正确;
对于B选项,由f(x1)+f(x2)2−f(x1+x22)=(x1+1x1)+(x2+1x2)2−(x1+x22+2x1+x2)=12(1x1+1x2)−2x1+x2=x1+x22x1x2−2x1+x2=(x1+x2)2−4x1x22x1x2(x1+x2)=(x1−x2)22x1x2(x1+x2)≥0,
有f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22),可知B选项错误;
对于C选项,由g(x1+x22)−g(x1)+g(x2)2=lgx1+x22+2−(lgx1+2)+(lgx2+2)2=lgx1+x22−12lg(x1x2)=lgx1+x22 x1x2≥lg2 x1x22 x1x2=lg1=0,
有g(x1)+g(x2)2≤g(x1+x22),可知C选项正确;
对于D选项,令h(x)=x+1x−lgx−2,
由h(1)=0,h(2)=2+12−lg2−2=12−lg2=lg 10−lg2>lg2−lg2=0,
h(32)=32+23−2−lg32=16−lg32=16[1−lg(32)6]=16(1−lg72964)<16(1−lg64064)=0,
由上可知函数h(x)至少有两个零点,
由双钩函数的性质可得函数f(x)=x+1x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
且f(1)=2,
作出函数f(x)和g(x)的图象,
根据函数f(x)和g(x)的图象可知,函数h(x)有且仅有两个零点,
故D正确.
故选:ACD.
13.【答案】a>b>c
【解析】解:∵60.7>60=1=0.70>0.70.6>0=lg0.71>lg0.76,
∴a>b>c.
故答案为:a>b>c.
根据指数函数和对数函数单调性,结合临界值0,1即可确定大小关系.
本题主要考查了三个数比较大小,考查了指数函数和对数函数的单调性,属于基础题.
14.【答案】−2 23
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
先求出50°−α的范围,再利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式,计算求得结果.
【解答】
解:∵−270°<α<−90°,∴50°−α∈(140°,320°),
∵sin(50°−α)=13>0,∴50°−α∈(140°,180°),
则sin(40°+α)=cs(50°−α)=− 1−sin2(50°−α)=−2 23,
故答案为:−2 23.
15.【答案】5
【解析】【分析】
根据题意,由函数的解析式计算可得答案.
本题考查函数值的计算,涉及分段函数的解析式,属于基础题.
【解答】
解:根据题意,函数f(x)=x2−x+3,x≤0lg2x,x>0,则f(12)=lg212=−1,
则f(f(12))=f(−1)=1+1+3=5;
故答案为:5.
16.【答案】1
[0,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数恒成立问题,考查函数奇偶性的判断,考查分离参数法在恒成立问题中的应用,属中档题.
由f(−x)=f(x),即可求得a;对∀x∈R,f(x)≥−1恒成立,分离参数a可得:a≥−e−2x−e−x恒成立,从而可得实数a的取值范围.
【解答】
解:∵函数f(x)=1ex+aex为偶函数,
∴f(−x)=ex+aex=1ex+aex=f(x),
解得:a=1.
对∀x∈R,f(x)≥−1恒成立,即1ex+aex≥−1恒成立,
分离参数a得:a≥−e−2x−e−x恒成立,
令m=−e−2x−e−x,t=e−x,
则m=−t2−t,t>0,
因为m(t)在(0,+∞)单调递减,
所以mt
故答案为:1;[0,+∞).
17.【答案】解:(1)原式=lg(14÷25)=lg1100=lg10−2=−2.
(2)原式=2×312×3×(32)13×(22×3)16
=2×2−13×22×16×312×3×313×316
=21−13+13×312+1+13+16
=2×9=18.
【解析】本题考查了指数与对数运算性质,考查了计算能力,属于基础题.
(1)利用对数运算性质即可得出.
(2)利用指数运算性质即可得出.
18.【答案】解:(1)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,证明如下:
∀x1,x2∈(0,+∞),且x1
因为x1,x2∈(0,+∞),且x1
于是x1−x2x1x2(x1x2+1)<0,即f(x1)
(2)f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞).
因为f(−x)=−x+1x=−f(x),
所以f(x)为奇函数.
由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
结合奇偶性可得f(x)在区间(−∞,0)上单调递增.
又因为f(−2)=−32,f(−1)=0,
所以f(x)在区间[−2,−1]上的值域为[−32,0].
【解析】本题主要考查了单调性定义在单调性判断中的应用,还考查了利用单调性求解函数的值域,属于中档题.
(1)设0
19.【答案】解:(1)sinα+csα= 2⇒(sinα+csα)2=2=2(sin2α+cs2α),
∴(sinα−csα)2=0,
∴sinα=csα,即tanα=1.
(2)tan2α+1tan2α=103⇒tan4α−103tan2α+1=0⇒tan2α=3或13,
而α∈(0,π4),tan2α=13⇒α=π6,
∴m=sinπ6+csπ6=1+ 32.
【解析】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系,属于基础题.
(1)利用同角三角函数间的基本关系求解.
(2)由已知等式可求得tan2α的值,结合α的范围可得α=π6,从而求出结果.
20.【答案】解:(1)当a=1时,函数f(x)=x2−2x−3,
不等式f(x)≥0,即x2−2x−3=(x+1)(x−3)≥0,
解得x≤−1或x≥3,即不等式f(x)≥0的解集为(−∞,−1]∪[3,+∞);
(2)由函数f(x)=x2−2ax−3,可得f(x)的图象开口向上,
且对称轴为x=a,要使得f(x)在[3,+∞)上单调递增,
则满足a≤3,所以a的取值范围为(−∞,3];
(3)由函数f(x)=x2−2ax−3,可得f(x)的图象开口向上,
且对称轴为x=a,当a≤−1时,函数f(x)在[−1,2]上单调递增,
所以f(x)最小值为f(−1)=2a−2;
当−1当a≥2时,函数f(x)在[−1,2]上单调递减,所以f(x)最小值为f(2)=1−4a,
综上可得,f(x)在[−1,2]上的最小值为f(x)min=2a−2,a≤−1−a2−3,−1【解析】本题考查二次函数的性质,考查不等式的解法,属于基础题.
(1)把a=1代入函数解析式,利用因式分解可得二次不等式的解集;
(2)求出二次函数的对称轴方程,结合函数的单调性可得关于a的不等式,求解得答案;
(3)利用二次函数性质求最值.
21.【答案】解:(1)f(x)的最小正周期为π.
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z);
(2)当x∈[−π4,π6]时,2x+π3∈[−π6,2π3].f(x)min=2×(−12)+m=0,
解得m=1.
所以f(x)=2sin(2x+π3)+1.
当2x+π3=π2+2kπ,k∈Z,即x=π12+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,
且最大值为3.
故f(x)的最大值为3,取得最大值时x的取值集合为{x|x=π12+kπ,k∈Z}.
【解析】本题考查三角函数图像性质,考查数学运算能力及抽象能力,所以中档题.
(1)根据周期公式可求得f(x)的最小正周期,由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z可求得单调递增区间;
(2)根据正弦函数图像性质可求得求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合.
22.【答案】(1)解:当a=1时,f(x)=a⋅3x+13x−1=3x+13x−1,f(2x)=32x+132x−1=(3x)2+1(3x)2−1.
原方程等价于lgf(2x)f(x)=lg1016且f(2x)>0,f(x)>0,
即f(2x)f(x)=58,(3x)2+1(3x)2−1>0,3x+13x−1>0,所以(3x)2+1(3x)2−13x+13x−1=58,且3x>1.
令3x=t,则原方程化为t2+1(t+1)2=58,
整理得3t2−10t+3=0,
解得t=3或t=13,即3x=3或3x=13(舍去),
所以x=1.
故原方程的解为x=1.
(2)解:因为|f(2x)−f(x)|≥1,所以|a⋅(3x)2+1(3x)2−1−a⋅3x+13x−1|≥1,即|−a⋅3x−3x(3x)2−1|≥1.
令3x=t,因为x∈(0,1],所以t∈(1,3],t2−1>0.
则|(a+1)⋅tt2−1|≥1恒成立,即|a+1|≥|t2−1t|在(1,3]上恒成立,
令函数g(t)=t−1t,因为函数y=t与y=−1t在(1,3]上单调递增,
所以g(t)在(1,3]上单调递增.
因为g(3)=83,g(1)=0,
所以g(t)∈(0,83],则t2−1t≤83,所以|a+1|≥83,
解得a≤−113或a≥53.
故a的取值范围是(−∞,−113]∪[53,+∞).
【解析】本题考查对数方程,不等式恒成立问题,考查学生的综合能力,属于较难题.
(1)当a=1时,f(x)=3x+13x−1,求出f(2x),把原方程转化为指数方程,再利用换元法求解,即可求出结果;
(2|f(2x)−f(x)|≥1⇔|−a⋅3x−3x(3x)2−1|≥1⇔|a+1|≥2x−12x,令3x=t,t∈(1,3],则|a+1|≥|t2−1t|对任意t∈(1,3]恒成立,利用函数的单调性求出g(t)=t−1t的最大值,再求解绝对值不等式可得实数a的取值范围.x
0.5
1
0.75
0.625
0.5625
f(x)
−0.193
1
0.462
0.155
−0.013
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