2022-2023学年河北省石家庄十八中高二（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年河北省石家庄十八中高二（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.双曲线x23−y2=1的焦点坐标是( )
A. (− 2,0)，( 2,0)B. (−2,0)，(2,0)
C. (0,− 2)，(0, 2)D. (0,−2)，(0,2)
2.如果方程x24−m+y2m−3=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A. 372C. 33.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=6，S4+a2=S3+3，则等比数列的公比为( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
4.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=54x0，则x0=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S13<0，S14>0，则当Sn取得最小值时，n的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=2，AA1=3，M为AB的中点.则A1到平面CB1M的距离为( )
A. 3 134
B. 3 105
C. 3 1111
D. 6 2211
7.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是
( )
A. e> 2-1B. 0C. 2-18.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM⋅PN的取值范围为( )
A. [0,4]B. [0,2]C. [1,4]D. [1,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,−2,−1)，b=(−2,2,1)，则l1//l2
B. 直线l的方向向量a=(1,1,2)，平面α的法向量是n=(5,−1,−2)，则l⊥α
C. 直线l的方向向量a=(0,2,0)，平面α的法向量是n=(0,−3,0)，则l//α
D. 两个不同的平面α，β的法向量分别是m=(3,−4,2)，n=(2,2,1)，则α⊥β
10.(多选题)F 1，F 2分别是双曲线C：x 2−y2b=1的左、右焦点，过F 2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF 1为正三角形，则( )
A. b=2B. C的焦距为2 5
C. C的离心率为 3D. △ABF 1的面积为4 3
11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，⋯以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则( )
A. a4=9
B. an+1−an=n+1
C. a20=210
D. an+12=anan+2
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1+an=2n则( )
A. S6=18B. an=n,n为奇数n−1,n为偶数
C. 数列{an}为等差数列D. n为奇数时，Sn=n+(n−1)22
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：2x+ay+2=0与直线l2：(a−1)x+3y+2=0平行，则a=______．
14.在数列{an}中，若 an+1= an+ 2，a1=8，则数列{an}的通项公式为______．
15.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=2,an+2+(−1)n−1an=2，则S60=______．
16.已知F1、F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1作y=−bax的垂线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点(如图).若∠CBF2=∠CF2B，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆C的圆心坐标为(2,1)，且点P(−1,−3)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线y=kx+m−2k与圆相交于A、B两点，当k变化时，线段AB的最小值为6，求m的值．
18.(本小题12分)
已知公差不为0的等差数列{an}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=2−an+1anan+1，Tn为{bn}的前n项和，求证：Tn<76．
19.(本小题12分)
如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC=8，PA=PC=5．
(Ⅰ)设平面PBC∩平面BOD=l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
(Ⅱ)求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在①bn=an⋅3n；②bn=2an+1an2an+12，n∈N*，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an2+an=2Sn+2，数列{bn}满足．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，BM=λBC，且二面角M−PA−C为30°，求λ的值．
22.(本小题12分)
椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点到直线x−3y=0的距离为 105，离心率为2 55.抛物线G：y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
(1)求椭圆E及抛物线G的方程；
(2)是否存在常数λ，使得1|AB|+ 5λ|CD|为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．
根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c= a2+b2=2，即可得到双曲线的焦点坐标．
【解答】
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，
由此可得c= a2+b2=2，
∴该双曲线的焦点坐标为(2,0)，(−2,0)．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴，属于基础题．
根据焦点在y轴推断出4−m>0，m−3>0并且m−3>4−m，求得m的范围即可．
【解答】
解：由题意可得：方程x24−m+y2m−3=1表示焦点在y轴上的椭圆，
所以4−m>0，m−3>0并且m−3>4−m，
解得：72故选D．
3.【答案】B
【解析】解：设公比为q，
因为a1+a3=6，S4+a2=S3+3，
则S4−S3+a2=3，a4+a2=3，
又(a1+a3)q=a2+a4，
所以q=12，
故选：B．
直接利用等比数列的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：抛物线方程为y2=2x，
准线方程为x=−12，
由抛物线的定义，可得|AF|=x0+12=54x0
解得，x0=2．
故选：B．
求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，解方程，即可得到所求值．
本题考查抛物线的方程和性质，考查抛物线的定义及运用，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S13<0，S14>0，
∴a8+a7>0，a7<0.即a8>0，a7<0，
那么：前S7<0，
当Sn取得最小值时，n的值为：7
故选：C．
根据等差数列的性质，S13<0，S14>0，可得：a8+a7>0，a7<0.即a8>0，a7<0，即可求解．
考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=2，AA1=3，M为AB的中点．
如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0)．
则有CB1=(0,2,3)，CM=(1,1,0)，A1B1=(−2,2,0)，
设平面CB1M的法向量为n=(x,y,z)，
则CB1⋅n=0,CM⋅n=0,
即2y+3z=0,x+y=0.
令z=2，得平面CB1M的一个法向量为n=(3,−3,2)．
所以，A1到平面CB1M的距离d=|A1B1⋅n||n|=12 22=6 2211．
故选：D．
通过建系，求出平面的法向量，利用空间点、线、面距离计算公式求解即可．
本题考查空间点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的方程的应用以及几何性质，属于中档题．
由题意解出点A，B的坐标，从而求出b2a<2c，从而求出该椭圆离心率．
【解答】
解：由题意，x2a2+y2b2=1，
把x=c代入椭圆方程可得y=±b2a，
故A(c,b2a)，B(c,−b2a)，
故由△ABF1是锐角三角形，根据对称性可知∠AF1B是锐角，
则在Rt△AF1F2中，∠AF1F2<45 ∘，所以AF2即得：b2a<2c，
故a2−c22ac<1，
即e2+2e−1>0，
又0故 2−1故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，考查空间想象能力，是中档题．
【解答】
解：设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为1，
所以PM⋅PN=(PS+SM)⋅(PS+SN)=(PS+SM)⋅(PS−SM)=PS2−1∈[0,2]．
所以PM⋅PN的取值范围是[0,2]．
故选：B．
9.【答案】AD
【解析】解：选项A，因为a=(2,−2,−1)，b=(−2,2,1)，
所以a=−b，即a//b，
又直线l1，l2不重合，所以l1//l2，即A正确；
选项B，因为a=(1,1,2)，n=(5,−1,−2)，
所以a⋅n=5−1−4=0，即a⊥n，
所以l⊂α或l//α，即B错误；
选项C，因为a=(0,2,0)，n=(0,−3,0)，
所以a//n，
所以l⊥α，即C错误；
选项D，因为m=(3,−4,2)，n=(2,2,1)，
所以m⋅n=6−8+2=0，即m⊥n，
所以α⊥β，即D正确．
故选：AD．
选项A，由a//b，且l1，l2不重合，知l1//l2；选项B，由a⊥n，知l⊂α或l//α；选项C，由a//n，知l⊥α；选项D，由m⊥n，知α⊥β．
本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握向量法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．
由题意及△ABF1为正三角形可得a，c的关系，进而求出离心率的值，再由双曲线的方程可得b的值，及三角形ABF1的面积，判断出所给命题的真假．
【解答】
解：设|AF2|=t，因为△ABF1为正三角形，所以|AF1|=2t，2c=|F1F2|= 3t，由双曲线定义可得：2a=|AF1|−|AF2|=2t−t=t=2，所以双曲线的离心率e=2c2a= 3tt= 3，所以C正确；
由双曲线的方程可得a=1，c2=1+b，由离心率e= 3，可得： 1+b1= 3，则b=2，所以A正确；
c= 1+b= 3，所以焦距2c=2 3，所以B不正确；
S△ABF1=12⋅|F1F2|⋅|AB|=12⋅2c⋅2t，所以S△ABF1=12⋅2 3⋅4=4 3，所以D正确；
故选：ACD．
11.【答案】BC
【解析】解：根据题意，可知a4=10，且an+1−an=n+1，故A错误，B正确，
因为an+1−an=n+1，
所以an=an−1+n=an−2+(n−1)+n=…=a1+2+…+(n−1)+n=1+2+…+n=n(n+1)2(n≥2)，
所以a20=20×212=210，故C正确；
因为a22≠a1a3，故D错误．
故选：BC．
首项根据数列特征得到a4=10，an+1−an=n+1，判断出AB选项，再根据数列的递推公式利用累加法求出an=n(n+1)2，从而求出a20=210，即可判断C选项；举反例即可判断D选项．
本题考查累加法求数列通项，求等差数列前n项和，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A：∵an+1+an=2n，
∴a2+a1=2，a4+a3=6，a6+a5=10，
∴S6=a2+a1+(a4+a3)+(a6+a5)=2+6+10=18，故A正确；
对于C：∵a2+a1=2，a1=1，∴a2=1，
an+1+an=2n①，则an+2+an+1=2(n+1)②，
由②−①得an+2−an=2，
∴数列{an}中的奇数项构成以首项为1，公差为2的等差数列；数列{an}中的偶数项构成以首项为1，公差为2的等差数列，故C错误；
对于B：∵数列{an}中的奇数项构成以首项为1，公差为2的等差数列；数列{an}中的偶数项构成以首项为1，公差为2的等差数列，
∴当n为奇数，即n=2k−1时，an=a2k−1=a1+2(k−1)=2k−1=n，
当n为偶数，即n=2k时，an=a2k=a2+2(k−1)=2k−1=n−1，
∴an=n−1,n为偶数n,n为奇数，故B正确；
对于D：∵an=n−1,n为偶数n,n为奇数，
∴当n为奇数，即n=2k−1时，则k=n+12时，Sn=S2k−a2k=(a2+a1)+(a4+a3)+...+(a2k−1+a2k)−a2k=2[1+3+...+(2k−1)]−(2k−1)=2k2−2k+1=2×(n+12)2−2×n+12+1=(n+1)22−n=n+(n−1)22，故D正确，
故选：ABD．
根据数列的递推式和等差数列的通项公式，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：直线l1：2x+ay+2=0与直线l2：(a−1)x+3y+2=0平行，
则2×3=a(a−1)，解得a=−2或3，
当a=−2时，直线l1与l2不重合，符合题意，
当a=3时，直线l1与l2重合，不符合题意，舍去，
故a=−2．
故答案为：−2．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
14.【答案】an=2(n+1)2
【解析】解：∵在数列{an}中， an+1= an+ 2，a1=8，
∴ an+1− an= 2，且 a1=2 2，
∴{ an}是以2 2为首项， 2为公差的等差数列，
∴ an=2 2+(n−1)× 2=(n+1) 2，(n=1也成立)，
∴an=2(n+1)2，
故答案为：an=2(n+1)2．
根据递推关系式得到{ an}是以2 2为首项， 2为公差的等差数列，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】960
【解析】解：数列{an}满足an+2+(−1)n−1an=2，
当n为奇数时，an+2+an=2，连续两个奇数项的和为2，
当n为偶数时，an+2−an=2，构成以a2=2为首项，2为公差的等差数列，
∴S60=(a1+a3+a5+a7+⋯+a57+a59)+(a2+a4+a6+a8+⋯+a58+a60)=15×2+30×2+30×(30−1)2=960．
故答案为：960．
由已知可得当n为奇数时，an+2+an=2，当n为偶数时，an+2−an=2，可求S60．
本题考查由递推关系求数列的前n项和，属中档题．
16.【答案】y=±( 3+1)x
【解析】解：∠CBF2=∠CF2B，则|CB|=|CF2|，由双曲线的定义及C在右支上，
|CF1|−|CF2|=|CB|+|BF1|−|CF2|=|BF1|=2a，
又B在左支上，则|BF2|−|BF1|=2a，则|BF2|=4a，
在△BF1F2中，由余弦定理，cs∠BF1F2=(2a)2+(2c)2−(4a)28ac，
而F1C⊥渐近线，于是kF1C=ab，得cs∠BF1F2=bc，
于是bc=(2a)2+(2c)2−(4a)28ac，
不妨令a=1，化简得b2−2b−2=0，解得b=1+ 3，
渐近线为：y=±( 3+1)x．
故答案为：y=±( 3+1)x．
根据双曲线的定义先计算出|BF2|=4a，|BF1|=2a，注意到F1C⊥图中渐近线，于是利用cs∠BF1F2两种不同的表示法列方程求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于中等题．
17.【答案】解：(1)由题意得r=|CP|= (2+1)2+(1+3)2=5，
故圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=25．
(2)若AB≥6，可知圆心到直线的距离为4，
而圆心到直线的距离d=|m−1| 1+k2，
当k=0时，线段AB的最小值为6，此时d=|m−1|=4，
∴m=5或m=−3．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
(1)由两点间的距离公式求出圆的半径即可；
(2)根据线段AB的最小值为6，可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式求解即可．
18.【答案】解：(I)设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a5成等比数列，
所以a22=a1a5，则(a1+d)2=a1(a1+4d)，即a12+2a1d+d2=a12+4a1d，
所以2a1d=d2，又d≠0，所以d=2a1=2，所以an=a1+(n−1)d=2n−1，
即an=2n−1，
证明：(II)由(I)可得an=2n−1，所以bn=2−an+1anan+1=21−2n+1(2n−1)(2n+1)=122n−1+12(12n−1−12n+1)，
所以数列{bn}的前n项和为Tn=12(1−14n)1−14+12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=23(1−14n)+12(1−12n+1)=76−23×14n−12(2n+1)<76，即得证．
【解析】(I)设等差数列{an}的公差为d，根据等比中项的性质结合等差数列通项公式，可得d=2a1，根据a1=1，即可求得d的值，代入公式，即可得答案．
(II)由(I)可得an=2n−1，代入可得bn=122n−1+12(12n−1−12n+1)，利用分组和裂项相消求和法，即可得Tn的表达式，即可得证．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)PC//l.证明如下：
∵D，O分别为PA，AC的中点，∴在△APC中，DO//PC，
∵DO⊂平面BOD，PC⊄平面BOD，∴PC//平面BOD，
∵PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面BOD=l，
∴由线面平行的性质定理得PC//l．
(Ⅱ)∵AB=BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面APC，
同理，∵AP=PC，∴PO⊥AC，PO⊥平面ABC，
∴OB，OC，OP三线两两垂直，
∴以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

由题可知AC=8，AB=BC=4 2，OA=OC=OB=4，OP=3，
则A(0,−4,0)，B(4,0,0)，P(0,0,3)，D(0,−2,32)，
则BP=(−4,0,3)，OB=(4,0,0)，OD=(0,−2,32)，
设平面BOD的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅OB=4x=0m⋅OD=−2y+32z=0，取z=4，则m=(0,3,4)，
cs=m⋅BP|m||BP|=125×5=1225，
∴直线PB与平面BOD所成角的正弦值为1225．
【解析】(Ⅰ)根据线面平行的判断定理和性质定理能判断直线l与PC的位置关系，并证明；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
本题考查两直线的位置关系的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an2+an=2Sn+2，①
可得a22+a2=2(2+a2)+2，解得a2=3，
将①中的n换为n−1，可得an−12+an−1=2Sn−1+2，②
①−②可得an2−an−12=an+an−1，即(an+an−1)(an−an−1)=an+an−1，
由于an>0，所以an−an−1=1，
则an=2+n−1=n+1；
(2)选①，bn=an⋅3n=(n+1)⋅3n，
则Tn=2⋅3+3⋅32+4⋅33+...+n⋅3n−1+(n+1)⋅3n，
3Tn=2⋅32+3⋅33+4⋅34+...+n⋅3n+(n+1)⋅3n+1，
上面两式相减可得−2Tn=3+3+32+33+...+3n−1+3n−(n+1)⋅3n+1
=3+3(1−3n)1−3−(n+1)⋅3n+1，
化简可得Tn=2n+14⋅3n+1−34；
选②，bn=2an+1an2an+12=2n+3(n+1)2⋅(n+2)2=1(n+1)2−1(n+2)2，
则Tn=14−19+19−116+...+1(n+1)2−1(n+2)2
=14−1(n+2)2．
【解析】(1)由数列的递推式，可将an2+an=2Sn+2中的n换为n−1，两式相减，结合等差数列的通项公式可得所求；
(2)选①，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；选②，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和．
本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的通项公式和等比数列的求和公式、数列的错位相减法求和与裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：连接OB，
因为PA=PC，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP= AP2−OA2= 16−4=2 3，
又AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，
所以OB=12AC=2,PB=4，
则OB2+OP2=PB2，
所以OB⊥OP，
又OB∩AC=O，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以OP⊥平面ABC；
(2)易知OB，OC，OP两两互相垂直，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,−2,0),P(0,0,2 3),M(x,y,z)，
所以BM=(x−2,y,z),BC=(−2,2,0)，则x−2=−2λy=2λz=0，
所以M(2−2λ,2λ,0)，
则AM=(2−2λ,2λ+2,0),PA=(0,−2,−2 3)，
设平面PAM的一个法向量为m=(a,b,c)，则m⋅AM=(2−2λ)a+(2+2λ)b=0m⋅PA=−2b−2 3c=0，则可取m=( 3(2+2λ)2−2λ,− 3,1)，
又平面PAC的一个法向量为n=(1,0,0)，
所以cs= 3(2+2λ)2−2λ ( 3(2+2λ)2−2λ)2+3+1= 32，
解得λ=13．
【解析】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
(1)利用勾股定理可得OB⊥OP，再结合OP⊥AC即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，求得平面MPA和平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式建立关于λ的方程，解出即可．
22.【答案】解：(1)设椭圆的右焦点F(c,0)，由题意可得c 10= 105，可得c=2，
再由e=ca=2 55，所以可得a= 5，
所以b2=a2−c2=5−4=1，
所以椭圆的方程为：x25+y2=1；
因为抛物线的焦点p2=2，所以p=4，
所以抛物线的方程：y2=8x，
所以椭圆的方程为：x25+y2=1，
抛物线的方程：y2=8x；
(2)设直线l的方程为：x=my+2，并设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
联立x=my+2x25+y2=1整理可得：(5+m2)y2+4my−1=0，
y1+y2=−4m5+m2，y1y2=−15+m2，
所以|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2=2 5⋅ 1+m25+m2，
|AB|= 1+m2|y1−y2|=2 5(1+m2)5+m2，
联立x=my+2y2=8x整理可得：y2−8my−16=0，
y3+y4=8m，所以|CD|=x3+x4+4=m(y3+y4)+8=8(1+m2)，
得1|AB|+ 5λ|CD|= 5(5+m2)10(1+m2)+ 5λ8(1+m2)= 5(4m2+20+5λ)40(1+m2)，要使其为定值，则对应比成比例，
所以可得20+5λ=4，
即λ=−165时，1|AB|+ 5λ|CD|为定值 510．
【解析】本题考查求椭圆及抛物线的方程，直线与圆锥曲线的综合，属于中档题．
(1)由点到直线的距离求出c的值，再由离心率可得c值，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程，由题意求出抛物线的焦点坐标求出p的值，求出抛物线的方程；
(2)设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出|AB|的值，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出|CD|的值，进而求出1|AB|+ 5λ|CD|的表达式，可得为定值．

2022-2023学年河北省石家庄十八中高二（下）开学数学试卷（含解析）

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