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苏科版八年级下册9.3 平行四边形复习练习题
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这是一份苏科版八年级下册9.3 平行四边形复习练习题，共25页。试卷主要包含了4平行四边形的判定专项提升训练，平行四边形的性质；2等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等
2．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（ ）
A．AB＝CDB．BC＝ADC．∠A＝∠CD．
4．（2022·江苏·八年级假期作业）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中不能有两个角为锐角B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角D．一个三角形中能有两个角为锐角
5．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学阶段练习）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑩个图形中平行四边形的个数为( )
……
图① 图② 图③ 图④
A．108B．109C．110D．111
8．(2023秋·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考期中）如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12B．16C．24D．25
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
10．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
11．(2023秋·江苏泰州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果OA=OC，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是_________．（写出一种情况即可）
12．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）已知四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件：①AD=BC，②AB=DC，③∠A=∠C，④∠A+∠D=180°其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有______ (填写序号)
13．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____．
14．（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）、（0，2）（2，0），则第四个顶点的坐标为____________________________.
15．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023秋·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）有下列命题：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，
（1）上述五个命题中，是真命题的是 （填写序号）
（2）请选择一个假命题，并举反例说明．
18．(2023秋·江苏淮安·八年级阶段练习）证明：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
19．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，AD中点，求证：四边形AECF是平行四边形．
20．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
21．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
22．（2022秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长
23．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，点A、B、P、Q均为格点．（请按要求用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．）
（1）在图1中，将线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'. 请在图中画出线段A'B'；
（2）在图2中，请画出能满足以下条件的一个平行四边形ABCD，条件：点C、点D均为格点，且点P，Q都在平行四边形ABCD的对角线上．
24．(2023秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为；
（1）连接，当经过边的中点时，求证：；
（2）求当为何值，四边形是平行四边形．
专题9.4平行四边形的判定专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角相等，可推出另外一组对边平行，进而可得是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
2．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
D．由，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．
3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（ ）
A．AB＝CDB．BC＝ADC．∠A＝∠CD．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】A.AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
B.AB∥CD，BC＝AD时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意；
C.∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意；
D.，，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．（2022·江苏·八年级假期作业）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中不能有两个角为锐角B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角D．一个三角形中能有两个角为锐角
【答案】C
【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中能有两个角为直角．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
5．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中，，
∴或，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；
C.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．
D.当时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
6．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据题意，判断AB∥CD，只需AB=CD就可以判断四边形ABCD是平行四边形．
【详解】如图，根据题意，判断AB∥CD，只需AB=CD就可以判断四边形ABCD是平行四边形，
∵CD=9,
∴AB=9，
∴D正确，其余都是错误的，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学阶段练习）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑩个图形中平行四边形的个数为( )
……
图① 图② 图③ 图④
A．108B．109C．110D．111
【答案】B
【分析】由于图②5个=1+2+2，图③11个=1+2+3+2+3，图④19=1+2+3+4+2+3+4，由此即可得到第⑩个图形中平行四边形的个数．
【详解】解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，
图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，
图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，
∴图⑩的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=109．
故选B．
【点睛】本题考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
8．(2023秋·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考期中）如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12B．16C．24D．25
【答案】D
【分析】如下图，先对网格进行编号，然后找出所有符合条件的平行四边形即可．
【详解】如下图，对网格编号
情况一：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在MG上，有：
ABMI、ABQO、ABIG、AFGI、AFOQ、AFIM共6个
情况二：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在PH上，有：
AEHV、AEVN、AENZ、AEZP、ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH共8个
情况三：其他符合条件平行四边形有：
AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVN、AOKN、AQSN共11种
故共有：6+8+11=25种
故答案为：25
【点睛】本题考查在格点中寻找平行四边形，建议在寻找过程中，按照一定的规律依次寻找，防止遗漏和重复．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
【答案】ABCD（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：由题意得当ABCD时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：ABCD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
10．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．
【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB，
故答案为：ADCB（答案不惟一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
11．(2023秋·江苏泰州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果OA=OC，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是_________．（写出一种情况即可）
【答案】OB=OD
【分析】根据平行四边形的判定方法填写即可．
【详解】解：∵OA=OC，
∴当OB=OD时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
12．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）已知四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件：①AD=BC，②AB=DC，③∠A=∠C，④∠A+∠D=180°其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有______ (填写序号)
【答案】①③④．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行选择即可.
【详解】因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①正确；
因为两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形所以②错误；
因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，又因为∠A=∠C，所以∠C+∠B=180°，所以AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以③正确；
因为∠A+∠D=180°，所以AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键.
13．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____．
【答案】四边形ABCD是平行四边形
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．
14．（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）、（0，2）（2，0），则第四个顶点的坐标为____________________________.
【答案】（3，2），（-3，2），（1，-2）．
【详解】试题解析：如图，
∵平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）、（0，2）（2，0），
∴若四边形ABDC是平行四边形，则D1（3，2），
若四边形ABCD是平行四边形，则D2（-3，2），
若四边形ACBD是平行四边形，则D3（1，-2）．
综上所述：第四个顶点的坐标为：（3，2），（-3，2），（1，-2）．
考点：1.平行四边形的性质；2.坐标与图形性质．
15．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
【答案】24
【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明和，即可得到四边形为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到，进而计算即可得到解答．
【详解】解：∵，由绕点B逆时针旋转所得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由绕点B逆时针旋转所得且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、平行线的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
【答案】
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得不合题意舍去，
综上所述，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023秋·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）有下列命题：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，
（1）上述五个命题中，是真命题的是 （填写序号）
（2）请选择一个假命题，并举反例说明．
【答案】（1）①②④；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的判定定理写出真命题；
（2）根据反例证明解答即可．
【详解】（1）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形．故正确；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故正确；
③一组对边相等，另一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．故正确．
⑤一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故错误．
故答案是：①②④；
（2）③反例如下图：
等腰梯形ABCD满足一组对边AD与BC平行，另一组对边AB与CD相等，但四边形ABCD不是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．
18．(2023秋·江苏淮安·八年级阶段练习）证明：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
【答案】见解析
【分析】在已知条件的基础上，根据平行四边形的判定方法，只需证明另一组对角相等即可．
【详解】已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【点睛】考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.
19．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，AD中点，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】答案见详解;
【分析】根据题意得到AF=CE，然后根据一组对边平行且相等即可得到结论；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∵E、F分别是BC、AD的中点
∴，，且AF//CE
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判断，掌握并熟练使用相关知识是本题的解题关键．
20．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，可得，根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）同（1）的方法证明四边形BDEG为平行四边形，得出由四边形FBDH为平行四边形，可得，进而可得，根据，即可得证．
（1）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形FBDH为平行四边形，
（2）
∵四边形FBDH为平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形BDEG为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边的性质与判定是解题的关键．
21．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由SAS证明△ABE≌△CDF，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AE=CF，∠AEB=∠CFD，再证AE∥CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E、F为对角线BD的三等分点，
∴，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）
证明：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
22．（2022秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，根据条件可证明△ABE≌△CDF（ASA），
可得DE=BF，即可证明四边形BFDE是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，根据内错角相等及题意可知△CDE为等腰三角形，即DE=DC=5，可知△CDF为直角三角形，即△EBC为直角三角形，再根据勾股定理即可解得CE的长．
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，∠A=∠DCF，AB=CD，
∵∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DEC=∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
在△DFC中，CF=3，DF=4，DE=DC=5，
∴DC2=CF2+DF2，
∴△DFC是直角三角形，
∴∠DFC=90°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并结合题意根据勾股定理解答是解出本题的关键．
23．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，点A、B、P、Q均为格点．（请按要求用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．）
（1）在图1中，将线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'. 请在图中画出线段A'B'；
（2）在图2中，请画出能满足以下条件的一个平行四边形ABCD，条件：点C、点D均为格点，且点P，Q都在平行四边形ABCD的对角线上．
【答案】（1）见解析（2）见解析；
【分析】（1）根据网格的特点及旋转的定义即可求解；
（2）根据题意及网格的特点作正方形ABCD即可求解．
【详解】解：（1）如图，线段A'B'为所求；
（2）如图，四边形ABCD为所求．
【点睛】此题主要考查旋转、作图，解题的关键是熟知旋转的定义及特殊平行四边形的性质．
24．(2023秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为；
（1）连接，当经过边的中点时，求证：；
（2）求当为何值，四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）=6时，四边形是平行四边形．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）当AE=CF时，四边形是平行四边形，用含t的式子分别表示出AE，CF，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形ACFE是平行四边形，如图，
即t=2t-6，解得：t=6．
故当t=6时，四边形ACFE是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，掌握基本性质是解题的关键．
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等
2．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（ ）
A．AB＝CDB．BC＝ADC．∠A＝∠CD．
4．（2022·江苏·八年级假期作业）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中不能有两个角为锐角B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角D．一个三角形中能有两个角为锐角
5．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学阶段练习）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑩个图形中平行四边形的个数为( )
……
图① 图② 图③ 图④
A．108B．109C．110D．111
8．(2023秋·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考期中）如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12B．16C．24D．25
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
10．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
11．(2023秋·江苏泰州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果OA=OC，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是_________．（写出一种情况即可）
12．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）已知四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件：①AD=BC，②AB=DC，③∠A=∠C，④∠A+∠D=180°其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有______ (填写序号)
13．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____．
14．（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）、（0，2）（2，0），则第四个顶点的坐标为____________________________.
15．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023秋·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）有下列命题：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，
（1）上述五个命题中，是真命题的是 （填写序号）
（2）请选择一个假命题，并举反例说明．
18．(2023秋·江苏淮安·八年级阶段练习）证明：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
19．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，AD中点，求证：四边形AECF是平行四边形．
20．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
21．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
22．（2022秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长
23．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，点A、B、P、Q均为格点．（请按要求用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．）
（1）在图1中，将线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'. 请在图中画出线段A'B'；
（2）在图2中，请画出能满足以下条件的一个平行四边形ABCD，条件：点C、点D均为格点，且点P，Q都在平行四边形ABCD的对角线上．
24．(2023秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为；
（1）连接，当经过边的中点时，求证：；
（2）求当为何值，四边形是平行四边形．
专题9.4平行四边形的判定专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角相等，可推出另外一组对边平行，进而可得是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
2．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
D．由，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．
3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（ ）
A．AB＝CDB．BC＝ADC．∠A＝∠CD．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】A.AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
B.AB∥CD，BC＝AD时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意；
C.∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意；
D.，，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．（2022·江苏·八年级假期作业）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中不能有两个角为锐角B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角D．一个三角形中能有两个角为锐角
【答案】C
【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中能有两个角为直角．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
5．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中，，
∴或，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；
C.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．
D.当时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
6．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据题意，判断AB∥CD，只需AB=CD就可以判断四边形ABCD是平行四边形．
【详解】如图，根据题意，判断AB∥CD，只需AB=CD就可以判断四边形ABCD是平行四边形，
∵CD=9,
∴AB=9，
∴D正确，其余都是错误的，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学阶段练习）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑩个图形中平行四边形的个数为( )
……
图① 图② 图③ 图④
A．108B．109C．110D．111
【答案】B
【分析】由于图②5个=1+2+2，图③11个=1+2+3+2+3，图④19=1+2+3+4+2+3+4，由此即可得到第⑩个图形中平行四边形的个数．
【详解】解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，
图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，
图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，
∴图⑩的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=109．
故选B．
【点睛】本题考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
8．(2023秋·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考期中）如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12B．16C．24D．25
【答案】D
【分析】如下图，先对网格进行编号，然后找出所有符合条件的平行四边形即可．
【详解】如下图，对网格编号
情况一：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在MG上，有：
ABMI、ABQO、ABIG、AFGI、AFOQ、AFIM共6个
情况二：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在PH上，有：
AEHV、AEVN、AENZ、AEZP、ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH共8个
情况三：其他符合条件平行四边形有：
AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVN、AOKN、AQSN共11种
故共有：6+8+11=25种
故答案为：25
【点睛】本题考查在格点中寻找平行四边形，建议在寻找过程中，按照一定的规律依次寻找，防止遗漏和重复．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
【答案】ABCD（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：由题意得当ABCD时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：ABCD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
10．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．
【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB，
故答案为：ADCB（答案不惟一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
11．(2023秋·江苏泰州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果OA=OC，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是_________．（写出一种情况即可）
【答案】OB=OD
【分析】根据平行四边形的判定方法填写即可．
【详解】解：∵OA=OC，
∴当OB=OD时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
12．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）已知四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件：①AD=BC，②AB=DC，③∠A=∠C，④∠A+∠D=180°其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有______ (填写序号)
【答案】①③④．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行选择即可.
【详解】因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①正确；
因为两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形所以②错误；
因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，又因为∠A=∠C，所以∠C+∠B=180°，所以AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以③正确；
因为∠A+∠D=180°，所以AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键.
13．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____．
【答案】四边形ABCD是平行四边形
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．
14．（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）、（0，2）（2，0），则第四个顶点的坐标为____________________________.
【答案】（3，2），（-3，2），（1，-2）．
【详解】试题解析：如图，
∵平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）、（0，2）（2，0），
∴若四边形ABDC是平行四边形，则D1（3，2），
若四边形ABCD是平行四边形，则D2（-3，2），
若四边形ACBD是平行四边形，则D3（1，-2）．
综上所述：第四个顶点的坐标为：（3，2），（-3，2），（1，-2）．
考点：1.平行四边形的性质；2.坐标与图形性质．
15．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______．
【答案】24
【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明和，即可得到四边形为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到，进而计算即可得到解答．
【详解】解：∵，由绕点B逆时针旋转所得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由绕点B逆时针旋转所得且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、平行线的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．
【答案】
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得不合题意舍去，
综上所述，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023秋·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）有下列命题：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，
（1）上述五个命题中，是真命题的是 （填写序号）
（2）请选择一个假命题，并举反例说明．
【答案】（1）①②④；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的判定定理写出真命题；
（2）根据反例证明解答即可．
【详解】（1）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形．故正确；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故正确；
③一组对边相等，另一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．故正确．
⑤一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故错误．
故答案是：①②④；
（2）③反例如下图：
等腰梯形ABCD满足一组对边AD与BC平行，另一组对边AB与CD相等，但四边形ABCD不是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．
18．(2023秋·江苏淮安·八年级阶段练习）证明：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
【答案】见解析
【分析】在已知条件的基础上，根据平行四边形的判定方法，只需证明另一组对角相等即可．
【详解】已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【点睛】考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.
19．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，AD中点，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】答案见详解;
【分析】根据题意得到AF=CE，然后根据一组对边平行且相等即可得到结论；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∵E、F分别是BC、AD的中点
∴，，且AF//CE
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判断，掌握并熟练使用相关知识是本题的解题关键．
20．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，可得，根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）同（1）的方法证明四边形BDEG为平行四边形，得出由四边形FBDH为平行四边形，可得，进而可得，根据，即可得证．
（1）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形FBDH为平行四边形，
（2）
∵四边形FBDH为平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形BDEG为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边的性质与判定是解题的关键．
21．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由SAS证明△ABE≌△CDF，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AE=CF，∠AEB=∠CFD，再证AE∥CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E、F为对角线BD的三等分点，
∴，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）
证明：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
22．（2022秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，根据条件可证明△ABE≌△CDF（ASA），
可得DE=BF，即可证明四边形BFDE是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，根据内错角相等及题意可知△CDE为等腰三角形，即DE=DC=5，可知△CDF为直角三角形，即△EBC为直角三角形，再根据勾股定理即可解得CE的长．
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，∠A=∠DCF，AB=CD，
∵∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DEC=∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
在△DFC中，CF=3，DF=4，DE=DC=5，
∴DC2=CF2+DF2，
∴△DFC是直角三角形，
∴∠DFC=90°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并结合题意根据勾股定理解答是解出本题的关键．
23．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，点A、B、P、Q均为格点．（请按要求用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．）
（1）在图1中，将线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'. 请在图中画出线段A'B'；
（2）在图2中，请画出能满足以下条件的一个平行四边形ABCD，条件：点C、点D均为格点，且点P，Q都在平行四边形ABCD的对角线上．
【答案】（1）见解析（2）见解析；
【分析】（1）根据网格的特点及旋转的定义即可求解；
（2）根据题意及网格的特点作正方形ABCD即可求解．
【详解】解：（1）如图，线段A'B'为所求；
（2）如图，四边形ABCD为所求．
【点睛】此题主要考查旋转、作图，解题的关键是熟知旋转的定义及特殊平行四边形的性质．
24．(2023秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为；
（1）连接，当经过边的中点时，求证：；
（2）求当为何值，四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）=6时，四边形是平行四边形．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）当AE=CF时，四边形是平行四边形，用含t的式子分别表示出AE，CF，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形ACFE是平行四边形，如图，
即t=2t-6，解得：t=6．
故当t=6时，四边形ACFE是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，掌握基本性质是解题的关键．
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