初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数同步训练题

这是一份初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数同步训练题，共66页。

注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集．
2．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝．（其中mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△ABO的面积；
（3）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-4的图象与反比例函数的图象交于A(1，n)，B(m，2).
(1)求反比例函数关系式及m的值
(2)若x轴正半轴上有一点M，满足ΔMAB的面积为16，求点M的坐标；
(3)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集
4．（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)观察图像，不等式的解集为________．
5．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点E（1，5）和点F．
(1)求点F的坐标；
(2)求△EOF的面积；
(3)请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．
6．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．
(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；
(2)请结合图像直接写出不等式的解集；
(3)若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标．
7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图像上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图像相交于点D，连接AC，AD．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点C的横坐标为6，
①求点D的坐标；
②求线段BD的长；
③．
8．（2022春·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点C．
(1)_____________，_____________；
(2)点P在x轴上，且满足，求点P的坐标．
9．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图像与反比侧函数y2= (m≠0)的图像相交于点A（-3，2），B（n，-）．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出当时，x的取值范围．
10．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
(3)直接写出时，x的取值范围
11．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）．
(1)求一次函数的表达式．
(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．
(3)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
12．(2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
13．(2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于点、两点，连接、．
（1）求m、n、k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出时，x的取值范围．
14．(2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
15．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，函数与的图象相交于点，．
（1）结合图象，直接写出不等式的解集：______；
（2）求和的值；
（3）连接、，求的面积．
16．(2023春·江苏盐城·八年级校考期末）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（3,m）,Q（1,3）．
（1）求反函数的函数关系式；
（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
17．(2023春·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于A(2，2)、B(﹣1，n)两点．
（1）求反比例函数和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
18．(2023·江苏南京·校考一模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
19．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围；
（3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标.
20．(2023·江苏无锡·八年级校联考期末）已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线 OA 向下平移后得到直线 l，与反比例函数的图象交于点 B（6，m），求 m 的值和直线 l 的解 析式；
（3）在（2）中的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求四边形 OABC 的面积．
21．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点为.
(1)求反比例函数函数表达式;
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围.
22．(2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C、D两点， C点的坐标是（4，-1），D点的横坐标为-2．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
23．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数 的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出的的取值范围；
(3)求的面积．
24．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点，．
(1)分别求出两个函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)根据图像直接写出当时的取值范围．
25．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数图像与反比例函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为，点P为反比例函数第一象限图像上一动点，且横坐标小于m，直线分别与x轴交于D，C．
(1)求k，m的值；
(2)若A为的中点，求证：；
(3)小亮说：当点P运动时，的面积是一个定值？若正确，求出这个定值；若不正确，请说明理由．
26．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知：直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为， 若双曲线上一点的纵坐标为，连接；
(1)填空： 的值为 ； 点的坐标为 ；点的坐标为 ．
(2)直接写出关于的不等式的解集；
(3)求三角形的面积；
27．(2023春·江苏南京·八年级校考期中）如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与反比例函数y＝（m≠0）的图像相交于点A（1，2），B（a，−1）．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若直线y＝kx＋b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
28．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数表达式和反比例函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
29．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图像交于A（m，6），B（n，3）两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图像直接写出时x的取值范围；
(3)若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求点M坐标．
30．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，反比例函数y=的图像与一次函数y=mx+b的图像交于两点A(1，3)，B(n，−1)．
(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式；
(2)根据图像，直接回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)连接AO、BO，求△ABO的面积；
(4)在反比例函数的图像上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．
专题10.4反比例函数与一次函数结合大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y
(2)8
(3)x＜﹣3或0＜x＜1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可；
（3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y；
（2）解：如图，设直线AB交y轴于C，
则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8；
（3）解：观察函数图象知，
不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可．
2．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝．（其中mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△ABO的面积；
（3）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x﹣2，y＝﹣；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【分析】（1）把A点坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，即可解得k、b、m、n的值；
（2）求出一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABO的面积；
（3）根据图象观察，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
根据反比例函数图象的对称性可知，n＝﹣4，
∴，解得，
故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2，
又知A点在反比例函数的图象上，故m＝﹣8，
故反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）如图，设一次函数的图像与y轴交于点C，
在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴OC＝2，
∴S△AOB＝ ×2×2+×2×4＝6；
（3）根据两函数的图象可知：
当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数，涉及了一次函数与反比例函数的解析式、围成的三角形的面积及由图像法比较一次函数值与反比例函数值的大小，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键.
3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-4的图象与反比例函数的图象交于A(1，n)，B(m，2).
(1)求反比例函数关系式及m的值
(2)若x轴正半轴上有一点M，满足ΔMAB的面积为16，求点M的坐标；
(3)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集
【答案】(1) 反比例关系式为:，m=-3； (2)点M(2，0) ；(3)x<-3或0【分析】（1）把A（1，n），B（m，2）代入y=-2x-4即可求得m、n的值，从而得到A（1，-6），然后利用待定系数法即可即可求得反比例函数的表达式；
（2）设M（m，0），因为△MAB的面积为16，直线AB交x轴于（-2，0），可得|m+2|×8=16，解方程即可；
（3）根据图象，结合A、B的坐标即可求得．
【详解】解：(1) ∵一次函数y=-2x-4的图象过点A（1，n），B（m，2）
∴n=-2-4，2=-2m-4
∴n=-6，m=-3，
∴点A(1，-6).
把A（1，-6）代入得，k=-6，
∴反比例关系式为:；
(2)设直线AB交x轴于点N，则N(-2，0)，设M（m，0），m＞0，
当M在x轴正半轴时
=|m+2|×8=16
∴m=2或-6（不合题意舍去），
∴点M(2，0) ；
(3) 由图象可知：不等式在＜-2x-4的解集是x＜-3或0＜x＜1．
故答案为(1) 反比例关系式为:， m=-3； (2)点M(2，0) ；(3)x<-3或0【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程解决问题．
4．（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)观察图像，不等式的解集为________．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入一次函数的解析式可得的值，从而可得一次函数的解析式，再将点代入求解即可得；
（2）设一次函数与轴的交点为点，先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据的面积等于的面积减去的面积即可得；
（3）找出反比例函数的图像位于一次函数的图像的上方时，的取值范围即可得．
【详解】（1）解：由题意，将点代入得：，
解得，
则一次函数的解析式为，
将点代入得：．
（2）解：如图，设一次函数与轴的交点为点，
当时，，解得，即，
，
的面积为．
（3）解：不等式表示的是反比例函数的图像位于一次函数的图像的上方，
则由函数图像得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
5．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点E（1，5）和点F．
(1)求点F的坐标；
(2)求△EOF的面积；
(3)请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．
【答案】(1)F（5，1）
(2)12
(3)05
【分析】（1）把点E（1，5）分别代入和y＝﹣x+b，可得到反比例函数解析式和一次函数解析式，再联立，即可求解；
（2）先求出点B的坐标，可得OB=6，再根据，即可求解；
（3）直接观察图象，即可求解．
（1）
解：∵点E（1，5）在反比例函数和一次函数y＝﹣x+b的图象上，
∴，，
∴b=6，
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为y=-x+6，
联立得：，
解得：或，
∴点F的坐标为F（5，1）；
（2）
解：当x=0时，y=6，
∴点B（0，6），
∴OB=6，
∴；
（3）
解：观察图象得：当05时，反比例函数值大于一次函数值．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．
(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；
(2)请结合图像直接写出不等式的解集；
(3)若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+1；
(2)-3≤x＜0或x≥2；
(3)P的坐标是（-5，0）或（3，0）．
【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据A、B的坐标，结合图象即可求得；
（3）根据三角形面积求出DP的长，根据D的坐标即可得出P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=的图象经过B（2，3），
∴m=2×3=6．
∴反比例函数的解析式为y=．
∵A（-3，n）在y=上，所以n==-2．
∴A的坐标是（-3，-2）．
把A（-3，-2）、B（2，3）代入y=kx+b．得：
，解得，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：由图象可知：不等式kx+b≥的解集是-3≤x＜0或x≥2；
（3）解：设直线与x轴的交点为D，
∵把y=0代入y=x+1得：0=x+1，
x=-1，
∴D的坐标是（-1，0），
∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（-3，-2），B（2，3），
∴DP×2+DP×3=10，
∴DP=4，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是（-5，0）；
当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0），
即P的坐标是（-5，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．
7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图像上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图像相交于点D，连接AC，AD．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点C的横坐标为6，
①求点D的坐标；
②求线段BD的长；
③．
【答案】(1)
(2)①D（6，1）；②3；③
【分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数 (x＞0)，即可求出函数解析式；
（2）①根据点C横坐标为6，直接得出点C的坐标，得出点D的横坐标，把代入反比例函数解析式，即可得出点D的坐标；
②先根据点A的坐标求出OA的解析式，然后再求出点B的坐标，即可求出BD的长；
③过点A作AH⊥BC，垂足为H，求出AH、CD的长，再根据三角形的面积公式即可得到结论．
（1）
解：把点A（3，2）代入得：k=6
∴反比例函数解析式为．
（2）
解：∵点C在x轴上，横坐标为6，
∴C（6，0）；
①∵BC⊥x轴，且与反比例函数图像交于点D，
∴点D的横坐标为6，
∴把x=6代入得：y=1，
∴D（6，1）；
②设，
∵过点A（3，2）
∴，
∴，
∵BC⊥x轴，
∴点B的横坐标为6，
把x=6代入得：y=4，
∴B（6，4），
∴BD=4-1=3；
③过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图所示：
∵A（3，2）
∴H（6，2）
∴AH=6-3=3，
∵C（6，0），D（6，1），
∴CD=1，
∴=．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
8．（2022春·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点C．
(1)_____________，_____________；
(2)点P在x轴上，且满足，求点P的坐标．
【答案】(1)2；-4；
(2)P点坐标为（，0）或（，0）；
【分析】（1）由A点坐标可得，再由反比例函数解析式和B点纵坐标可得B点横坐标；
（2）由A、B坐标求得直线解析式，进而求得C点坐标，根据面积关系列方程求得，再根据C点坐标可得P点坐标；
（1）
解：∵在反比例函数上，
∴，，
∴反比例函数，
∵在反比例函数上，
∴，，
∴，；
（2）
解：由题意作图如下，
由，和直线解析式可得：
解得：，
∴直线解析式，
y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∵△APB面积=△APC面积+△BPC面积，
∴△APB面积=
∴，
∵C（1，0），∴1-=，1+=，
∴P点坐标为（，0）或（，0）；
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题关键．
9．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图像与反比侧函数y2= (m≠0)的图像相交于点A（-3，2），B（n，-）．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)一次函数为y=-x+，反比例函数的表达式为y=-．
(2)x的取值范围x＜-3或0＜x＜4．
【分析】（1）先把A（-3，2）代数y2=（m≠0）求出m得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：∵反比例函数y2=（m≠0）经过点A （-3，2），
∴m=-3×2=-6，
∴反比例函数的表达式为y=-．
∵B（n，-）在反比例函数y=-图象上，
∴n=4．
∴点B的坐标为（4，-）．
∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-3，2）和点B（4，-），
∴，
解得，
∴一次函数为y=-x+；
（2）解：观察图象，时，x的取值范围x＜-3或0＜x＜4．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
10．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
(3)直接写出时，x的取值范围
【答案】(1)反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=x+2
(2)6
(3)或
【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）过点A作交BC的延长线于点D，可得AD=6,BC=2，据此可得．
（3）观察图象直接写出解集即可
【详解】（1）解：将点A（2，4）代入y=，得：m=8，
则反比例函数解析式为y=，
当x=﹣4时，y=﹣2，则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，
得：，解得：，
则一次函数解析式为y=x+2；
∴反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=x+2；
（2）解：如图，过点A作交BC的延长线于点D，
∵点A（2，4），点B（﹣4，﹣2），
∴AD=6,BC=2，
则△ACB的面积=×2×6=6．
（3）解：∵点A（2，4），点B（﹣4，﹣2），
∴当时，或．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键．
11．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）．
(1)求一次函数的表达式．
(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．
(3)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
【答案】(1)y=x+1
(2)-3＜x＜0 或 x＞2
(3)△ABC的面积为5
【分析】(1)由一次函数y=kx+b与反比例函数y  的图象相交于A (2，3)，B(-3，n)两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)根据图象，观察即可求得答案；
(3)因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．
【详解】（1）解：把 A（2，3）代入y  ，得m=6，
反比例解析式为 y ，
把 B（-3，n）代入 y  ，得n=-2，即 B（-3，-2），
把 A 与 B 代入一次函数解析式，得，
解得，
一次函数解析式为 y=x+1；
（2）解：由图象得kx+b＞x 的解集为-3＜x＜0 或x＞2；
（3）解：过点A作AE⊥BC于点E，
则以BC为底，则BC边上的高AE=3+2=5，
．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，注意待定系数法的应用和数形结合思想是解题的关键．
12．(2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；
如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
当时，，
，
；
，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集．
13．(2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于点、两点，连接、．
（1）求m、n、k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出时，x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3） 或
【分析】（1）根据题意可先出m，n，可得、，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与y轴的交点坐标，可得的面积，即可求解；
（3）观察一次函数图象在反比例函数图象下方时的x的取值范围，即可求解．
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于点、两点，
∴当 时， ，
当 时， ，解得： ，
∴、，
将代入反比例函数，得： ，
解得： ，
（2）设直线AB与x轴交于点C，交y轴于点D，
当 ， ，
∴ ，
即OD=5，
∴的面积
；
（3）∵直线与反比例函数的图象交于点、，
∴由图象可知，当时， 或 ．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，利用反比例函数与一次函数的交点解答是解题的关键．
14．(2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）8；（3）或
【分析】（1）把两点代入一次函数解析式中，求得的值，再用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）根据和点的坐标求解即可；
（3）根据函数图象写出直线在双曲线上方部分的x的取值范围即可
【详解】解：（1）把，代入得，，，
，
反比例函数的关系式为，
（2）令 则

，
答：的面积为；
（3）
所以，不等式的解集是或
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．
15．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，函数与的图象相交于点，．
（1）结合图象，直接写出不等式的解集：______；
（2）求和的值；
（3）连接、，求的面积．
【答案】（1）或；（2）；（3）4．
【分析】（1）根据点的坐标，结合函数图象即可得；
（2）将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得；
（3）设函数与轴交于点，与轴交于点，先利用待定系数法求出，从而可得点的坐标，再根据即可得．
【详解】解：（1）不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，
因为，，
所以结合函数图象得：不等式的解集为或，
故答案为：或；
（2）将点，代入得：，
解得；
（3）如图，设函数与轴交于点，与轴交于点，
由（2）得：，，
将点，代入得：，解得，
则，
当时，，解得，即，
当时，，即，
又，，
的边上的高为1，的边上的高为1，
则，
，
，
即的面积为4．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
16．(2023春·江苏盐城·八年级校考期末）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（3,m）,Q（1,3）．
（1）求反函数的函数关系式；
（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）由一次函数与反比例函数的图象交于点P（-3，m），Q（1，-3），利用待定系数法即可求得反比例函数的关系式；
（2）由（1），可求得点P的坐标，继而画出这两个函数的大致图象；
（3）观察图象，即可求得一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围．
【详解】解：（1）设反函数的函数关系式为：y=，
∵一次函数与反比例函数的图象交于点Q（1，-3），
∴-3=，
解得：k=-3，
∴反函数的函数关系式为：y=-；
（2）将点P（-3，m）代入y=-，
解得：m=1，
∴P（-3，1），
函数图象如图：
（3）观察图象可得：
当x＜-3或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
17．(2023春·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于A(2，2)、B(﹣1，n)两点．
（1）求反比例函数和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1），y=2x﹣2；（2）x＜﹣1或0＜x＜2．
【分析】（1）首先，根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后再根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）结合函数图象即可得出结论．
【详解】（1）∵反比例函数?(?≠0)的图象经过A(2，2)，
∴2，解得：m=4，
∴反比例函数解析式为：?，
∵B(﹣1，?)在反比例函数y的图象上，
∴n4，
∴B(﹣1，﹣4),
∵将A(2，2)、B(﹣1，﹣4)代入一次函数y=kx+b(k≠0)中，得，
解得，
∴一次函数解析式为y=2x﹣2；
（2）结合一次函数图象与反比例函数图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
故不等式kx+b的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，能够根据函数图象确定出不等式的解集是解决问题的关键．
18．(2023·江苏南京·校考一模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x﹣3；（2）；（3）﹣2＜x＜0或x＞．
【分析】（1）先把A点坐标入y＝得k＝﹣2，则反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定B（，﹣4），然后利用待定系数法求出一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）先利用一次函数的解析式求出D点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD进行计算即可；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得
k＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4，
∴B（，﹣4），
把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得
，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），
∴OD=3,
,
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝ ；
（3）由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，此时﹣2＜x＜0或x＞，
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
19．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围；
（3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标.
【答案】（1），；（2）或；（3）（12，）或（-12，）
【分析】（1）把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入中求出b得到一次函数解析式；
（2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设P（x，），先利用一次解析式解析式确定C（0，1），再根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标．
【详解】解：（1）把A（1，2）代入得k=2，
∴反比例函数解析式为，
把A（1，2）代入得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）由函数图象可得：当y1＜y2时，-2＜x＜0或x＞1；
（3）设P（x，），
当x=0时，，
∴C（0，1），
∵S△OCP=6，
∴，解得，
∴P（12，）或（-12，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
20．(2023·江苏无锡·八年级校联考期末）已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线 OA 向下平移后得到直线 l，与反比例函数的图象交于点 B（6，m），求 m 的值和直线 l 的解 析式；
（3）在（2）中的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求四边形 OABC 的面积．
【答案】(1)正比例函数的解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=； (2)直线l的解析式为y=x； (3)S四边形OABC=.
【分析】（1）利用待定系数法，由正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），即可求得解析式；
（2）由点B在反比例函数图象上，即可求得m的值；又由此一次函数是正比例函数平移得到的，可知一次函数与反比例函数的比例系数相同，代入点B的坐标即可求得解析式；
（3）构造直角梯形AEFD，则通过求解△ABE、△BDF与直角梯形ADFE的面积即可求得△ABD的面积．
【详解】(1)设正比例函数的解析式为y=ax,反比例函数的解析式为y=，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，
∴3=3a,3=，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=；
(2)∵点B在反比例函数上，
∴m==，
∴B点的坐标为(6,)，
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+c，
∴=6+c，
∴c=，
∴直线l的解析式为y=x；
(3)过点A作AE∥x轴，交直线l于点E，连接AC.
∵直线l的解析式为y=x,A(3,3)，
∴点E的坐标为(,3),点C的坐标为(,0).
∴AE=−3=,OC=，
∴S四边形OABC=S△OAC+S△ACE−S△ABE=××3+××3−××=.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求解析式和反比例函数与一次函数的交点问题.
21．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点为.
(1)求反比例函数函数表达式;
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围.
【答案】（1）;（2）.
【分析】（1）将点P（2，m）代入y＝2x，求出P（2，4），将P代入即可求解；
（2）直接根据反比例函数在坐标系中的图象即可得出结论.
【详解】解：（1）将点P（2，m）代入y＝2x，得m＝4，
∴P（2，4），
将点P（2，4）代入，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数表达式为；
（2）∵x＝−4时，，x＝−1时，，
∴当−4＜x＜−1时，y的取值范围是−8＜y＜−2．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．(2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C、D两点， C点的坐标是（4，-1），D点的横坐标为-2．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
【答案】（1）y=-0.5x+1，y=；（2）-24.
【分析】（1）先把C点坐标代入反比例函数求出m，再根据D坐标的横坐标为-2求出D点坐标，再把C,D坐标代入一次函数求出k,b的值；
（2）根据C,D两点的横坐标，结合图像即可求解.
【详解】（1）把C（4，-1）代入反比例函数，得m=4×（-1）=-4，
∴y=；
设D（-2,y）,代入y=得y=-2，
∴D（-2，2）
把C（4，-1）, D（-2，2）代入一次函数
得
解得k=-0.5，b=1
∴y=-0.5x+1
（2）∵C,D两点的横坐标分别为4，-2，
由图像可知当-24，一次函数的值小于反比例函数的值.
【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式.
23．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数 的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出的的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)8
【分析】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）将不等式转化为，找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点，当时，求得D点坐标，继而可得，，，代入，求解即可．
【详解】（1）分别把，代入得，，
解得，，
所以点坐标为，点坐标为，
分别把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）根据图象可知：
当或时，；
（3）如图，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点．
当时，，解得，则点坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
24．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点，．
(1)分别求出两个函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)根据图像直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
(3)．
【分析】（1）将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求出；
（3）观察图像，根据图像可直接得出x的取值范围．
【详解】（1）解：由过点，可得：
，解得：，
故，
又由过点和可得：
，解得，
故；
（2）解：由过点B，可知，
故，
则；
（3）解：由图像可知，当时，．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
25．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数图像与反比例函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为，点P为反比例函数第一象限图像上一动点，且横坐标小于m，直线分别与x轴交于D，C．
(1)求k，m的值；
(2)若A为的中点，求证：；
(3)小亮说：当点P运动时，的面积是一个定值？若正确，求出这个定值；若不正确，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是定值，2
【分析】（1）先求出点A的坐标为，然后把代入，可得k的值，即可；
（2）A为的中点，点A的坐标为，可得点P的纵坐标为2，从而得到点P的坐标为，进而得到点D的坐标为，可得到，再求出直线的解析式为，可得点C的坐标为，从而得到，即可；
（3）求出直线的解析式，可得点C的坐标为，同理点D的坐标为，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解∶把代入得：
，解得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：；
（2）解：根据题意得：点D的纵坐标为0，反比例函数的解析式为，
∵A为的中点，点A的坐标为，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P为反比例函数的图像上一点，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为，
∴点D的坐标为，
∴，
∵点A，B关于原点对称，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：设点P的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点C的坐标为，
同理点D的坐标为，
∴，
∴的面积是，
∴当点P运动时，的面积是一个定值，为2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
26．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知：直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为， 若双曲线上一点的纵坐标为，连接；
(1)填空： 的值为 ； 点的坐标为 ；点的坐标为 ．
(2)直接写出关于的不等式的解集；
(3)求三角形的面积；
【答案】(1)；；
(2)或
(3)
【分析】（1）将点的横坐标代入可求得点的纵坐标；进而求得的值以及点、点的坐标；
（2）由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值，据此作答即可；
（3）作轴，轴；将的面积转化为梯形的面积进行计算即可.
【详解】（1）解：将代入得：，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
由反比例函数的对称性可得：点、点关于原点对称，
∴，
将代入得：，
∴；
（2）解：由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值；
∴的解集为：或；
（3）解：如图，作轴，轴；
∵，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质、正比例函数图像的性质、坐标与图形；熟练运用反比例函数图像的性质转化面积是解题的关键．
27．(2023春·江苏南京·八年级校考期中）如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与反比例函数y＝（m≠0）的图像相交于点A（1，2），B（a，−1）．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若直线y＝kx＋b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)反比例函数为y＝，一次函数的解析式为y＝x＋1
(2)存在，P（3，0）或（−5，0）
【分析】（1）将点A（1，2）代入y＝得到反比例函数的解析式为y＝，把A（1，2），B（−2，−1）代入直线y＝kx＋b即可得到一次函数的解析式；
（2）当y＝0时，得到点C（−1，0），设P（x，0），根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：将点A（1，2）代入y＝得，1＝，
∴，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（a，−1）代入y＝得，，
∴B（−2，−1），把A（1，2），B（−2，−1）代入y＝kx＋b得
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x＋1
（2）解：当y＝0时，0＝ x＋1，解得x＝−1，
∴C（−1，0），设P（x，0），
∴，
∴或x＝−5，
∴P（3，0）或P（−5，0）．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积计算，解题关键是正确理解题意．
28．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数表达式和反比例函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为：
(2)不等式的解集为：或
(3)
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式即可；
（2）根据函数图象的性质，结合图象即可求得不等式的解集；
（3）首先求得C点坐标，再利用坐标即可求得．
（1）
解：将代入，得m=3，
∴反比例函数解析式为：，
将代入，得，
∴B点坐标为，
将A、B两点坐标代入，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）
由图象可知，当一次函数图象在反比例函数下方时，，
∴不等式的解集为：或；
（3）
当y=0时，，
解得：，
∴C（，0），
∴，
∴的面积为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积等问题，以及与函数图象有关的不等式问题，重点在于掌握对应的基本性质，并进行准确求参．
29．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图像交于A（m，6），B（n，3）两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图像直接写出时x的取值范围；
(3)若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求点M坐标．
【答案】(1)y=-3x+9
(2)02
(3)M（3，0）或M（-3，0）
【分析】（1）先根据反比例函数的表达式求出点A和点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式即可；
（2）观察图像，一次函数的图像在反比例函数的图像下方，写出x的取值范围即可；
（3）求出一次函数与x轴的交点P的坐标，根据先求出△AOB的面积，结合题意即可求出点M的坐标．
（1）
解：∵点A和点B在反比例函数的图像上，
∴当y=6时，，解得：x=1，当y=3时，，解得：x=2；
∴A（1，6），B（2，3），
把点A和点B代入y＝kx+b，
，解得：，
∴一次函数的解析式为：y=-3x+9．
（2）
∵，
∴，
∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，
由图可知：当02时，，
∴x的取值范围时：02．
（3）
令一次函数与x轴交于点P，
当y=0时，0=-3x+9，解得：x=3，
∴P（3，0）
∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3，
∴=，
∵
，解得：OM=3，
∴M（3，0）或M（-3，0）
【点睛】题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法、一元一次不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图像解决问题，学会构建方程解决问题．
30．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，反比例函数y=的图像与一次函数y=mx+b的图像交于两点A(1，3)，B(n，−1)．
(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式；
(2)根据图像，直接回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)连接AO、BO，求△ABO的面积；
(4)在反比例函数的图像上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的关系式为y=，一次函数的关系式为y=x+2；
(2)-3＜x＜0或x＞1；
(3)△ABO的面积为4；
(4)两个满足条件的点P的坐标为（-3，-1）或（3，1）．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数可得k和n的值，再代入一次函数解析式中，解方程可得答案；
（2）根据图象，当比变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；
（3）利用直线解析式求出点C的坐标，从而得出△ABO的面积；
（4）根据反比例函数的对称性可得答案．
（1）
解：将点A（1，3）代入y=得，
k=1×3=3，
∴反比例函数的关系式为y=，
将点B（n，-1）代入y=得，n=-3，
∴B（-3，-1），
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为y=x+2；
（2）
解：由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）
解：设直线AB与x轴相交于点C，
对于y=x+2，当y=0时，x=-2，
∴C（-2，0），
∴OC=2，
∴△ABO的面积为×2×1+×2×3=4；
（4）
解：∵A（1，3），B（-3，-1），
∴OA=OB，
∴点P与B重合时，△AOP是等腰三角形，
∴P（-3，-1），
当P（3，1）时，OA=OP，符合题意，
综上：两个满足条件的点P的坐标为（-3，-1）或（3，1）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标的特征，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．