初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转1 图形的平移巩固练习

这是一份初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转1 图形的平移巩固练习，共39页。


【考点1 图形在网格中的平移】
【例1】（2023春•锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【变式1-1】（2023春•江汉区月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【变式1-2】（2023春•江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝ ，b＝ ．
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是 ．
【变式1-3】（2023春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点2 图形平移变换与角度计算综合】
【例2】（2023春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．
（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；
（2）求四边形AA'B'B的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．
【变式2-1】（2023春•庆阳期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC、∠PCD、∠POB的数量关系，并证明你的结论．
【变式2-2】（2023春•大同期末）综合与实践
问题背景
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．
动手操作
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；
探究证明
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．
【变式2-3】（2023春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；
（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；
（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．
【考点3 旋转对称图形】
【例3】（2023秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ）
A．60°B．72°C．75°D．90°
【变式3-1】（2023•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）
A．30B．60C．120D．180
【变式3-2】（2023秋•海淀区校级月考）如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式3-3】（2023春•高平市期末）下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点4 由旋转的性质求角的度数】
【例4】（2023秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，并使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BB'C'的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式4-1】（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【变式4-2】（2023秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【变式4-3】（2023秋•南召县期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转．如图②，当∠CAE＝15°时，此时BC∥DE．继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合条件的度数为 ．
【考点5 由旋转的性质求线段的长度】
【例5】（2023秋•怀化期末）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝6，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
A．6B．C．3D．2
【变式5-1】（2023秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（ ）
A．1B．2C．D．4
【变式5-2】（2023春•覃塘区期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，将三角形ABC绕顶点C逆时针旋转得到三角形A'B'C，A'B'与AC相交于点P，则线段PC长度的最小值为（ ）
A．6B．5.2C．4.8D．4
【变式5-3】（2023秋•江油市期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为 ．
【考点6 中心对称图形】
【例6】（2023秋•招远市期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2023秋•通榆县期末）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
【变式6-2】（2023秋•海阳市期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【变式6-3】（2023秋•市南区期末）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【考点7 设计中心对称图形】
【例7】（2023秋•迁安市期末）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．②③
【变式7-1】（2023春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ．
【变式7-2】（2023秋•辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【变式7-3】（2023•宁波模拟）图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【考点8 旋转变换作图】
【例8】（2023秋•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．
【变式8-1】（2023秋•普陀区期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN．
（1）画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
（2）画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 ．
【变式8-2】（2023秋•顺城区月考）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC以O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出坐标A1 ，B1 ，C1 ；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并直接写出坐标A2 ，B2 ，C2 ；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P2，请直接写出点P2的坐标．（用含a，b的代数式表示）
【变式8-3】（2023秋•孝义市期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．
（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1 ，B1 ，C1 ．注：点A与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；
（2）点P的对应点P1的坐标是 ；
（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是 ，点P1与点P2关于 对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）
△ABC
A（a，0）
B（5，3）
C（2，1）
△A′B′C′
A′（3，4）
B′（7，b）
C′（c，d）
专题3.1 图形的平移与旋转章末重难点突破
【北师大版】

【题型1 图形在网格中的平移】
【例1】（2023春•锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【解题思路】（1）利用坐标系可得点B和点B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法；
（2）利用平移的性质进行计算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解答过程】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b），
则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
【变式1-1】（2023春•江汉区月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【解题思路】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
（2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解；
（3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解答过程】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；
（2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．
故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；
（3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝3，b＝4．
故a的值是3，b的值是4．
【变式1-2】（2023春•江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝ ，b＝ ．
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是 ．
【解题思路】（1）根据点A和B的坐标和点A′和B′的坐标可得答案；
（2）画出图形，然后再计算线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积即可；
（3）求出A、B所在直线的解析式，然后可得答案．
【解答过程】解：（1）∵A（a，0），A′（3，4），
∴△ABC向上平移4个单位后得到△A′B′C′，
∵B（5，3），B′（7，b），
∴△ABC向右平移2个单位后得到△A′B′C′，
∴a＝1，b＝3+4＝7，
故答案为：2；4；1；7；
（2）线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积：2×3+4×4＝22；
（3）设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），B（5，3），
∴，
解得：，
∴AB所在直线解析式为yx，
∵点M（m，n）为线段AB上的一点，
∴nm，
即：3m﹣4n＝3，
故答案为：3m﹣4n＝3．
【变式1-3】（2023春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）①根据平移的性质解决问题即可．
②根据点B的位置即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
（3）设P（0，m），利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【解答过程】解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；
故答案为：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案为（6，3）．
（2）如图，
（3）存在．设P（0，m），由题意|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．
【题型2 图形平移变换与角度计算综合】
【例2】（2023春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．
（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；
（2）求四边形AA'B'B的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．
【解题思路】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．
【解答过程】解：（1）∵点A（2，6），B（4，3），
又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，
∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
∴A′（﹣2，0），B′（0，﹣3）．
（2）S四边形ABB′A′＝6×9﹣22×3﹣26×4＝24．
（3）连接AD．
∵B（4，3），B′（0，﹣3），
∴BB′的中点坐标为（2，0）在x轴上，
∴D（2，0）．
∵A（2，6），
∴AD∥y轴，
同法可证C（0，3），
∴OC＝OB′，
∵A′O⊥CB′，
∴A′C＝A′B′，
同法可证，B′A′＝B′D，
∴∠A′DB＝∠DA′B′，∠A′CB′＝∠A′B′C，
当点P在点C的上方时，
∵∠PCA′+∠A′CB′＝180°，∠A′B′C+∠DA′B′＝90°，
∴∠PCA′+90°﹣∠A′DB′＝180°，
∴∠PCA′﹣∠A′D′B′＝90°，
当点P在点C的下方时，∠PCA′+∠A′DB′＝90°．
【变式2-1】（2023春•庆阳期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC、∠PCD、∠POB的数量关系，并证明你的结论．
【解题思路】（1）根据点的平移规律得到C点和D点坐标，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形ABDC的面积．
（2）结论：∠OPC＝∠PCD+∠POB．过点P作PE∥CD．利用平行线的性质证明即可．
【解答过程】解：（1）由题意，点C的坐标为（0，2），D点坐标为（4，2），
∵AB∥CD，AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积＝2×4＝8．
（2）结论：∠OPC＝∠PCD+∠POB．
理由：过点P作PE∥CD．
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠EPC＝∠PCD，∠EPO＝∠POB，
∴∠OPC＝∠EPC+∠EPO＝∠PCD+∠POB．
【变式2-2】（2023春•大同期末）综合与实践
问题背景
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．
动手操作
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；
探究证明
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．
【解题思路】（1）利用A、C点的坐标确定平移的方向与距离，从而得到D点坐标；
（2）利用平移的性质得到AB∥CD，AC∥BD，再根据平行线的性质得∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，所以∠BAC＝∠BDC；
（3）先由AC∥BD得到∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，再由∠EAD＝∠CAD，然后利用等量代换可确定∠AEB＝2∠ADB．
【解答过程】解：（1）如图，CD为所作，
因为AB向右平移7个单位，
所以D点坐标为（7，1）；
（2）∠BAC＝∠BDC．
理由如下：
∵AB平移后的线段CD，
∴AB∥CD，AC∥BD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，
∴∠BAC＝∠BDC；
（3）∠ADB：∠AEB＝1：2；
理由如下：∵AC∥BD，
∴∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，
∵∠EAD＝∠CAD，
∴∠CAE＝2∠CAD，
∴∠AEB＝2∠ADB，
即∠ADB：∠AEB＝1：2．
【变式2-3】（2023春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；
（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；
（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．
【解题思路】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，当点P在CO的延长线上时，分别求解即可．
【解答过程】解：（1）如图一中，结论：∠CPB＝90°+∠PBA．
理由：∠CPB+∠APB＝180°，∠APB+∠PAB+∠PBA＝180°
∴∠CPB＝∠POB+∠PBA，∠POB＝90°，
∴∠CPB＝90°+∠PBA．
（2）①如图二中，当点P在线段OC上时，结论：∠DPB＝∠CDP+∠PBA．
理由：作PE∥CD．
∵AB∥CD，PE∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠CDP＝∠DPE，∠PBA＝∠EPB，
∴∠DPB＝∠DPE+∠BPE＝∠CDP+∠PBA．
②如图二①中，当点P在线段OC的延长线上时，结论：∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
理由：设BP交CD于T．
∵CD∥OB，
∴∠PTC＝∠PBA，
∵∠PTC＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
③如图二②中，当点P在CO的延长线上时，结论：∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
理由：设PD交AB于T．
∵CD∥OB，
∴∠PDC＝∠PTA，
∵∠PTA＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
综上所述，∠DPB＝∠CDP+∠PBA或∠PBA＝∠PDC+∠DPB或∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
【考点3 旋转对称图形】
【例3】（2023秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ）
A．60°B．72°C．75°D．90°
【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论．
【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，
所以360°÷5＝72°，
所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，
那么这个角度至少为72°．
故选：B．
【变式3-1】（2023•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）
A．30B．60C．120D．180
【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．
【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转60°后，能与其自身重合．
故选：B．
【变式3-2】（2023秋•海淀区校级月考）如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°，推出旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断．
【解答】解：如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°
∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，
故选：C．
【变式3-3】（2023春•高平市期末）下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．
【解答】解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（3）；不是旋转对称图形的是（4）．
故选：C．
【考点4 由旋转的性质求角的度数】
【例4】（2023秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，并使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BB'C'的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】根据旋转可得∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，得∠ABB′＝∠AB'B＝65°，进而可得∠BB'C'的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴∠ABB′＝∠AB'B（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BB'C'＝90°﹣∠ABB'＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【变式4-1】（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD（180°﹣α）＝90°α，利用三角形外角的性质得∠DFA＝30°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性质得30°+α＝90°α，即可得到α的值．
【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD（180°﹣α）＝90°α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠DFA＝30°+α，
∴90°α＝30°+α，
解得α＝40°；
故选：B．
【变式4-2】（2023秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【解答】解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，
∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，
若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，
∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，
∴α＝90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴AC∥DE，
∴α＝180°﹣45°＝135°，
故选：D．
【变式4-3】（2023秋•南召县期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转．如图②，当∠CAE＝15°时，此时BC∥DE．继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合条件的度数为 ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图②，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；

如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
【考点5 由旋转的性质求线段的长度】
【例5】（2023秋•怀化期末）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝6，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
A．6B．C．3D．2
【分析】根据等边三角形的性质推出AC＝AB，∠CAB＝60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BPA，推出AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，求出∠PAQ＝60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，
∴△CQA≌△BPA，
∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，
∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，
即∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴QP＝PA＝6，
故选：A．
【变式5-1】（2023秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（ ）
A．1B．2C．D．4
【分析】根据旋转的性质可证明△BCC'、△ABA'是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由勾股定理得BC，从而解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，
∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，
∵∠BAC＝60°，
∴∠A'＝60°，
∴△ABA'是等边三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴CC'＝BC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∴BC，
∴CC'＝BC，
故选：C．
【变式5-2】（2023春•覃塘区期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，将三角形ABC绕顶点C逆时针旋转得到三角形A'B'C，A'B'与AC相交于点P，则线段PC长度的最小值为（ ）
A．6B．5.2C．4.8D．4
【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可
【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，
由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，AB＝A'B'＝10，
∵S△A'B'CB'C×A'CA'B'×CP，
∴CP4.8．
故选：C．
【变式5-3】（2023秋•江油市期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为 ．
【分析】由直角三角形的性质可得AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，由旋转的性质可求∠D1CB＝45°，由直角三角形的性质可求AH＝CH＝3，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，AB于CD1交于点H，
∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜边AB＝6，CD＝8，
∴AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵将三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE，
∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，
∴AB⊥CD1，
∴AH＝CH＝3，
∴D1H＝5，
∴AD1，
故答案为：．
【考点6 中心对称图形】
【例6】（2023秋•招远市期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
【变式6-1】（2023秋•通榆县期末）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．
【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；
只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．
故选：A．
【变式6-2】（2023秋•海阳市期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，故本选项符合题意；
③不是中心对称图形，故本选项不合题意；
④是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式6-3】（2023秋•市南区期末）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：从左往右第二、四、五这3个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
第一、三这两个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【考点7 设计中心对称图形】
【例7】（2023秋•迁安市期末）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．②③
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
【解答】解：将图1的正方形放在图2中的③④位置，所组成的图形是中心对称图形．
故选：B．
【变式7-1】（2023春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故答案为：③．
【变式7-2】（2023秋•辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
【变式7-3】（2023•宁波模拟）图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【分析】（1）根据题意涂阴影；
（2）根据题意涂阴影；
（3）根据题意涂阴影；
【解答】解：（1）如图1；
（2）如图2，答案不唯一；
（3）如图3，答案不唯一．
【考点8 旋转变换作图】
【例8】（2023秋•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们相交一点，则两个三角形关于这个点中心对称．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．
【变式8-1】（2023秋•普陀区期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN．
（1）画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
（2）画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
（2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
（3）结合以上画图即可得四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1D1即为所求；
（2）如图，A2B2C2D2即为所求；
（3）关于直线CO成轴对称．
故答案为：CO．
【变式8-2】（2023秋•顺城区月考）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC以O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出坐标A1 （﹣4，2） ，B1 （﹣2，1） ，C1 （﹣1，5） ；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并直接写出坐标A2 （4，﹣2） ，B2 （2，﹣1） ，C2 （1，﹣5） ；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P2，请直接写出点P2的坐标．（用含a，b的代数式表示）
【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点对称的对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）结合以上对应点的坐标变化规律可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5），
故答案为：（﹣4，2），（﹣2，1），（﹣1，5），
（2）如图，△A2B2C2即为所作，A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5），
故答案为：（4，﹣2），（2，﹣1），（1，﹣5），
（3）根据题意知P2（b，﹣a）．
【变式8-3】（2023秋•孝义市期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．
（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1 （4，﹣5） ，B1 （3，﹣1） ，C1 （1，﹣3） ．注：点A与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；
（2）点P的对应点P1的坐标是 （b，﹣a） ；
（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是 （﹣b，a） ，点P1与点P2关于 原点 对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后写出A1，B1，C1的坐标；
（2）利用A1，B1，C1的坐标特征写出点P的对应点P1的坐标；
（3）先写出点P的对应点P2的坐标，再利用P1和P2的坐标特征可判断点P1与点P2关于原点对称．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；
故答案为（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；
（2）点P的对应点P1的坐标是 （b，﹣a）；
故答案为（b，﹣a）；
（3）点P的对应点P2的坐标是（b，﹣a），点P1与点P2关于原点对称．△ABC
A（a，0）
B（5，3）
C（2，1）
△A′B′C′
A′（3，4）
B′（7，b）
C′（c，d）