初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课后作业题

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课后作业题，共33页。

【知识点1 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 等腰三角形的性质（角度问题）】
【例1】（2023•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【变式1-1】（2023春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
【变式1-2】（2023春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；
（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．
【变式1-3】（2023秋•仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．
（1）求证：∠ABD＝∠ADC；
（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；
（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．
【题型2 等腰三角形的性质（周长问题）】
【例2】（2023秋•罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为 ．
【变式2-1】（2023春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为 cm．
【变式2-2】（2023秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm．
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．
【变式2-3】（2023春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．
【题型3 等腰三角形的性质（多结论问题）】
【例3】（2023春•商河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-1】（2023春•宿州期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2023春•开福区校级期末）如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正确结论的序号为 ．
【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
【题型4 等腰三角形的性质（三线合一问题）】
【例4】（2023秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【变式4-1】（2023秋•伊犁州期末）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
①试说明△OBC是等腰三角形；
②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
【变式4-2】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接
DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．
【变式4-3】（2023春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．
【题型5 等腰三角形的判定（个数问题）】
【例5】（2023秋•汇川区期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-1】 （2023秋•西华县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-2】（2023春•蕲春县期中）已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（ ）
A．9个B．8个C．7个D．6个
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【题型6 等腰三角形的判定（证明问题）】
【例6】（2023春•新城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【变式6-2】（2023秋•包河区期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【变式6-3】如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
专题1.1 等腰三角形-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 等腰三角形的性质（角度问题）】
【例1】（2023•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
【变式1-1】（2023春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
【解题思路】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解；
（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解．
【解答过程】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
所以∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；
（2）∵∠BOC＝130°，
∴∠1+∠2＝50°，
∵∠1：∠2＝3：2，
∴，，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．
【变式1-2】（2023春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；
（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．
【解题思路】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC＝90°，从而可得∠BPD；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP＝EC，②若PC＝PE，③若CP＝CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD＝90°，以及y解出x即可．
【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝34°，
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；
（2）∵∠A＝x°，
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90）°，
由（1）可得：∠ABP∠ABC＝（45）°，∠BDC＝90°，
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45）°＝（）°，
即y与x的关系式为y，
（3）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，
①若EP＝EC，
则∠ECP＝∠EPC＝y°，
而∠ABC＝∠ACB＝（90）°，∠ABC+∠BCD＝90°，
则有：（90）°+（90y）°＝90°，又y，代入，
∴（90）°+（90）°﹣（）°＝90°，
解得：x＝36；
②若PC＝PE，
则∠PCE＝∠PEC＝（180﹣y）°÷2＝（90）°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90）°+[（90）°﹣（90）°]＝90°，
又y，代入，
解得：x；
③若CP＝CE，
则∠EPC＝∠PEC＝y°，∠PCE＝180°﹣2y°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90）°+（90）°﹣（180﹣2y）°＝90°，又y，代入，
解得：x＝0，不符合，
综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A的度数为36°或（）°．
【变式1-3】（2023秋•仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．
（1）求证：∠ABD＝∠ADC；
（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；
（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．
【解题思路】（1）由∠AED是△ABE和△CDE的外角，∠BAC＝∠BDC＝α可知∠ABD＝∠ACD，由AC＝AD可得∠ACD＝∠ADC，等量代换即可；
（2）根据∠AED是△CDE的外角表示出∠AED的度数，由条件∠AED＝65°，进行变形即可；
（3）延长BA到F，使AF＝AC，通过SAS证△ADF≌△ADC得FD＝CD，再通过等边对等角证BD＝FD即可证出．
【解答过程】（1）证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠AED是△ABE和△CDE的外角，∠BAC＝∠BDC＝α，
∴∠AED＝∠ABD+α＝∠ACD+α，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ADC，
∴∠ABD＝∠ADC；
（2）∵AC＝AD，∠CAD＝β，
∴∠ACD（180°﹣β）＝90°，
∵∠AED是△CDE的外角，∠BDC＝α，
∴∠AED＝∠ACD+α＝90°α，
∵∠AED＝65°，
∴90°α＝65°，
∴β﹣2α＝50°；
（3）解：延长BA到F，使AF＝AC，连接FD，
∵∠BAC＝α，∠CAD＝β，
∴∠DAF＝180°﹣α﹣β，
∵α+2β＝180°，
∴∠DAF＝180°﹣α﹣β＝α+2β﹣α﹣β＝β＝∠DAC，
在△ADF和△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴FD＝CD，∠F＝∠ACD，
∵由（1）得∠ABD＝∠ACD，
∴∠F＝∠ABD，
∴FD＝BD，
∴CD＝BD
【题型2 等腰三角形的性质（周长问题）】
【例2】（2023秋•罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为 9或13 ．
【解题思路】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
【解答过程】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，
∴有两种情况：
当3x＝18且x+y＝15时，
解得x＝6，y＝9，
即AC的长为9；
当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13，
此时腰为10，
即AC的长为13．
综上所述，AC的长为9或13．
故答案为：9或13．
【变式2-1】（2023春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为 22 cm．
【解题思路】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6，即可得出答案．
【解答过程】解：根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD＝CF＝BE，BF＝BC+CF，DE＝AB＝AC＝DF＝6cm；
又∵BC＝4cm，EC＝1cm，
∴BE＝BC﹣EC＝3cm，
∴AD＝CF＝BE＝3cm，BF＝BC+CF＝7cm，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6＝22cm．
故答案为22．
【变式2-2】（2023秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm．
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．
【解题思路】（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm，代入求出即可；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．
【解答过程】解：（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm，
∵三角形的周长是28cm，
∴a+a+1.5a＝28，
∴a＝8，
1.5a＝12，
∴这个等腰三角形的三边长分别为8cm，8cm，12cm；
（2）①底边长为10cm，则腰长为：（28﹣10）÷2＝9，所以另两边的长为9cm，9cm，能构成三角形；
②腰长为10cm，则底边长为：28﹣10×2＝8，以另两边的长为10cm，8cm，能构成三角形．
因此另两边长为9cm，9cm或10cm，8cm．
【变式2-3】（2023春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．
【解题思路】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为26cm可得AB长，进而可得答案．
【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝40°，
∴∠ABC70°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵△BCD的周长为16cm，
∴BC+CD+BD＝16，
∴BC+CD+AD＝16，
∴BC+CA＝16，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．
【题型3 等腰三角形的性质（多结论问题）】
【例3】（2023春•商河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解答过程】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
【变式3-1】（2023春•宿州期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，然后对各小题分析判断解答即可．
【解答过程】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB上一点与AC上一点到D的距离相等错误；AD上任意一点到AB、AC的距离相等正确，故①错误，②正确；
又∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C，
∴BDE＝∠CDF，故③正确；
根据等腰三角形三线合一的性质，BD＝CD，AD⊥BC，故④正确，
综上所述，正确的结论有②③④共3个．
故选：C．
【变式3-2】（2023春•开福区校级期末）如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正确结论的序号为 ②③④． ．
【解题思路】取DC的中点F，连接BF，则CD＝2CF，通过证明△CEB≌△CFB可判定②④，结合三角形外角的性质可判定③，根据已知条件无法判定①．
【解答过程】解：取DC的中点F，连接BF，则CD＝2CF，
∵B为AD的中点，
∴BF为△ACD的中位线，
∴BF∥AC，AC＝2BF，
∴∠CBF＝∠ACB，
∵AB＝AC，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝BF，∠ABC＝∠ACB＝∠CBF，
∵CB＝CB，
∴△CEB≌△CFB（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠BCD，故②正确；
∴CD＝2CE，故④正确；
∵∠ABC＝∠ACB，∠ACB＝∠BDC+∠BCD，∠ABC＝∠ACE+∠ECB，
∴∠ACE+∠ECB＝∠BDC+∠BCD，
∵∠ECB＝∠BCD，
∴∠ACE＝∠BDC，故③正确；
根据已知条件无法证明BC＝BD，故①错误．
故答案为②③④．
【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．
其中正确的结论是 ①②③ （把你认为正确结论的序号都填上）．
【解题思路】①根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD＝CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，故④错误．
【解答过程】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故③正确；
④∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，故④错误，
故答案为：①②③．
【题型4 等腰三角形的性质（三线合一问题）】
【例4】（2023秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答过程】解：∵AB＝AC，∠C＝40°
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【变式4-1】（2023秋•伊犁州期末）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
①试说明△OBC是等腰三角形；
②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
【解题思路】①根据对边对等角得到∠ABC＝∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC＝∠OCB，从而证明OB＝OC；
②首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC．
【解答过程】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA；
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC＝∠BCO；
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形．
②在△AOB与△AOC中．
∵，
∴△AOB≌△AOC（SSS）；
∴∠BAO＝∠CAO；
∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）
解法二：∵OB＝OC，AB＝AC，
∴OA垂直平分线段BC．
【变式4-2】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接
DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．
【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一即可解决问题．
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，证明∠BDF＝90°．
【解答过程】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DE是∠AEB的平分线．
（2）解：∵∠A＝38°，
∴∠ABE＝∠A＝38°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝71°，
∵EA＝EB，AD＝DB，
∴ED⊥AB，
∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．
【变式4-3】（2023春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．
【解题思路】（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF＝∠AFE，利用等角对等边即可证得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．
【解答过程】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；
（2）DE＝DF．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，
∴AD也是∠BAC的平分线．
又∵△AEF是等腰三角形，
∴AG是底边EF上的高和中线，
∴AD⊥EF，GE＝GF，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴DE＝DF．
【题型5 等腰三角形的判定（个数问题）】
【例5】（2023秋•汇川区期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答过程】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【变式5-1】 （2023秋•西华县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解答过程】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：B．
【变式5-2】（2023春•蕲春县期中）已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（ ）
A．9个B．8个C．7个D．6个
【解题思路】分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，即可得符合条件的B点个数．
【解答过程】解：分三种情况说明：
①以点O为圆心，OA长为半径画圆，
与x轴、y轴有4个交点，
这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；
②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．
故选：B．
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【解题思路】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【解答过程】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
【题型6 等腰三角形的判定（证明问题）】
【例6】（2023春•新城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【解题思路】求出∠CBF＝90°，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB＝CB，再根据等腰三角形的判定推出即可．
【解答过程】证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【解题思路】（1）利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案；
（2）由（1）易得∠BAC＝∠BCA，进而可求解∠FAC＝∠FCA，即可证明结论．
【解答过程】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
【变式6-2】（2023秋•包河区期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【解题思路】（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
【解答过程】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
【变式6-3】如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
【解题思路】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD＝CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．
【解答过程】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．