北师大版七年级下册3 平行线的性质复习练习题

这是一份北师大版七年级下册3 平行线的性质复习练习题，共57页。试卷主要包含了7平行线的性质与判定大题专练等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（吉林省吉林市亚桥中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，已知于点，于点，交于点，交的延长线于点，且问：平分吗？并说明理由．
2．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
3．（江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DEAC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
4．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
5．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点，为四边形的边的延长线上的两点，连接，，作的平分线交的延长线于点．若，，．
(1)判断与是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
6．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
7．（辽宁省丹东市振兴区第六中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．
(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
8．（贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，平分，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
9．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）如图，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
10．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知ABCD，∠C＝∠B．
(1)求证：CFBD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
11．（湖北省宜昌市五峰土家族自治县2021-2022学年七年级下学期期末学业水平监测数学试题）已知：如图，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
12．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在中，，CD是AB边上的高，点E在AC上，，垂足为点F，若，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
13．（江苏省苏州市吴江区铜罗中学、盛泽一中2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为．
(1)求证：//；
(2)如果，且，求的度数．
14．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点在直线上，射线、分别平分、．
(1)试判断、的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求证：．
15．（江苏省连云港市东海县2018-2019学年第二学期七年级下学期期末试题）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
16．（陕西省宝鸡市陇县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
17．（江苏省淮安市涟水县第四中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
18．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中，，，）设．
(1)若，说明；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若，求的度数．
19．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线，，，在线段上（不与点，重合），且满足，平分．
(1)求证：；
(2)求的度数．
20．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数．
21．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于F．
(1)当时：
①判断直线与的关系，并说明理由．
②若求的度数．
(2)当时，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
22．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
23．（陕西省渭南市潼关县2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
24．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数；
(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数．
25．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，过点P作，则与平行吗？为什么？
26．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 ．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 ．
27．（四川省资阳市安岳县2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）已知，是直线上一点，，将一直角三角板绕点旋转，其中，．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
28．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2022—2023学年七年级上学期期中测试数学试卷）如图，已知：射线交于E，．
(1)求证：．
(2)如图2，Y为射线上一动点，直接写出之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于W，N为线段上一动点，若平分，平分时，求的值．
29．（黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2022-2023学年七年级上学期数学学科线上线下教学衔接学业质量检测）已知，点A在上，的两边与相交于点B，与相交于点C，平分．
(1)如图1，若，，的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，求证；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若，，请在备用图中画出相应的图形，并求出的度数．
30．（四川省宜宾市叙州区天池中学2022-2023学年七年级上学期11月月考数学试题）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
专题2.7平行线的性质与判定大题专练（拔高篇，重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（吉林省吉林市亚桥中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，已知于点，于点，交于点，交的延长线于点，且问：平分吗？并说明理由．
【答案】平分，理由见解析
【分析】根据题意易得且，，再根据等式的性质可得；故AD平分．
【详解】解：平分．
理由：如图所示
，，
，
．
又，
∴，
平分．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定及角与角相互间的等量关系．
2．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再结合可得，然后根据平行线的判定即可得．
【详解】解：，理由如下：
分别平分，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
3．（江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DEAC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）只需要证明∠EDA=∠CAD，即可证明DEAC；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EDF=50°，进而求出∠BED=95°，再利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴；
（2）
解：∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，
∵，
∴∠BAC=∠BED=95°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
4．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）已知，所以，又因为，可以得出
即可判定；
（2）已知，，可以得出，即可得出；
（3）由（1）（2）可知，，可以得出，；可以得出，可以得出，又因为，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：，，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
5．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点，为四边形的边的延长线上的两点，连接，，作的平分线交的延长线于点．若，，．
(1)判断与是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
【答案】(1)DEBF，理由见解析
(2)说明见解析
【分析】（1）根据平行线的判定得出BDCE，根据平行线的性质得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，根据平行线的判定得出ABCD，根据平行线的性质得出∠2＝∠BGD即可；
（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根据三角形的外角性质得出即可．
（1）
解：（1）DEBF，
理由是：∵∠3＝∠4，
∴BDCE，
∴∠5＝∠FAB，
∵∠5＝∠C，
∴∠C＝∠FAB，
∴ABCD，
∴∠2＝∠BGD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BGD，
∴DEBF；
（2）
∵ABCD，
∴∠P＝∠PDH，
∵DP平分∠BDH，
∴∠BDP＝∠PDH，
∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，
∵∠5＝∠P＋∠BDP，
∴∠5＝2∠P，
∵∠C＝∠5，
∴∠C＝2∠P．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
6．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
7．（辽宁省丹东市振兴区第六中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．
(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)ABCD，理由见解析；
(2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根据∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，进而得出结论；
（2）根据已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根据三角形的内角和定理可得∠E＝90°，从而证得结论．
（1）
解：ABCD，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1和∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°，
∴ABCD；
（2）
∠E＝∠EAB +∠DCE，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠DCE＝90°，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠EAB +∠DCE．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
8．（贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，平分，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）先根据角平分线的定义与角的和差，得到的度数，再根据同旁内角互补可得结论；
（2）利用三角形的内角和是可得答案．
（1）
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
解：由（1）得，，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定和三角形的内角和定理，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
9．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）如图，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行可得，可证，结合，可得，根据同旁内角互补，两直线平行即可得解；
（2）由得，继而得到的度数．
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用，解题时注意与方程思想相结合．
10．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知ABCD，∠C＝∠B．
(1)求证：CFBD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)42°
【分析】（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；
（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CFBD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．
（1）
证明：∵ABCD，
∴∠C=∠FAB，
∴∠C=∠B，
∴∠B=∠FAB，
∴CFBD；
（2）
解：∵CFBD，
∴∠FAD+∠ADB=180°，
∵∠ADB=96°，
∴∠FAD=180°-96°=84°，
∵AB平分∠FAD，
∴∠FAB=∠FAD＝×84°=42°，
∵CFBD，
∴∠B=∠FAB=42°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
11．（湖北省宜昌市五峰土家族自治县2021-2022学年七年级下学期期末学业水平监测数学试题）已知：如图，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠C=
【分析】（1）先证明，可得FGB，再证明，从而可得答案；
（2）由，可得，再把 代入进行计算即可.
【详解】（1）证明：，
∴，
FGB，
，
，
∴；
（2）解：由（1）得，，
，
，
∴=
，
．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.
12．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在中，，CD是AB边上的高，点E在AC上，，垂足为点F，若，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】DG⊥BC；理由见解析
【分析】根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可得出，根据，即可得出结果．
【详解】解：DG⊥BC；理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DG⊥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．
13．（江苏省苏州市吴江区铜罗中学、盛泽一中2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为．
(1)求证：//；
(2)如果，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB＝100°
【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠BFE＝∠BDC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明CD//EF；
（2）由于CD//EF，则∠2＝∠BCD，利用∠1＝∠2得到∠BCD＝∠1，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，然后根据平行线的性质求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CDEF；
（2）
解：∵CD//EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠1，
∴DG//BC，
∴∠ACB＝∠3＝100°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
14．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点在直线上，射线、分别平分、．
(1)试判断、的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求证：．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；
（2）由等角的余角相等可证得，进而可得，再由内错角相等两直线平行即可证得．
(1)
解：，
理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
，
∴，
∴；
(2)
证明：∵（已证），（已知），
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．
15．（江苏省连云港市东海县2018-2019学年第二学期七年级下学期期末试题）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠C=∠D，理由见解析.
【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；
（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠DGH=52°，∠2=128°，
∴∠DGH+∠2=180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∠C=∠D．
理由：∵BD∥CE，
∴∠D=∠CEF．
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠CEF，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
16．（陕西省宝鸡市陇县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
【答案】（1）AD∥BC，理由详见解析；（2）AB∥EF，理由详见解析
【分析】（1）先根据补角的性质证明∠ADF=∠BCF，然后根据同位角相等两直线平行即可证明AD∥BC；
（2）根据BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E可证∠E=∠ABE，结论：AB∥EF， 然后根据内错角相等两直线平行即可证明AB∥EF．
【详解】（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；．
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了补角的性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（江苏省淮安市涟水县第四中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)135°
【分析】（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．
（1）
证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度数是135°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
18．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中，，，）设．
(1)若，说明；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）分两种情形：如图②中，当时，如图③中，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠，，
∴∠ACE=∠A，
∴；
（2）解：如图②中，当时，则，
；
如图③中，当时，则，
．
综上所述，的值为15°或165°．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
19．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线，，，在线段上（不与点，重合），且满足，平分．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）根据，推出，根据，得到，推出；
（2）根据平分，得到，根据，推出∠EOB=∠COA，根据，∠C=108°，推出 ，得到．
（1）
证明：∵，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）
解：∵平分，
∴，
∵，
∴
，
∵，∠C=108°，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线，角平分线，解决问题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义．
20．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后计算即可得证；
（2）过点作于点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得．
（1）
证明：如图，过点作于点，
，
，
，
，
．
（2）
解：如图，过点作于点，
，，
，
，
解得，
平分，平分，
，
，
由（1）已得：，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
21．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于F．
(1)当时：
①判断直线与的关系，并说明理由．
②若求的度数．
(2)当时，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)①；理由见解析；②∠DFB＝115°
(2)∠DFB＝180°−α
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；
（2）作，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．
（1）
解：①，理由如下：
∵，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DA是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠ADC，
∵∠FDC＋∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴；
②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，
∴∠FBC＝65°，
∵，
∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．
（2）
作，如图所示：
∵，
∴，
∴∠1＝180°−∠EDC，
∠2＝180°−∠ABC，
∴∠BCD＝∠1＋∠2
＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC
＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF
＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF
＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）
＝360°−2∠DFB
＝α
∴∠DFB＝180°−α．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
22．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作交NG于P，由于，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴；
（2）解：∠NBG∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴，
又∵CM∥DH，
∴，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG∠NBP=∠NBG∠ANB，
∴∠NBG∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（陕西省渭南市潼关县2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）只需要证明即可证明；
（2）先证明得到则，再由即可证明；
（3）根据平行线的性质得到，，再结合已知条件求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
24．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数；
(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数．
【答案】(1)90°
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出，根据两直线平分线同旁内角互补得到，进而可求出的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到，然后根据平行线的性质得到，进而可得到；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到，然后根据角平分线的概念得到，最后结合（2）的结论求解即可．
【详解】（1）解：，
．
，
，
．
，
．
．
即．
（2）解：．
理由：，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：，
，
，
又的平分线和的平分线交于点G，
，
由（2）可知，，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
25．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，过点P作，则与平行吗？为什么？
【答案】(1)，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得，则，由即可得到结论．
【详解】（1）解：，
理由：∵，，
，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
，
，
即．
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
26．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 ．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②结论：
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过作，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
；
（2）解：①如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
②结论：．
理由：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
27．（四川省资阳市安岳县2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）已知，是直线上一点，，将一直角三角板绕点旋转，其中，．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
【答案】(1)30°
(2)165°
【分析】（1）根据平角定理和，可知，，再依据平分，可得，又根据，进而可知；
（2）根据，可知，再由，可求出，又根据，可得，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算应用等知识，解题关键是根据图形求出各个角的度数．
28．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2022—2023学年七年级上学期期中测试数学试卷）如图，已知：射线交于E，．
(1)求证：．
(2)如图2，Y为射线上一动点，直接写出之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于W，N为线段上一动点，若平分，平分时，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出，根据平行线的判定得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得，结合可得答案；
（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出，，由三角形外角的性质可得，再求出，进而可计算的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴；
（3）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵YN平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
29．（黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2022-2023学年七年级上学期数学学科线上线下教学衔接学业质量检测）已知，点A在上，的两边与相交于点B，与相交于点C，平分．
(1)如图1，若，，的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，求证；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若，，请在备用图中画出相应的图形，并求出的度数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得，再根据平分的性质即可推出数量关系；
（2）由得到，再由结合可列出，求得，从而得到，此题得证；
（3）设，根据题意得，，再根据列方程并解出，最后根据余角性质求出，此题得解．
【详解】（1），
证明：∵，平分，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，∴，
∵，，，
平分，，
∴，，
∴，
∴与都相交于直线上的A点，
并且在同一平面内，，
∴；
（3）证明：设，则，
，，
，解得
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质的综合题，熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．
30．（四川省宜宾市叙州区天池中学2022-2023学年七年级上学期11月月考数学试题）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可求得，再根据角平分线的定义求得即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，进而求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，，，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
当时，则，
当时，则；
故答案为：，；
（3）解：.理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是解答的关键．