北师大版七年级数学下册尖子生培优必刷题 专题4.2与三角形有关的角专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析 ）

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专题4.2与三角形有关的角专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•黄岛区校级期末）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　）A．180° B．220° C．230° D．240°2．（2022秋•平南县期末）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（　　）A．35° B．40° C．45° D．55°3．（2023秋•榆林期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　）A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定4．（2022秋•辛集市校级期末）已知等腰三角形的一个外角是90°，则这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形5．（2022秋•盐津县期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）A．∠A＝26°，∠B＝64° B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠B＝90°﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝2：3：46．（2022秋•平南县期末）在△ABC中，∠A＝60°，直线MN∥BC，MN分别与AB，AC相交于点D，E，若∠ADM＝139°，则∠C的度数是（　　）A．75° B．79° C．81° D．83°7．（2022秋•定陶区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝20°，则∠EDC等于（　　）A．42° B．66° C．65° D．75°8．（2022秋•阳东区期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　）A．42° B．40° C．38° D．35°10．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（　　）A． B． C．30°﹣ D．45°﹣α二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•昭阳区期中）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为 　 　．12．（2022秋•临高县期中）如图，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，则∠A的度数是 　 　．13．（2022秋•西华县期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠EDF分别交AC，AB于点E，F，且∠EDF＝∠B，∠BFD＝30°，∠C＝55°，则∠DEC＝　 　．14．（2022秋•望花区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝30°，P是AC边上的动点，当△BCP为直角三角形时，∠ABP的度数是 　 　．15．（2023秋•三穗县校级期末）如图1所示，△ABO与△CDO称为对角“三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，在图2中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠G＝　 　．16．（2022秋•高安市期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 　 　．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．18．（2022秋•怀宁县期中）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝86°，∠C＝58°，求∠AOB的大小．19．（2022秋•谷城县期中）在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．20．（2022春•巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠ACB＝78°，求∠BFC的度数．21．（2022秋•绥宁县期中）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，外角∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，AF∥CE交BC于点F，试求∠BAF的度数．22．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知△ABC，∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，求∠BOC的度数；（2）请探究∠BAC和∠BOC之间的数量关系，并说明理由．23．（2022秋•盐津县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．24．（2022•天津模拟）如图1，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，通过分析发现∠BPC＝90°+∠A，理由如下：∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）．又∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）①如图2中，H是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线BH和CH的交点，若∠A＝100°，则∠BHC＝　 　．②若∠A＝n°，则∠BHC＝　 　（用含n的式子表示）．请说明理由．（2）如图3中，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，过点P作DP⊥PC，交AC于点D．△ABC外角∠ACF的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与∠ADP相等的角是 　 　；（填选项）A．∠APCB．∠APBC．∠BPC专题4.2与三角形有关的角专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•黄岛区校级期末）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　）A．180° B．220° C．230° D．240°【分析】先根据三角形内角和定理求得∠B+∠C的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠B+∠C＝130°．∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．故选：C．2．（2022秋•平南县期末）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（　　）A．35° B．40° C．45° D．55°【分析】利用普吉岛定义，构建方程组即可解决问题．【解答】解：由题意解得∠2＝55°．故选：D．3．（2023秋•榆林期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　）A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定【分析】利用三角形的外角性质即可求解．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠A，∴∠B＜∠ACD．故选：C．4．（2022秋•辛集市校级期末）已知等腰三角形的一个外角是90°，则这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形【分析】根据外角求出它的内角，即可判断该三角形是什么三角形．【解答】解：根据题意得：等腰三角形的一个外角是90°，则该角相邻的内角为90°．则该三角形一定是直角三角形．故选：C．5．（2022秋•盐津县期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）A．∠A＝26°，∠B＝64° B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠B＝90°﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4【分析】利用三角形内角和定理及各角之间的关系，可求出各三角形中最大角的度数，取不是90°的选项即可得出结论．【解答】解：A．在△ABC中，∠A＝26°，∠B＝64°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣26°﹣64°＝90°，∴△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；B．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；C．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝90°﹣∠A，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；D．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴∠C＝180°×＝80°＜90°，∴△ABC是锐角三角形，选项D符合题意．故选：D．6．（2022秋•平南县期末）在△ABC中，∠A＝60°，直线MN∥BC，MN分别与AB，AC相交于点D，E，若∠ADM＝139°，则∠C的度数是（　　）A．75° B．79° C．81° D．83°【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE，由∠AEN＝∠C计算即可．【解答】解：∵∠ADM＝139°，∠A＝63°，∴∠ADE＝41°，∴∠AEN＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣41＝79°，∵MN∥BC，∴∠C＝∠ADE＝79°，故选：B．7．（2022秋•定陶区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝20°，则∠EDC等于（　　）A．42° B．66° C．65° D．75°【分析】求出∠B，∠DCB即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，由折叠可知，∠DCB＝∠DCE＝45°，∠BDC＝∠EDC∴∠EDC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，故选：C．8．（2022秋•阳东区期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】利用折叠可以得到∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED进而解题．【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×150°＝60°．故选：D．9．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　）A．42° B．40° C．38° D．35°【分析】根据AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，得出，，根据∠P＝70°，得出∠PAC+∠PCA＝110°，根据∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，得出∠BAC+∠BCA＝140°，最后根据三角形的内角和，得出∠B＝40°．【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，∴，，∵∠P＝70°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°，∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°，∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确．故选：B．10．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（　　）A． B． C．30°﹣ D．45°﹣α【分析】过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，先计算出∠EAM，则AE平分∠MAD，根据角平分线的性质得EM＝EN，再由CE平分∠ACB得到EM＝EH，则EN＝EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，再根据三角形外角性质解答即可．【解答】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，∵∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，∴∠EAM＝90°﹣，∴AE平分∠MAD，∴EM＝EN，∵CE平分∠ACB，∴EM＝EH，∴EN＝EH，∴DE平分∠ADB，∴∠1＝∠ADB，由三角形外角可得：∠1＝∠DEC+∠2，∵∠2＝∠ACB，∴∠1＝∠DEC+∠ACB，而∠ADB＝∠DAC+∠ACB，∴∠DEC＝∠DAC＝α，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•昭阳区期中）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为 　60°　．【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再根据∠B﹣∠C＝30°，即可求出∠B的度数．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠C＝90°﹣∠B，∵∠B﹣∠C＝30°，∴∠B﹣（90°﹣∠B）＝30°，解得∠B＝60°，故答案为：60°．12．（2022秋•临高县期中）如图，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，则∠A的度数是 　45°　．【分析】利用三角形的外角性质，即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠DCA是△ABC的外角，∴∠DCA＝∠A+∠B，∴∠A＝∠DCA﹣∠B＝100°﹣55°＝45°．故答案为：45°．13．（2022秋•西华县期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠EDF分别交AC，AB于点E，F，且∠EDF＝∠B，∠BFD＝30°，∠C＝55°，则∠DEC＝　95°　．【分析】根据各角之间的关系，可得出∠CDE＝∠BFD，再在△CDE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠DEC的度数．【解答】解：∵∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠CDE＝∠BFD＝30°．在△CDE中，∠CDE＝30°，∠C＝55°，∴∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C＝180°﹣30°﹣55°＝95°．故答案为：95°．14．（2022秋•望花区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝30°，P是AC边上的动点，当△BCP为直角三角形时，∠ABP的度数是 　50°或20°　．【分析】分两种情况讨论：①当∠BPC为直角时；②当∠PBC为直角时，结合三角形的内角和定理及三角形的外角性质进行求解即可．【解答】解：①当∠BPC为直角时，∵∠BPC为△ABP的外角，∠A＝40°，∴∠ABP＝∠BPC﹣∠A＝50°；②当∠PBC为直角时，∵∠A＝40°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝20°．故答案为：50°或20°．15．（2023秋•三穗县校级期末）如图1所示，△ABO与△CDO称为对角“三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，在图2中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠G＝　540°　．【分析】先连接BE，构造“对顶三角形”，得出∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，再根据五边形内角和为540°，得出∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G＝540°，进而得到∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°．【解答】解：如图2，连接BE，由对顶三角形可得，∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G＝540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G＝540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，故答案为：540°．16．（2022秋•高安市期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 　80°　．【分析】根据半角三角形的定义得出β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．【解答】解：∵α＝40°，∴β＝2α＝80°，∴第三个角的度数＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴最大内角的度数80°．故答案为：80°．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，进而根据直角三角形的锐角互余求出∠ADE即可．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝50°．18．（2022秋•怀宁县期中）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝86°，∠C＝58°，求∠AOB的大小．【分析】首先利用三角形的内角和定理求出∠ABC，然后利用三角形的高的定义及三角形的外角与内角的关系即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝86°，∠C＝58°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝36°，又∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠ABC＝18°．∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠AOB＝∠OBD+∠ADB＝18°+90°＝108°．19．（2022秋•谷城县期中）在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．【分析】根据三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝100°，根据∠C＝2∠B＝100°，即可求出∠B＝50°，进而求出∠A＝30°．【解答】解：∵∠A+∠B＝80°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝100°，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝2∠B＝100°，∴∠B＝50°，∴∠A＝30°．即∠A，∠B，∠C的度数分别为30°，50°，100°．20．（2022春•巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠ACB＝78°，求∠BFC的度数．【分析】根据角平分线可求出∠FBC和∠FCB，进而根据内角和定理可得答案．【解答】解：∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，∠ABC＝42°，∠ACB＝78°，∴∠ABE＝∠CBE＝21°，∠ACD＝∠BCD＝39°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣21°﹣39°＝120°，21．（2022秋•绥宁县期中）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，外角∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，AF∥CE交BC于点F，试求∠BAF的度数．【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义，可得出∠ACE的度数，由AF∥CE，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠CAF的度数，再将其代入∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF中，即可求出∠BAF的度数．【解答】解：∵∠ACD为△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝100°﹣30°＝70°．∵∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACD＝×100°＝50°．∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝50°，∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF＝70°﹣50°＝20°．22．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知△ABC，∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，求∠BOC的度数；（2）请探究∠BAC和∠BOC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由补角的定义可得∠ACD＝110°，由角平分线的定义可求得∠CBO＝30°，∠DCO＝55°，再利用三角形的外角性质即可求∠BOC的度数；（2）由三角形外角的性质可得∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，再由角平分线的定义可得∠DCO＝∠ACD，∠CBO＝∠ABC，则可求得∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO，从而可得到∠BAC与∠BOC的关系．【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝110°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∠ABC＝60°，∴∠CBO＝∠ABC＝30°，∠DCO＝∠ACD＝55°，∵∠ACD是△BCO的外角，∴∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO＝25°；（2）∠BOC＝∠BAC，理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠DCO＝∠ACD，∠CBO＝∠ABC，∵∠DCO是△BCO的外角，∴∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠BAC．23．（2022秋•盐津县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°，∴∠ADC＝65°，∴∠E＝25°；（2）．设∠B＝n°，∠ACB＝m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°，∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．24．（2022•天津模拟）如图1，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，通过分析发现∠BPC＝90°+∠A，理由如下：∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）．又∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）①如图2中，H是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线BH和CH的交点，若∠A＝100°，则∠BHC＝　40°　．②若∠A＝n°，则∠BHC＝　，　（用含n的式子表示）．请说明理由．（2）如图3中，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，过点P作DP⊥PC，交AC于点D．△ABC外角∠ACF的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与∠ADP相等的角是 　B　；（填选项）A．∠APCB．∠APBC．∠BPC【分析】（1）①先根据三角形内角和定理得到∠MBC+∠NCB的值，再根据角平分线得出∠HBC+∠HCB的值，最后求得∠BHC；②借助题中的结论和角平分线的性质得出∠PBH＝90°、∠PCH＝90°，进而在四边形PBHC中得出结论（2）借助角三角形外角的性质得到，，对等角进行等量代换即可得出结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°，∠MBC+∠NCB＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB＝360°﹣80°＝280°，∵BH和CH是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线，∴，∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣140°＝40°．故答案为：40°；②若∠A＝n°，则．理由：由图1结论可得，，∵H是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线BH和CH的交点，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，∴，同理可得∠PCH＝90°，∴四边形PBHC中，．故答案为：；（2）由题意可得，，∵DP⊥PC，CP是∠ACB的平分线，∴∠DPC＝90°，，又∵，∴∠ADP＝∠APB．故选：B．