2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,4}，集合B={3,5}，则∁U(A∪B)=( )
A. 3∈AB. {1,6}C. {6}D. ⌀
2.命题“∀x∈R，sinx+csx≤ 2”的否定是．( )
A. ∀x∈R，sinx+csx> 2B. ∃x∈R，sinx+csx≤ 2
C. ∀x∈R，sinx+csx≥ 2D. ∃x∈R，sinx+csx> 2
3.若锐角α，β满足csα=45，cs(α+β)=35，则sinβ的值是( )
A. 1725B. 35C. 725D. 15
4.已知a>0，则a+4a+1的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.函数f(x)=lg2(6−2x)+ x+4的定义域为( )
A. (3,+∞)B. (−4,3)C. (−4,+∞)D. [−4,3)
6.“sinα=sinβ”是“α=β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=lg2x+x,h(x)=x3+x的零点分别a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
8.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，OA=3OC=3，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是( )
A. 43πB. 83πC. 3πD. 163π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数f(x)=(12)x,x<2lg2(x−1),x≥2，若f(x)=1，则x的取值可能是( )
A. 0B. 3C. −1D. 2
10.下列等式正确的是( )
A. sin15°cs15°=14B. 2sin222.5°−1= 22
C. sin26°cs34°+cs26°sin34°= 32D. tan71°−tan26°1+tan71∘tan26∘=1
11.下列函数中，最小正周期是π，且在区间(π2,π)上单调递增的是( )
A. y=tanxB. y=cs2xC. y=sin2xD. y=|sinx|
12.下列说法正确的是( )
A. 若x<0，则|x|− x2+3x3|x|=1
B. 函数y=lg21−x1+x是奇函数
C. 函数y=21−x是R上的增函数
D. 将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=sin(2x−π3)的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α为锐角，且sinα=35，则cs(π−α)的值为______．
14.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最小值与最大值的和为3，则函数y=2ax−1在[0,1]上的最大值是______．
15.已知函数f(x)=x2−2x,x≥a,2x−2,x①当a=1时，f(x)在(0,+∞)上的最小值为______；
②若f(x)有2个零点，则实数a的取值范围是______．
16.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年(即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半)，某生物标本中该元素的初始存量为a，经检测生物中该元素现在的存量为a5，(参考数据：lg2≈0.3)请推算该生物距今大约______年.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(Ⅰ)823+2lg23−lg52−2lg2；
(Ⅱ)sin(−31π6)．
18.(本小题12分)
已知1与3是函数f(x)=x2+bx+c的两个零点．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)≤0，求x的取值范围；
(Ⅲ)若x∈[−2,5]，求函数f(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知sinα=3csα．
(Ⅰ)求tan(α+π4)的值；
(Ⅱ)求sin2α−sin2(π2−α)的值．
20.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)=lg13(−x+1)．
(1)求函数f(x)在(0,+∞)上的解析式，并判断其单调性(无需证明)；
(2)若f(3a−1)>−2，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
2022年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产x百台设备，需另投入成本f(x)万元，且f(x)=10x2+100x,060根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．
(1)求2022年该企业年利润Z(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？(注：利润=销售额−成本)
22.(本小题12分)
已知π3是函数f(x)=2asinxcsx+2cs2x+1的一个零点．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求f(x)单调递减区间．
(Ⅲ)若x∈[0,π2]，求函数f(x)的值域．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,4}，集合B={3,5}，
所以A∪B={2,3,4,5}，
则∁U(A∪B)={1,6}．
故选：B．
由已知结合集合的并集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定，属于基础题．
由全称量词的命题否定为存在量词命题可得结果．
【解答】
解：∵命题“∀x∈R，sinx+csx≤ 2”是一个全称命题，
又∵全称量词的命题否定为存在量词命题，
∴原命题的否定为“∃∈R，sinx+csx> 2”.
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：∵锐角α，β满足csα=45，cs(α+β)=35，
∴sinα= 1−cs2α=35，sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=45，
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=45×45−35×35=725，
故选：C．
依题意，可求得sinα与sin(α+β)，再利用两角和与差的三角函数计算即可．
本题考查了两角和与差的三角函数的简单应用，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：∵a>0，
∴a+4a+1≥2 a⋅4a+1=5，
当且仅当a=2时，等号成立；
故a+4a+1的最小值为5，
故选：D．
利用基本不等式求最值即可，注意“一正，二定，三相等”．
本题考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：f(x)=lg2(6−2x)+ x+4，
则6−2x>0x+4≥0，解得−4≤x<3．
故选：D．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
6.【答案】B
【解析】解：当取α=0，β=2π时，则sinα=sinβ，则充分性不成立，
当α=β时，则sinα=sinβ，则必要性成立，
则“sinα=sinβ”是“α=β”的必要不充分条件，
故选：B．
根据充分条件、必要条件定义可解．
本题考查充分条件、必要条件定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由f(x)=2x+x=0得2x=−x，g(x)=lg2x+x=0得lg2x=−x，h(x)=x3+x=0得x3=−x，
分别作出函数y=2x，y=lg2x，y=x3和y=−x的图象如图，
由图象知a故选：B．
利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数零点的求解和判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由已知∠AOB=23π，OC=1，
所以扇面面积为S=12×23π×32−12×23π×12=83π．
故选：B．
由扇形的面积公式计算即可(大扇形面积减去小扇形面积)．
本题考查了扇形面积计算问题，是基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：若x<2，则f(x)=(12)x=1，解得x=0，满足题意；
若x≥2，则f(x)=lg2(x−1)=1，得x=3，满足题意；
故选：AB．
根据分段函数的定义分类讨论求值即可．
本题考查分段函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：选项A，sin15°cs15°=12sin30°=14，即A正确；
选项B，2sin222.5°−1=−cs45°=− 22，即B错误；
选项C，sin26°cs34°+cs26°sin34°=sin(26°+34°)=sin60°= 32，即C正确；
选项D，tan71°−tan26°1+tan71∘tan26∘=tan(71°−26°)=tan45°=1，即D正确．
故选：ACD．
利用二倍角公式，可判断选项A和B；由两角和的正弦公式，可判断选项C；由两角差的正切公式，可判断选项D．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：A，y=tanx，最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递增，即A正确；
B，y=cs2x，最小正周期为2π2=π，且在(π2,π)上单调递增，即B正确；
C，y=sin2x，最小正周期为2π2=π，且在(π2,π)上不具有单调性，即C错误；
D，y=|sinx|，最小正周期为π，且在(π2,π)上单调递减，即D错误．
故选：AB．
根据三角函数的周期性与单调性，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的周期性与单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：若x<0，则|x|− x2+3x3|x|=−x+x+x−x=−1，A错误；
由1−x1+x>0可得−1则f(−x)=lg21+x1−x=−lg21−x1+x=−f(x)，即f(x)为奇函数，B正确；
由复合函数单调性可知，y=21−x是R上的减函数，C错误；
将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=sin[2(x−π6)]，即y=sin(2x−π3)的图象，D正确．
故选：BD．
结合根式的化简检验选项A；
结合奇函数的定义检验选项B；
结合复合函数的单调性检验选项C；
结合三角函数的图象的平移检验选项D．
本题主要考查了根式的化简，函数奇偶性的判断，复合函数的单调性，三角函数的图象的平移，属于基础题．
13.【答案】−45
【解析】解：α为锐角，且sinα=35，
则csα= 1−sin2α=45，
故cs(π−α)=−csα=−45．
故答案为：−45．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，以及诱导公式，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上为单调函数，
又函数f(x)在[0,1]上的最小值与最大值的和为3，
则a0+a1=3，解得a=2，
函数y=2ax−1=4x−1，在[0,1]上单调递增，
故函数y的最大值为4×1−1=3．
故答案为：3．
结合指数函数的单调性，先求出a，再结合一次函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
15.【答案】−1 (−∞,0]∪(1，2]
【解析】解：①当a=1时，f(x)=x2−2x,x≥12x−2,x<1，
x≥1，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，f(x)min=f(1)=−1，
020−2=−1，
故f(x)在(0,+∞)上的最小值为−1；
②x若存在零点，有且仅有一个零点，f(x)=2x−2=0，解得x=1，
x≥a，f(x)=x2−ax，若存在零点，f(x)=0，解得x=0或2，
若f(x)有2个零点，则实数a满足a>1a≤2或x≤1x≤0，
故实数a的取值范围是(−∞,0]∪(1，2]，
故答案为：−1，(−∞,0]∪(1，2]．
①当a=1时，f(x)=x2−2x,x≥12x−2,x<1，分x≥1和0②x1a≤2或x≤1x≤0，求解即可．
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
16.【答案】3780
【解析】解：设放射性元素的存量模型为y=mkt，由已知mk1620=12m，
∴k1620=12，
两边同时取对数，lgk1620=lg12，即1620lgk=lg12=−lg2，
设题中所求时间为t，则a⋅kt=15a，
∴kt=15，lgkt=lg15，tlgk=−lg5，
∴t1620=lg5lg2=1−lg2lg2，
∴t≈1620×1−．
故答案为：3780．
由指数函数模型求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
17.【答案】解：(I)823+2lg23−lg52−2lg2
=23×23+3−lg(52×4)
=4+3−1
=6；
(Ⅱ)sin(−31π6)=−sin31π6=−sin(4π+π+π6)=sinπ6=12．
【解析】(Ⅰ)结合指数及对数的运算性质即可求解；
(Ⅱ)结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，1与3是函数f(x)=x2+bx+c的两个零点，
则有b+c+1=03b+c+9=0，解可得b=−4c=3，
所以解析式为f(x)=x2−4x+3；
(Ⅱ)根据题意，由(Ⅰ)的结论，f(x)=x2−4x+3，
若f(x)=x2−4x+3≤0，则有x2−4x+3≤0，
解得1≤x≤3，所以x的取值范围为[1,3]；
(Ⅲ)因为f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1，
而x∈[−2,5]，结合二次函数的性质可得：−1≤f(x)≤15；
函数f(x)的值域为[−1,15]．
【解析】(Ⅰ)由函数零点的定义可得b+c+1=03b+c+9=0，解可得b、c的值，即可得答案；
(Ⅱ)根据题意，解不等式x2−4x+3≤0，即可得答案；
(Ⅲ)f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1，结合二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及函数的值域，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由已知得tanα=3，
所以tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanα⋅tanπ4=tanα+11−tanα=−2，
(Ⅱ)sin2α−sin2(π2−α)=2sinαcsα−cs2α，
=2sinαcsα−cs2αsin2α+cs2α=2tanα−1tan2α+1，
=2×3−19+1=12．
【解析】(Ⅰ)由题意可得tanα=3，根据两角和的正切公式运算求解；
(Ⅱ)根据诱导公式结合齐次式问题运算求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设x>0，则−x<0，所以f(−x)=lg13(x+1)，
又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以y=f(x)=f(−x)=lg13(x+1)，
则函数f(x)在(0,+∞)上的解析式为f(x)=lg13(x+1)，
函数在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增；
(2)由(1)可知：f(−8)=f(8)=−2，
所以不等式f(3a−1)>−2可化为f(3a−1)>−2=f(8)=f(−8)，
结合函数的单调性可知|3a−1|<8，
解得：−73所以实数a的取值范围为{a|−73【解析】(1)设x>0，则−x<0，根据题意得出f(−x)=lg13(x+1)，然后利用函数为偶函数即可求解；
(2)结合(1)的结论，求出f(−8)=f(8)=−2，将不等式等价转化为|3a−1|<8，解之即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题知，当0当x>60时，Z=700x−(701x2−9600x+10000x)−500=−x−10000x+9100，
所以z=−10x2+600x−500,060；
(2)若0所以当x=30时，Zmax=8500；
若x>60，则Z=−(x+10000x)+9100，
由Z≤−2 x×10000x+9100，当且仅当x=10000x，即x=100时，Zmax=8900．
因为8500<8900，
所以2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元．
【解析】(1)根据利润=销售额−投入成本−固定成本，即可求出Z关于x的函数关系式；
(2)分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润．
本题考查了利润函数模型应用问题，也考查了分段函数求最值问题，是中档题．
22.【答案】解：(I)因为f(x)=2asinxcsx+2cs2x+1=asin2x+cs2x+2，
又f(π3)=asin2π3+cs2π3+2=0解得a=− 3；
(Ⅱ)由(1)可得f(x)=− 3sin2x+cs2x+2=−2sin(2x−π6)+2，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
所以递减区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z，
(Ⅲ)因为x∈[0,π2]，所以−π6≤2x−π6≤5π6，
从而0≤−2sin(2x−π6)+2≤3，所以值域为[0,3]．
【解析】(Ⅰ)先利用二倍角进行化简，结合零点的意义代入即可求解a；
(Ⅱ)先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
(Ⅲ)结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数单调性的应用及函数值域的求解，属于中档题．