专题16分类讨论思想（押题预测40题：与方程不等式、函数、三角形、圆结合）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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（押题预测40题：与方程不等式、函数、三角形、圆结合）
类型一、方程与不等式中的分类讨论
1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1B．x≤﹣1或x≥2C．﹣1≤x≤2D．x≥2
【分析】以﹣1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【解答】解：如图，
当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0，
|x+1|+|x﹣2|
＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）
＝﹣x﹣1﹣x+2
＝﹣2x+1＞3；
当x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）+（x﹣2）
＝x+1+x﹣2
＝2x﹣1＞3；
当﹣1≤x≤2时，x+1≥0，x﹣2≤0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）﹣（x﹣2）
＝x+1﹣x+2＝3；
综上所述，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值，
所以当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2．
故选C．
【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以﹣1和2为界点对x的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
2．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．6
【分析】先解出x与a的关系，再通过x的取值范围得到a的范围，最后解关于y的不等式组由题意得到答案．
【解答】解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，
∵x解为正数，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞，
关于y的不等式组解为，
∵y恰有三个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣1＜a≤3，
分式方程中，x≠3，
∴2a﹣1≠3，
∴a≠2，
综上所述：＜a≤3，
∴满足条件的整数a为：1、3，
则所有满足条件的整数a的和是4．
故选：C．
【点评】考查解分式方程和解一元一次不等式组，关键是把分式方程化整式方程，解不等式组时分情况讨论解集．
3．下列说法：①若a＜b，则ac2＜bc2；②若ac＜bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，则
ac＞bd；④若ac2＜bc2，则a＜b．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据不等式的性质，通过分情况讨论进行辨别即可．
【解答】解：∵若a＜b，
当c≠0时，c2＞0，
则根据不等式的性质2可得，ac2＜bc2，
当c＝0时，c2＝0，
则ac2＝bc2，＝0，
∴命题①不正确；
∵若ac＜bc，
当c＞0时，根据不等式的性质2可得a＜b，
当c＜0时，根据不等式的性质3可得a＞b，
∴命题②不正确；
∵若a＞b，
当c＝d＞0时，可得ac＞bd，
当c＝d＝0时，可得ac＝bd，
当c＝d＜0时，可得ac＜bd，
∴命题③不正确；
∵若ac2＜bc2，
则c≠0，
∴c2＞0，
∴根据不等式的性质2可得a＜b，
∴命题④正确，
故选：D．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据题意准确选择所需要应用的性质，并进行讨论辨别．
4．定义运算“※”：a※b＝若3※x＝1，则x的值为（ ）
A．1B．5C．1或5D．5或7
【分析】先分类讨论，再解分式方程．
【解答】解：当x＜3，3※x＝．
∴x＝1．
当x＝1，3﹣x≠0．
∴的解是x＝1．
当x＞3，3※x＝．
解得：x＝5，
∴当x＝5，3﹣x≠0．
∴的解是x＝5．
综上：x＝1或5．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
5．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和p的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算．
6．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4，max{﹣2，﹣4}＝﹣2．按照这个规定，那么方程max{x，5x}＝2x+6的解为（ ）
A．x＝2B．x＝3或x＝﹣6C．x＝2或x＝﹣6D．x＝3
【分析】对x＞5x和x＜5x两种情况进行分类计算．
【解答】解：当x＞5x时可得，
x＝2x+6，
解得x＝﹣6，
∵5×（﹣6）＝﹣30，且﹣6＞﹣30，
∴x＝﹣6是该方程的解；
当x＜5x时，
5x＝2x+6，
解得x＝2，
∵5×2＝10，且2＜10，
∴x＝2是该方程的解，
故选：C．
【点评】此题考查了通过新定义问题解一元一次方程的能力，关键是能根据题目定义，分情况列出不同方程求解，并讨论结果是否符合题意．
7．若一次函数y＝kx+b（k≠0）在﹣3≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大5，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为1或﹣1
B．y随x的增大而减小
C．该函数的图象不可能经过第一、二、四象限
D．满足题意的函数表达式只有2个
【分析】根据一次函数的性质，分k＞0，k＜0分别求得最大值与最小值，根据在﹣3≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大5，求得k的值，继而逐项分析判断即可求解．
【解答】解：依题意，当k＞0时，则当x＝2时取得最大值y＝2k+b，
当x＝﹣3时，取得最小值y＝﹣3k+b，
依题意，2k+b﹣（﹣3k+b）＝5，
解得：k＝1，
当k＜0时，则当x＝2时取得最小值y＝2k+b，
当x＝﹣3时，取得最大值y＝﹣3k+b，
依题意，（﹣3k+b）﹣（2k+b）＝5，
解得：k＝﹣1，
∴k的值为1或﹣1，故A选项正确，B选项不正确，
∵b可以取任意数，故C，D选项不正确，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（1，0），B（3，0）．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上两个点．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．|y1|＜|y2|D．|y1|＞|y2|
【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，若a＞0时，抛物线开口向上，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，由于点到对称轴的距离越大，函数值越大，所以y1＞y2＞0；若a＜0时，抛物线开口向下，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，利用点到对称轴的距离越大，函数值越小得到y1＜y2＜0，从而得到|y1|＞|y2|．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为A（1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
若a＞0时，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＞y2＞0；
若a＜0时，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＜y2＜0，
∴|y1|＞|y2|．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．例如，如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤B．﹣2＜m≤C．﹣2＜m≤2D．﹣4＜m＜0
【分析】分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图象即可求得m的取值范围．
【解答】解：令±2x+4＝0，解得x＝2或﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0），
∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则﹣2＜m≤2；
从图象看，x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，故点C（1，2）．
当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，
当m≥0时，点C（m，4﹣2m），
将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，
解得m＝；
∴0≤m≤，
当m＜0时，m＝2m+4，
解得m＝﹣4，
∴﹣4＜m＜0．
又∵﹣2＜m≤2，
∴﹣2＜m＜0．
综上所述：m的取值范围是﹣2＜m≤．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点M从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→D运动，同时点N从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着C→D→A→B运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设S△DMN＝S，时间为t（s），则S与t之间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分类讨论的思想方法分四种情况讨论解答：①0≤t≤2，②2＜t＜4，③4≤t≤6，④6＜t≤8；依据t的取值范围画出对应的图形，求出对应的函数解析式，根据解析式的大致图象即可得出结论．
【解答】解：①当0≤t≤2时，此时，点M在AB上，点N在CD上，
由题意得：CN＝2t，
∴DN＝CD﹣CN＝4﹣2t．
∴S＝DN•AD＝×（4﹣2t）×8＝16﹣8t．
∵0≤t≤2，
∴此时函数的图象是以（0，16）和（2，0）为端点的线段；
②当2＜t＜4时，此时点M在AB上，点N在AD上，如图，
由题意得：DN＝2t﹣4，MB＝t．
∴AM＝AB﹣BM＝4﹣t，
∴S＝DN•AM＝（2t﹣4）（4﹣t）＝﹣t2+6t﹣8＝﹣（t﹣3）2+1．
∵2＜t＜4，
∴此时函数的图象为开口向下，对称轴为直线t＝3的抛物线的一段；
③当4≤t≤6时，此时点M，N均在线段AD上，
此时s＝0，函数图象为x轴上以（4，0）和（6，0）为端点的线段；
④当6＜t≤8时，此时点M在线段AD上，点N在线段AB上，如图，
由题意得：AN＝2t﹣12，M＝t﹣4．
∴DM＝AD﹣AM＝12﹣t．
∴S＝DM•AN＝（12﹣t）（2t﹣12）＝﹣t2+18t﹣72．
∵6＜t≤8，
∴当t＝8时，S＝8．
∴此时的函数的图象是抛物线S＝﹣t2+18t﹣72上以（6，0）和（8，8）为端点的一段．
综上，符合上述特征的函数图象为B，
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题函数的图形，利用分类讨论的方法求出相应的函数的解析式是解题的关键．
类型二、函数与分类讨论
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】分两种情况推论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可判断．
【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；
（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况推论．
12．已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．10B．11
C．10或11D．以上答案均不对
【分析】先利用绝对值和算术平方根的非负性可得x﹣3＝0，y﹣4＝0，从而可得x＝3，y＝4，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，
∴x＝3，y＝4，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，
∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；
综上所述：等腰三角形的周长是10或11，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
13．直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（ ）
A．5B．5或C．4或D．4
【分析】利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴（m﹣3）2+＝0．
∴m﹣3＝0且2n﹣8＝0．
∴m＝3，n＝4．
①n＝4为斜角边时，则第三边长为：＝；
②n＝4为直角边时，则第三边长为：＝5；
综上所述，第三边长为5或．
故选：B．
【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，在平面直角坐标系中，O是Rt△ABC斜边AB的中点，AC＝4，BC＝3，将Rt△ABC绕点O旋转，使点C落在x轴上，则旋转后点B的对应点的坐标是（ ）
A．（，﹣）
B．（﹣，）
C．（，﹣）或（﹣，）
D．（，﹣）或（﹣，﹣）
【分析】分两种情形：如图，当点C′与B重合时，过点B′作B′T⊥OB于点T，过点B作BH⊥A′B′于点H．求出OT，TB′即可，当点C′与A重合时，同法可得点B的对应点的坐标．
【解答】解：如图，当点C′与B重合时，过点B′作B′T⊥OB于点T，过点B作BH⊥A′B′于点H．
∵A′C′＝4，B′C′＝3，∠A′C′B′＝90°，
∴A′B′＝＝＝5，
∵′C′•B′C′＝•A′B′•C′H，
∴C′H＝，
∵OA′＝OB′＝OC′，B′T⊥OB，C′H⊥OB′，
∴B′T＝C′H＝，
∴OT＝＝＝，
∴B′（，﹣），
当点C′与A重合时，同法可得点B的对应点为（﹣，），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，直角三角形斜边的中线等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（ ）
A．1.5cmB．1.5cm或4.5cm
C．4.5cmD．3cm或9cm
【分析】分类讨论：分点在圆外或点在圆内进行讨论．
【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径＝6cm﹣3cm＝3cm；当点在圆内，则该圆的直径＝6cm+3cm＝9cm，
即该圆的直径为3cm或9cm．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
16．AB是⊙O的弦，∠AOB＝60°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．30°B．60°C．150°或30°D．60°或140°
【分析】由⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°，根据圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得弦AB所对的圆周角的度数
【解答】解：∵⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为：∠AOB＝30°或180°﹣30°＝150°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意弦所对的圆周角有一对且互补．
17．在边长为a的正方形内有4个等圆，每相邻两个互相外切，它们中每一个至少与正方形的一边相切，那么此等圆的半径可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆心距与两圆的半径关系可得．
【解答】解：此题要考虑两种情况：
当四个等圆两两外切且和每个圆和正方形的两边相切时，
则圆的直径的2倍等于正方形的边长，
即圆的半径是；
当只有每相邻的两个圆相外切且和正方形的一边相切时，
则它们的圆心组成了一个边长等于圆的直径的正方形．
若设圆的半径是r，则有2r+2r＝a，
r＝a．
故选：D．
【点评】能够正确画出符合题意的图形，注意考虑两种情况．
18．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣12，则m的取值范围为 ﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3 ．
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为﹣12，可以确定整数解为﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，再根据解集确定m的取值范围．
【解答】解：解不等式组得：﹣5≤x＜m，
∵所有整数解的和是﹣12，
∴不等式组的整数解为﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
∴﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3；
故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．
【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
19．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②．
解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴原不等式的解集为x＞或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：直接写出不等式（2x+3）（5﹣x）≤0的解集 x≥5或x≤﹣ ．
【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求不等式的解集即可．
【解答】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①或②，
解①得：x≥5；解②得：x≤﹣，
∴原不等式的解集为x≥5或x≤﹣．
故答案为：x≥5或x≤﹣．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
20．如图，函数y＝的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 m＞或m≤0． ．
【分析】利用排除法，先求得直线y＝x+m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．
【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y＝的图象恒相交，
①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交，
与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时，
即方程x+m＝﹣x2+2x有两个实数根，
∴x2﹣x+m＝0．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，
解得：m≤．
∴当0＜m≤时，直线y＝x+m与函数y＝的图象有两个或三个交点，
∴当m＞时，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点；
②当m≤0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点，
综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为m＞或m≤0．
故答案为：m＞或m≤0．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．
类型三、三角形与分类讨论
21．我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示x＝a时的函数值．例如函数y＝x2+1可以记为f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．
狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法：
①f（π）＝f（）
②对于任意的实数a，f（f（a））＝0
③对于任意的实数b，f（b）＝f（﹣b）
④存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）＝f（x）
⑤对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．
其中正确的有 ①③ （填序号）．
【分析】由狄利克雷函数，即可判断．
【解答】解：f（π）＝f（）＝0，故①符合题意；
若a是有理数，则f（a）＝1，f（f（a））＝1，故②不符合题意；
若b是有理数，则﹣b是有理数，若b是无理数，则﹣b是无理数，因此f（b）＝f（﹣b），故③符合题意；
令t＝，若x是有理数，则x+是无理数，f（x+t）≠f（x），故④不符合题意；
若m，n都是无理数，m+n＝0，则f（m）+f（n）＜f（m+n），故⑤不符合题意．
故答案为：①③．
【点评】本题考查狄利克雷函数，关键是注意自变量是有理数和无理数时分别对应的函数值．
22．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）
（1）k关于h的函数解析式为 k＝2h+1 ．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝ ．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标公式解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分m≥2，0＜m＜2和当m≥2时三种情况讨论解答，分别确定出最大值与最小值，利用已知条件列出方程即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+（m+1）2＝（x﹣m）2+2m+1，
∴h＝m，k＝2m+1，
∴k关于h的函数解析式为k＝2h+1，
故答案为：k＝2h+1；
（2）令x＝0，则y＝（m+1）2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，（m+1）2）．
∵（m+1）2≥0．
∵抛物线不经过第三象限，抛物线的开口方向向上，
∴Δ＝4m2﹣4（m+1）2≤0，
∴m≥﹣．
①当﹣≤m≤0时，
∵抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为x＝m，
∴在﹣2≤x≤2时，当x＝m时，函数取最小值为y＝m2﹣2m2+（m+1）2＝2m+1，
当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为，
∴2m+1+m2﹣2m+5＝，
即：m2＝4
解得：m＝2或﹣2（不合题意，舍去），
∴此种情况不存在；
②当0＜m＜2时，
在﹣2≤x≤2时，当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝m时，函数取最小值为y＝2m+1，
∵二次函数最小值和最大值和为，
∴m2+6m+5+2m+1＝，
解得：m＝或m＝﹣（不合题意，舍去），
∴m＝．
③当m≥2时，
当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为，
∴m2+6m+5+m2﹣2m+5＝，
解得：m＝（不合题意，舍去），
综上，在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的极值，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点），若点B'恰好落在△ABC边上，则点A到直线A′C的距离是 9或 ．
【分析】分两种情况：①当点B'恰好落在AB边时，过点A作AD⊥A′C于点D，根据勾股定理得AC＝，由旋转的性质可得B′C＝BC，∠B＝∠A′B′C＝60°，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，则△CB′B为等边三角形，根据等角的余角相等得∠ACD＝60°，再根据含30度角的直角三角形性质得CD＝＝，由勾股定理即可求出AD；②当点B'恰好落在AC边时，A′、C、B三点共线，此时AC即为点A到直线A′C的距离．
【解答】解：①当点B'恰好落在AB边时，过点A作AD⊥A′C于点D，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
∴，
由旋转的性质可得，B′C＝BC，∠B＝∠A′B′C＝60°，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴△CB′B为等边三角形，
∴∠ACB′＝∠ACB﹣∠BCB′＝30°，
∴∠ACD＝∠A′CB′﹣∠ACB′＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝＝，
∴；
②当点B'恰好落在AC边时，如图，
由旋转的性质可得，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴A′、C、B三点共线，AC⊥A′B，
由（1）知，AC＝．
综上，点A到直线A′C的距离是9或．
故答案为：9或．
【点评】本题主要考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，解题关键在于理清题意，利用分类讨论思想解答．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上，连接DE，DG，FG，当四边形DEFG是菱形时，发现菱形的个数随着点D的位置变化而变化，若存在两个菱形DEFG，则线段CD的长的取值范围是 ＜CD≤ ．
【分析】利用勾股定理求得斜边AB，利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当四边形DEFG是正方形时，过点C作CH⊥AB于点H，CH与DG交于点M，利用三角形的面积公式求得斜边上的高，设正方形的边长为x，则HM＝x，CM＝CH﹣HM＝﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得x值，则CD可得，观察图形可知：当0≤CD＜时，菱形的个数为0，当CD＝时，菱形的个数为1；②当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m，则CD＝3﹣m，利用相似三角形的判定与性质求得m值，则CD可得，观察图形可知：当＜CD≤时，菱形的个数为2；③当四边形DABG是菱形时，设菱形的边长为n，则CG＝4﹣n，利用相似三角形的判定与性质求得n值，则CD可得，观察图形可知：当＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤3时，菱形的个数为0，综上，结论可得．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
①当四边形DEFG是正方形时，
过点C作CH⊥AB于点H，CH与DG交于点M，如图，
∵AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝．
设正方形的边长为x，则HM＝x，
∴CM＝CH﹣HM＝﹣x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴x＝．
∴DG＝．
∵△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴CD＝，
观察图形可知：当0≤CD＜时，菱形的个数为0，当CD＝时，菱形的个数为1；
②当四边形DAEG是菱形时，如图，
设菱形的边长为m，则CD＝3﹣m，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴m＝，
∴CD＝3﹣＝，
观察图形可知：当＜CD≤时，菱形的个数为2；
③当四边形DABG是菱形时，如图，
设菱形的边长为n，则CG＝4﹣n，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝．
∵△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴CD＝，
观察图形可知：当＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤3时，菱形的个数为0，
综上，当＜CD≤时，菱形的个数为2，
故答案为：＜CD≤．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 或 ．
【分析】分∠AMB＝90°、∠ABM＝90°两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当∠AMB＝90°时，
∵AO＝BO，AB＝2，
∴OM＝AB＝OB，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴△BOM为等边三角形，
∴BM＝OB＝1，
∴AM＝＝＝；
当∠ABM＝90°时，如图2，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴OM＝2OB＝2，
∴BM＝＝，
∴AM＝＝，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是勾股定理、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
26．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点E是AB边上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，当△ACF为等腰三角形时，则BD的长为 或 ．
【分析】分两种情况：①当CA＝CF时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠B＝∠C＝30°，由含30°角的直角三角形性质可得BC＝AC＝2，则BF＝，根据折叠的性质可得BD＝DF＝，以此即可出BD；②当AF＝FC时，根据等腰三角形的性质得∠C＝∠FAC＝30°，由三角形外角性质和三角形内角和定理可推出△BAF为直角三角形，BF＝＝，根据折叠的性质可得BD＝DF＝，以此即可求解．
【解答】解：①当CA＝CF时，如图，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，CA＝CF＝2，
∴BC＝AC＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝，
由折叠的性质可得，BD＝DF＝，
∴BD＝；
②当AF＝FC时，如图，
∴∠C＝∠FAC＝30°，
∴∠AFB＝∠C+∠FAC＝60°，
∴∠BAF＝180°﹣∠B﹣∠BFA＝90°，
∴△BAF为直角三角形，
∴BF＝＝，
由折叠的性质可得，BD＝DF＝，
∴BD＝．
综上，BD的长为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查折叠的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形性质、三角形外角性质、三角形内角和定理，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
27．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C（2，y）在在这条抛物线上．
（1）则点C的坐标为 （2，4） ；
（2）若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 （0，2），（0，） ．
【分析】（1）将点C（2，y）代入函数解析式即可得出结论；
（2）令y＝0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C（2，y）在抛物线上，
∴﹣×22+2+4＝y，
∴y＝4，
∴C（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）令y＝0，则﹣+x+4＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，
∴B（4，0）．
∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP＝BC时，如图，
过点C作CD⊥OB于点D，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CD＝4，OB＝4，OD＝2，
∴CD＝OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD（HL），
∴OP＝BD．
∵OB＝4，OD＝2，
∴BD＝OB﹣OD＝2，
∴OP＝BD＝2，
∴P（0，2）；
②当BP＝PC时，如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CE＝2，OE＝4，OB＝4，
设点P（0，a），
∵点P为y轴的正半轴上的一点，
∴OP＝a，EP＝4﹣a，
∵BP＝PC，
∴BP2＝PC2，
∴EP2+CE2＝OP2+OB2，
∴（4﹣a）2+22＝a2+42，
解得：a＝，
∴P（0，）．
综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为（0，2）或（0，）．
故答案为：（0，2）或（0，）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
28．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．在x轴正半轴上存在一点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形，则点P的坐标为 （﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0） ．
【分析】先确定点C、N的坐标，再由勾股定理求出NG的长，得到点G的坐标，按点P在x轴的正半轴、负半轴，及OP＝OG、PO＝PG、PG＝OG进行分类讨论，求出点P的坐标．
【解答】解：由题意得，C（0，5），N（3，0），
∴ON＝3，
由折叠得，OG＝OC＝5，
∵∠ONG＝90°，
∴NG＝＝＝4，
∴G（3，4），
设P（x，0），
当x＜0时，如图4，由OP＝OG＝5，得x＝﹣5，
∴P（﹣5，0）；
当x＞0时，如图5，PO＝PG＝x，则PN＝x﹣3，
∵∠PNG＝90°，
∴PG2＝PN2+GN2，
∴x2＝（x﹣3）2+42，
解得x＝，
∴P（，0）；
如图6，OP＝OG＝5，
∴P（5，0）；
如图7，PG＝OG，
∵GN⊥PO，
∴PN＝ON＝3，
∴OP＝6，
∴P（6，0）．
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．
故答案为：（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的特征、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值，此题综合性较强，难度较大．
29．点A、B、C是⊙O上不同的三点，已知∠AOB+∠ACB＝210°，则∠AOB＝ 140或60 度．
【分析】分两种情况：当点C在优弧上时，当点C在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点C在优弧上时，如图：
∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB+∠ACB＝210°，
∴∠AOB＝210°，
∴∠AOB＝140°；
当点C在劣弧上时，如图：
∵∠1＝2∠ACB，∠1+∠AOB＝360°，
∴2∠ACB+∠AOB＝360°，
∵∠AOB+∠ACB＝210°，
∴∠ACB＝150°，
∴∠AOB＝210°﹣∠ACB＝60°；
综上所述：∠AOB的度数为140°或60°，
故答案为：140或60．
【点评】本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键．
30．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 4﹣或4+ ．
【分析】连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，分两种情况，当射线BP与⊙D相切于点E，当射线BP与⊙D相切于点F时，然后利用菱形的性质，以及相似三角形的判定与性质进行计算即可解答．
【解答】解：连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，AC⊥BD，AH＝AC＝4，BD＝2BH，
在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，
∴BD＝2BH＝6，
∵射线BP与⊙D相切于点E，
∴∠DEB＝90°，
∴BE＝＝＝4，
∵∠DEB＝∠BHP＝90°，∠PBH＝∠DBE，
∴△BHP∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴PH＝，
∴AP＝AH﹣PH＝4﹣，
当射线BP与⊙D相切于点F时，如图：
同理可得：PH＝，
∴AP＝AH+PH＝4+，
综上所述，当射线BP与圆D相切时，AP的长是4﹣或4+，
故答案为：4﹣或4+．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分两种情况进行计算即可解答．
类型四、圆中的分类讨论
31．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 或2 ．
【分析】利用矩形，正方形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得线段CG，DE，AE，AH，FH的长，再利用利用分类讨论的方法分①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时讨论解答：利用直线与圆相切的定义，圆心到直线的距离等于半径，设OA＝x，则OM＝x，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG为矩形，
∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．
∴CG＝＝3．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDA．
∵∠C＝∠E＝90°，
∴△CDG∽△EAD．
∴，
∴，
∴DE＝，AE＝．
∴AF＝EF﹣AE＝．
①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交于点H，
过点O作OM⊥FG于点M，如图，
∵∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠FAB＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠FAB+∠FHA＝90°，
∴∠EAD＝∠FHA．
∵∠E＝∠F＝90°，
∴△EAD∽△FHA．
∴＝．
∴＝，
∴AH＝，FH＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∵OM⊥FG，AF⊥FG，
∴OM∥AF，
∴．
∴，
解得：x＝．
∴OA＝
②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图，
过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，
∵ON∥FH，
∴，
∴．
解得：x＝2．
∴OA＝2；
③过点O作OM⊥DE于点M，如图，
可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离．
综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．
故答案为：或2．
【点评】本题主要考查了矩形，正方形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键．
32．如图，在等边△ABC中，AB＝2，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是 3﹣或3+ ．
【分析】分两圆外切和两圆内切两种情形讨论解答：利用相切时圆心距与利用半径的关系列出方程即可求解．
【解答】解：连接AD，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝2，∠B＝60°．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝，AD⊥BC，
∴⊙D的半径为，
AD＝AB•sin60°＝3．
①以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相外切时，
∴r+＝AD＝3，
∴r＝3﹣．
②以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相内切时，
∴r﹣＝AD＝3，
∴r＝3+．
综上，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是3﹣或3+．
故答案为：3﹣或3+．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，两圆相切的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
33．阅读下面的材料，回答问题：如果（x﹣2）（6+2x）＞0，求x的取值范围．
解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为x＞2，第二个不等式组的解集为x＜﹣3．故当x＞2或x＜﹣3时，（x﹣2）（6+2x）＞0．
（1）由（x﹣2）（6+2x）＞0，得出不等式组或，体现了 转化 思想；
（2）试利用上述方法，求不等式（x﹣3）（1﹣x）＜0的解集．
【分析】①把解一元二次不等式的问题转化为解一元一次不等式组的问题；
②原不等式转化为两个不等式组或，然后两个不等式组即可．
【解答】解：①由（x﹣2）（6+2x）＞0，得出不等式组或，体现了转化思想；
故答案为转化；
②由题意知：或，
分别解这两个不等式组，
得第一个不等式组的解集为x＞3，
第二个不等式组的解集为x＜1，
故：当x＞3或x＜1时，（x﹣3）（x﹣1）＜0．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
34．阅读下列材料：
根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝|x1﹣x2|．
根据上述材料，解决下列问题：
如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．
（1）AB＝ 12 个单位长度；
（2）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值；（写过程）
（3）若关于x的方程|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a无解，则a的取值范围是 a＜6 ．
【分析】（1）用两个点所表示的数的差的绝对值进行计算即可；
（2）分三种情况讨论，m＜﹣4，﹣4≤m≤8，m＞8；
（3）分四种情况讨论，x＜﹣1，﹣1≤x＜1，1≤x＜5，x≥5，
【解答】解：（1）|﹣4﹣8|＝12，
所以AB＝12，
故答案为：12；
（2）分三种情况：
当m＜﹣4时，
|m+4|+|m﹣8|＝20，
﹣m﹣4+（8﹣m）＝20，
解得：m＝﹣8，
当﹣4≤m≤8时，
|m+4|+|m﹣8|＝20，
m+4+（8﹣m）＝20，
此方程无解，
当m＞8时；
|m+4|+|m﹣8|＝20，
m+4+m﹣8＝20，
解得：m＝12，
答：m的值为﹣8或12；
（3）分四种情况：
当x＜﹣1时，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
1﹣x﹣x﹣1+5﹣x＝a，
解得：x＝，
∴＜﹣1，
解得：a＞8，
当﹣1≤x＜1时，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
1﹣x+x+1+5﹣x＝a，
解得：x＝7﹣a，
∴﹣1≤7﹣a＜1，
解得：6＜a≤8，
当1≤x＜5时，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
x﹣1+x+1+5﹣x＝a，
解得：x＝a﹣5，
∴1≤a﹣5＜5，
解得：6≤a＜10，
当x≥5时，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
x﹣1+x+1+x﹣5＝a，
解得：x＝，
∴≥5，
解得：a≥10，
综上所述：a≥6时方程有解，
所以：a＜6时方程无解，
故答案为：a＜6．
【点评】本题考查了数轴和绝对值的意义，同时渗透了分类讨论的数学思想．
35．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）的顶点为A，与x轴相交于B、C两点（C点在B点的右侧）．
（1）判断点（0，1）是否在抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上，并说明理由；
（2）若点A到x轴的距离为5，求a的值；
（3）若线段BC的长小于等于4，求a的取值范围．
【分析】（1）将点（0，1）代入抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）进行验证即可；
（2）将已知抛物线解析式利用配方法转化为顶点式，求得顶点坐标；然后由“点A到x轴的距离为5”列出方程并解答；
（3）分a＞0和a＜0两种情况下求得线段的BC的长度，结合“线段BC的长小于等于4”列出不等式并求得a的取值范围．
【解答】解：（1）点（0，1）在抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上，
∵当x＝0时，y＝a×0×（0﹣6）+1＝1，
∴点（0，1）在抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上；
（2）∵y＝ax（x﹣6）+1＝ax2﹣6x+1＝a（x﹣3）2+1﹣9a，点A到x轴的距离为5，
∴当a＞0时，1﹣9a＝﹣5，
解得，；
当a＜0时，1﹣9a＝5，
解得，；
综上所述，a的值为或﹣；
（3）①当a＜0时，抛物线开口向下．
由（1）知，抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）与y轴的交点为（0，1），
∵抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）的对称轴为直线x＝3，
∴xB＜0，xC＞6，
∴BC＝|xC﹣xB|＞6，
∵CB≤4，
∴此种情况不符合题意；
②当a＞0时，抛物线的开口向上，在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），
∵BC≤4，
∴当x＝1时，y＝ax（x﹣6）+1＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，
∴a≤，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴yA＝﹣9a+1＜0，
∴a＞，
∴＜a≤．
综上所述，a的取值范围为：＜a≤．
【点评】本题属于二次函数综合题型，综合考查了二次函数的三种形式，抛物线与x轴的交点坐标，两点间的距离公式，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线的轴对称性质，难度不是很大．
36．为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．
（1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式；
（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【分析】（1）利用两种优惠方案的优惠方式分别列式计算即可；
（2）利用分类讨论的方法和（1）中的结论分三种情形讨论解答即可．
【解答】解：（1）方案一的总费用为y1＝0.8×50x＝40x；
当x≤80时，方案二的总费用为y2＝50x，
当x＞80时，方案二的总费用为y2＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600，
∴方案二的总费用为y2＝；
（2）当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．理由：
①当x≤80时，
∵40x＜50x，
∴y1＜y2，
∴选择方案一更省钱；
当80＜x＜160时，
∵40x＜30x+1600，
∴y1＜y2，
∴选择方案一更省钱；
②当x＝160时，
∵40x＝30x+1600，
∴y1＝y2，
∴两种购买方式花费相同；
③当x＞160时，
∵40x＞30x+1600，
∴y1＞y2，
∴选择方案二更省钱．
综上，当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
37．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；
（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1））直接利用对称轴公式x＝﹣即可求出；
（2）①y1＞y2利用图象法，根据函数的增减性判断即可；
②通过计算可知，点P（m﹣1，1）、Q（m+1、1）为抛物线上关于对用轴x＝m对称的两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时y1＝y2，不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M、N分别和点P、Q重合，此时y1＝y2，不符题意；当y轴在点P、Q之间时（不含P、Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，此时y1＞y2，符合题意，即有m﹣1＜0＜m+1．即﹣1＜m＜m；
（3）当m＞0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，当m＜0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，分别解出即可得到结果．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x＝﹣＝m；
（2）①当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴，
∴图形G如图1所示：
：图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
②通过计算可得，P（m﹣1，1），Q（m+1，1）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：
如图2所示：当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M、N的纵坐标相同，y1＝y2，不符合题意；
如图3所示：当y轴在点Q右侧时（含点Q），
点M，N分别和点P、Q重合，y1＝y2，不符合题意；
如图4所示：当y轴在点P、Q之间时（不含P、Q），
经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意，
此时有m﹣1＜0＜m+1，
∴﹣1＜m＜1，
综上所述：m的取值范围为﹣1＜m＜1；
（3）当m＞0时，如图所示
∵抛物线y＝x2﹣2m+m2翻折后y＝﹣（x﹣m）2+2m2，
∴图象G与直线：y＝m+2恰好有3个公共点在点A、B之间，
∴，
∴解得＜m＜2；
当m＜0时，如图所示，
∴图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，
∴，
∴解得：﹣2＜m＜﹣1．
综上所述，m的取值范围为：＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．
【点评】本题为二次函数综合题，考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
38．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线的顶点，且点D的横坐标为﹣1．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求△BCD的面积；
（3）若点P是x轴下方抛物线上任意一点，已知⊙P的半径为2，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标是 （﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2） ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△BCD的面积＝S梯形DHOB﹣S△CHD﹣S△BOC，即可求解；
（3）分⊙P与y轴相切、⊙P与x轴相切两种情况，确定点P的一个坐标即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝﹣1时，y＝x2+2x﹣3＝﹣4，即点D（﹣1，﹣4），
过点D作DH⊥y轴于点H，
则DH＝1，CH＝﹣3﹣（﹣4）＝1，OC＝OB＝3，OH＝4，
则△BCD的面积＝S梯形DHOB﹣S△CHD﹣S△BOC＝（DH+OB）•OH﹣×OB•OC﹣×DH•CH
＝×（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×1＝3；
（3）当⊙P与y轴相切时，则点P的横坐标为x，则|x|＝2，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
当x＝2时，y＝5，
∴P（2，5）（舍去）；
当⊙P与x轴相切时，则点P的横坐标为y，则y|＝﹣2，
即y＝x2+2x﹣3＝﹣2，
解得：x＝﹣1±，
即点P的坐标为（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）；
综上所述，圆心P的坐标为：（﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数表达式、三角形的面积计算方法以及圆的基本知识，有一定的综合性，难度适中．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在运动，点D在上，CD交OA于点P，且．
（1）求CD的长．
（2）求证：OP＝PD．
（3）CE∥OA，交圆于另一点E，连结DE．若△CDE为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）求出点A的坐标即可得到CD的长；
（2）连结CO，DA，证明△COP≌△ADP，即可得到结论OP＝PD；
（3）分三种情况：①当CE＝CD时，设PD＝OP＝x，则BP＝CP＝8﹣x，在Rt△BOP中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得结论；②当DC＝DE时，设圆心为F，DF交OA于点M，延长DF交CE于点H，设OP＝PD＝x，则PM＝4﹣x，在Rt△PMD中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得结论；③当EC＝ED，设圆心为F，作EG⊥CD于点G，PT⊥CE，垂足为T，FM⊥OA于M，延长MF交CE于点H，连接CF，利用勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得线段OP，则结论可求．
【解答】（1）解：对于，令y＝0，
则得：，
解得：x＝8，
∴A（8，0），
∴OA＝8，
∵，
∴CD＝OA＝8；
（2）证明：连结CO，DA，如图，
∵∠OAD，∠C都是所对的圆周角，
∴∠OAD＝∠C．
∵，
∴，
∴CO＝AD．
在△COP和△ADP中，
∴△COP≌△ADP（AAS）．
∴OP＝PD；
（3）解：①当CE＝CD时，如图，
则CE＝CD＝OA＝8，
∵CE∥OA，
∴四边形COAE为矩形，
又∵∠AOB＝90°，
∴点B，C重合，
设PD＝OP＝x，则BP＝CP＝8﹣x，
对于，
令x＝0，则得：y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6．
在Rt△BOP中，由勾股定理得：
62+x2＝（8﹣x）2，
解得：．
∴；
②当DC＝DE时，如图，
设圆心为F，DF交OA于点M，延长DF交CE于点H，
∵DC＝DE，
∴，
∴DH⊥CE，
∵CE∥OA，
∴DH⊥OA，
∴OM＝AM，
∴FM是△ABO的中位线，
∴，
∵AB＝，
∴FD＝AB＝5，
∴MD＝FD﹣FM＝5﹣3＝2，，
设OP＝PD＝x，则PM＝4﹣x，
在Rt△PMD中，由勾股定理得：
22+（4﹣x）2＝x2，
解得：，
∴；
③当EC＝ED时，设圆心为F，作EG⊥CD于点G，PT⊥CE，垂足为T，FM⊥OA于M，延长MF交CE于点H，连接CF，如图，
则CF＝AB＝5，
∵FG⊥CD，
∴CG＝CD＝4，
∴，
∴GE＝GF+FE＝3+5＝8，
∴．
tan∠HFE＝tan∠C＝2，
∵HF⊥CE，
∴，
∴HF＝＝＝．
∵PT⊥CE，MH⊥CE，CE∥OA，
∴四边形TPMH为矩形，
∴，
∵∠ECG＝∠PCT，∠CGE＝∠CTP＝90°，
∴△CEG∽△CPT，
∴，
∴CP＝＝．
∴，
∴．
综上，满足条件的点P的坐标为：或或．
【点评】此题考查了圆与一次函数的综合题，求一次函数与坐标轴的交点，圆的垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的定义，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
40．已知：△ABC内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO交边AC于点E．
（1）如果点E恰好是边AC的中点，求边AB的长；
（2）如果△ABE∽△ACB，求∠ABC的大小；
（3）当△AEO为等腰三角形时，求∠ABC的大小．
【分析】（1）利用垂径定理的推论得到BE是AC的垂直平分线，再利用垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等即可得出结论；
（2）延长BE交⊙O于点F，连接CF，则BF为圆的直径，利用直角三角形的边角关系可得∠FBC＝30°；利用相似三角形的性质，同圆的比较相等，圆周角定理和三角形的内角和定理可求得∠ABO，则结论可得；
（3）延长BE交⊙O于点F，连接CF，利用（2）的结论可得∠BAC＝60°，设∠ABO＝∠BAO＝α，则用α可以表示出△AEO的三个内角，利用分类讨论的思想方法即可求得α的值，则结论可得．
【解答】解：（1）∵AE＝BE，
∴OE⊥AC．
∴BE是AC的垂直平分线．
∴AB＝BC＝2；
（2）延长BE交⊙O于点F，连接CF，如图，
∵⊙O的半径为2，
∴BF＝3．
∵BF为圆的直径，
∴∠BCF＝90°．
∴cs∠FBC＝．
∴∠FBC＝30°．
∵△ABE∽△ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACB．
∵∠ACB＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠AOB．
设∠ABO＝∠BAO＝x°，则∠AOB＝2x°．
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴x+x+2x＝180．
解得：x＝45．
∴∠ABC＝∠ABO+∠FBC＝75°；
（3）延长BE交⊙O于点F，连接CF，如图，
由（2）知：∠FBC＝30°．
∴∠F＝90°﹣∠FBC＝60°．
∴∠BAC＝∠F＝60°．
设∠ABO＝∠BAO＝α，
则∠AOE＝2α，
∠OAE＝∠BAC﹣∠BAO＝60°﹣α，
∠AEO＝180°﹣∠ABO﹣∠BAC＝120°﹣α．
当△AEO为等腰三角形时，
①如果∠AOE＝∠AEO，
则2α＝120°﹣α．
解得：α＝40°．
∴∠ABC＝40°+30°＝70°；
②如果∠AOE＝∠OAE，
则2α＝60°﹣α．
解得：α＝20°．
∴∠ABC＝20°+30°＝50°；
③如果∠OAE＝∠AEO，
则60°﹣α＝120°﹣α，无解．
综上，当△AEO为等腰三角形时，∠ABC＝70°或50°．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形 的应用，特殊角的三角函数值，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．