专题17尺规作图与基本作图（最新模拟40题预测：作角平分线、中垂线、三角形、圆）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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（最新模拟40题预测：作角平分线、中垂线、三角形、圆、格点作图）
类型一、关于角平分线的基本作图
1．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=CD．
(1)作∠ADC的平分线交BC于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AE．求证：四边形ADCE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作出图形即可．
（2）先证明CD=CE，再证明四边形ADCE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
【详解】（1）如图即为所求作的图形．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED．
∴∠CDE=∠CED．
∴CD=CE．
∵AD=CD，
∴AD=CE．
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知点O在直线AB上，过O点作射线OC和OD，有∠AOC>∠BOC，且OD平分∠BOC．请用尺规作图法，在∠AOC内部求作射线OE，使∠DOE=90°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】只需要作∠AOC的角平分线OE即可．
【详解】解：如图所示，作∠AOC的角平分线OE即为所求；
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COE=12∠AOC，∠COD=12∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=12∠AOC+12∠BOC=90°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
3．（2023·广西贵港·统考一模）（1）如图，已知△ABC，求作（尺规作图，仅保留痕迹）：
①线段AC的垂直平分线l1；
②∠ABC的平分线l2．
（2）在（1）中，设l1与l2相交于点P，连接PA，PC，若PC=AB，则直线PA与BC的位置关系为___________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）平行
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于12AC为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，即为所求作的线段AC的垂直平分线；以点B为圆心，任意长为半径，分别交BA，BC于点F、E，再分别以F、E为圆心，以大于12EF为半径画弧，两弧交于点G，连接AG，即为∠ABC的平分线；
（2）根据垂直平分线的性质，得出PA=PC，根据PC=AB，得出PA=AB，根据等腰三角形的性质，得出∠ABP=∠APB，根据角平分线的定义得出∠ABP=∠CBP，证明∠APB=∠CBP，根据平行线的判定即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，①l1即为所求作的线段AC的垂直平分线；②l2即为所求作的∠ABC的平分线．
（2）∵l1垂直平分AC，
∴PA=PC，
∵PC=AB，
∴PA=AB，
∴∠ABP=∠APB，
∵l2平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠APB=∠CBP，
∴AP∥BC，
∴直线PA与BC的位置关系为平行．
故答案为：平行．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线和垂直平分线，垂直平分线的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握了基本作图方法，平行线的判定方法．
4．（2023·山西忻州·统考一模）如图，OM平分∠AOB，E，F分别是射线OA，OB上的点，连接EF交OM于点N．
(1)尺规作图：作FP平分∠EFB，并交OM于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的情况下，若∠EFB=120°，∠AOB=60°，连接EP．试判断四边形OEPF的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)四边形OEPF是菱形，见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）先根据角平分线的定义求出∠PFB=∠EFO=12∠EFB=60°=∠AOB，从而得出PF∥AO，结合三角形外角的性质可求∠OPF=30°=∠POF，由等角对等边可得OF=PF，证明△EOF是等边三角形，可得EO=FO=PF，从可证四边形OEPF是平行四边形，最后根据菱形的定义即可得证．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求，
（2）解：四边形OEPF是菱形．
证明：如图，
∵FP平分∠EFB，∠EFB=120°，
∴∠PFB=∠EFO=12∠EFB=60°，
又∠AOB=60°，
∴∠AOB=∠PFB，
∴PF∥AO，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM=12∠AOB=30°，
∴∠OPF=∠PFB−∠BOM=30°，
∴∠OPF=∠POF，
∴PF=OF，
∵∠AOB=∠EFO=60°，
∴△EOF是等边三角形，
∴EO=FO，
∴EO=PF，
又PF∥AO，
∴四边形OEPF是平行四边形，
又EO=FO，
∴平行四边形OEPF是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用所学知识进行解答是解题的关键．
5．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知▱ABCD．请用尺规作图法，在边AD上找一点P，使得∠ABP+∠BPD=180°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】作出∠ABC的平分线交AD于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求；
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠PBC，
∴∠APB=∠ABP，
∴∠ABP+∠BPD=∠APB+∠BPD=180°．
【点睛】本题考查基本作图—角平分线．解题的关键是确定BP是∠ABC的平分线．
6．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考一模）在▱ABCD中，
(1)尺规作图：作∠B的平分线BE，E为AD与BE的交点（保留痕迹，不写作法）；
(2)求证：对于（1）中的点E，△ABE是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）证明∠ABE=∠AEB即可证明△ABE是等腰三角形．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．
∴△ABE是等腰三角形．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，平行四边形的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定，证明证明∠ABE=∠AEB是解答本题的关键．
7．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=BD．
(1)尺规作图：作BE平分∠ABC，交AC于点E，连接DE（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：∠AEB=∠DEB．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据角平分线的尺规作图方法作出点E的位置，再连接DE即可；
（2）只需要利用SAS证明△ABE≌△DBE即可证明∠AEB=∠DEB．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB=DB∠ABE=∠DBEBE=BE，
∴△ABE≌△DBESAS，
∴∠AEB=∠DEB．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出对应的图形是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知四边形ABCD，∠A=90°，AD∥BC，连接BD，请用尺规作图法，在CD边上求作一点P，使得∠APD=∠ABD．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作直线BD的垂直平分线交BD于点O，再以BD为直径，点O为圆心，作⊙O，交CD于点P，根据圆周角定理的推论即可推出∠APD=∠ABD．
【详解】解：如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，圆周角定理．掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键．
9．（2023·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，BC=DC，请用尺规作图法，在四边形ABCD的AB边上求作一点E，使SΔBCE=SΔDCE（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】用尺规作∠BCD的平分线，交AB于点E，连接ED，则S△BCE=S△DCE．
【详解】解：用尺规作∠BCD的平分线，交AB于点E，则点E为所求作的点；
连接ED，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵BC=DC，CE=CE，
∴△BCE≌△DCESAS，
∴S△BCE=S△DCE．
【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的角平分线，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握尺规作一个已知角的平分线基本步骤．
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）动手操作题： 如图，三角形ABC， 按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：
(1)作∠ABC的平分线，交AC于点D；
(2)过点D作BC的平行线，交AB于点E；
(3)写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外）_______________；
(4)写出一对相等的线段_______________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)∠ABD=∠EDB（答案不唯一）
(4)EB=ED
【分析】（1）根据角平分线的作法，即可作出角平分线；
（2）根据平行线的作法，即可作出平行线；
（3）根据题目条件即可判断；
（4）关键题目条件即可判断．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：由题意知，∠ABD=∠EDB（答案不唯一）；
（4）解：由题意知，EB=ED．
【点睛】本题主要考查作图，熟练掌握基本知识是解题的关键．
类型二、关于线段垂直平分线的基本作图
11．（2023·福建漳州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，连接CD．
(1)求作点E，使点E与点D关于直线BC对称（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接BE，CE．求证：四边形BDCE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在BC右侧作△BCE≌△BCD即可得对称点E，或过D点作BC的垂线在BC右侧取点E，使点E到BC的距离等于点D到BC的距离即可；
（2）证明四边形四边相等即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，点E就是所求作的点．
方法一：
方法二：
（2）证明：方法一：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，
∴CD=DB．
如图，由（1）中的作图得BE=BD，CE=CD，
∴DB=BE=EC=CD，
∴四边形BDCE是菱形．
方法二：
记DE与BC交点为点F．
如图，由（1）中的作图得DE⊥BC，DF=FE，
∴BD=BE，CD=CE，
∵点D是边AB的中点，∠ACB=90°
∴BD=CD，
∴DB=BE=EC=CD，
∴四边形BDCE是菱形．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质和作法，以及菱形的判定，解题关键是掌握轴对称图形的性质．
12．（2023·广西·统考一模）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，DF⊥AE于点F．
(1)过点B作AE的垂线交AE于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作图形中，若DF=4，PF=1，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据垂线的作图方法，作图即可；
（2）证明△ABP≌△DAFAAS，得到AP=DF=4，进而求出AF的长，利用勾股定理求出AD的长，即可得解．
【详解】（1）解：如图，BP即为所求．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=90°．
∵DF⊥AE，BP⊥AE，
∴∠AFD=∠APB=90°．
∵∠BAP+∠DAF=90°，∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠DAF．
在△ABP和△DAF中，
∠APB=∠DFA∠ABP=∠DAFAB=DA，
∴△ABP≌△DAFAAS，
∴AP=DF=4．
又∵PF=1，
∴AF=AP−PF=3．
在Rt△ADF中，AD=32+42=5，
∴CD=5．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握垂线的作图方法，证明三角形全等，是解题的关键．
13．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）已知△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=8．
(1)试用直尺和圆规作AB的中垂线．（不写作法，保留痕迹）
(2)AB的中垂线交BC于点D，求△ACD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得到AD=BD，设AD=BD=x，则CD=8−x，利用勾股定理求出CD的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接AD，则AD=BD，
设AD=BD=x，则CD=8−x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
∴32+8−x2=x2，
解得x=5，
∴CD=4，
∴S△ACD=12AC⋅CD=6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，在AC上求作一点D，使得△BCD∽△ACB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求，由等腰三角形的性质求出∠C=∠ABC=72°，∠A=36°，再由垂直平分线的性质得AD=CD，
可得∠A=∠ABD=36°，∠DBC=∠ABC−∠ABD=36°，∠BDC=72°，可证△BCD∽△ACB．
【详解】解：作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；
∵AB=AC，∠C=72°，
∴∠C=∠ABC=72°，∠A=36°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，则∠DBC=∠ABC−∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴△BCD∽△ACB．
【点睛】本题考查了尺规作图——垂直平分线，相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
15．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，已知△ABC，P为边BC上一点，请用尺规作图的方法在边AB上求作一点Q，使PQ+BQ=AB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】连接AP，作线段AP的中垂线交AB于点Q，Q即为所求；
【详解】解：如图，点Q即为所求；
∵QD垂直平分AP，
∴AQ=PQ，
∴AB=AQ+BQ=PQ+BQ，
∴点Q即为所求；
【点睛】本题考查基本作图—作垂线．熟练掌握垂线的作图方法，是解题的关键．
16．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，请用尺规作一条直线EF，交AD于点E，交BC于点F，使得矩形沿直线EF折叠后，点B与点D重合．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据题意可知EF即为BD的垂直平分线，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，直线EF即为所求；
∵矩形沿直线EF折叠后，点B与点D重合，
∴EF即为BD的垂直平分线，
∴直线EF即为所求．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，正确理解题意是解题的关键．
17．（2023·广东东莞·统考一模）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E、F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹．不要求写作法）；
(2)若BC=8，CD=4，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；
（2）连接FD，根据垂直平分线的性质得出BF=DF，设BF=x，则CF=8−x，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：直线EF即为所求；
（2）证明：连接FD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BF=DF，
∵BC=8，CD=4，∠C=90°
∴设BF=x，则CF=8−x，
∵CF2+CD2=DF2即(8−x)2+42=x2，
解得：x=5，
∴BF的长为5．
【点睛】本题综合考查了尺规作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理解三角形等，熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化是解题关键．
18．（2023·山东青岛·统考一模）已知：在△ABC及AB边上一点E．求作：⊙O，使它分别于AB，BC相切，且点E为其中一个切点．
【答案】见解析
【分析】过点E作AB的垂线，作∠ABC的平分线，两条线相交于点O，以点O为圆心，OE为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】此题考查了作图—复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
19．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线．
(1)尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
(2)在（1）的条件下，求证：BE=DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点B和D为圆心，大于二分之一BD长为半径画弧，即可作BD的垂直平分线；
（2）在（1）的条件下，利用ASA证明△ODF≌△OBE即可得BE=DF．
【详解】（1）解：如图，直线EF即为所求；
；
（2）证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ODF=∠OBE，
由作图过程可知：OD=OB，
在△ODF和△OBE中，
∠ODF=∠OBEOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBEASA，
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法和得到△ODF≌△OBE．
20．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知在△ABC中，BD=2CD．请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，S△ABE=16S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以点B为圆心，CD为半径画弧，与BC交于点F，再作线段BF的垂直平分线，与BC交于点E即可．
【详解】解：如图，点E即为所求，
由作图可知：BF=DF=CD，且BE=12BF，
∴BE=16BC，
∴S△ABE=16S△ABC．
【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，根据面积的关系确定线段的关系．
类型三、关于三角形、圆的基本作图
21．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°．
(1)尺规作图：作⊙O，使它过点A、C，且圆心O在AB上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的⊙O中，求证：点B在⊙O上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，与AB相交于点O，以点O圆心，OA长为半径作圆，即可得到解答；
（2）连接OC，由（1）得直线l为AC的垂直平分线，则OC=OA，得∠A=∠OCA，由由∠B+∠A=90°且∠OCB+∠OCA=90°得到∠B=∠OCB，则OC=OB，即OC=OB=OA，即可得证．
【详解】（1）如图所示，⊙O为所求，
；
（2）如图，连接OC，由（1）得直线l为AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°且∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠B=∠OCB
∴OC=OB，即OC=OB=OA，
∴A、B、C三点共圆，点B在⊙O上．
【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
22．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，连接BD，利用尺规作图法求作⊙O，使⊙O经过点B、C、D．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作出线段BD的垂直平分线交BD于点O，以O为圆心，以OD为半径作圆，即可作答．
【详解】作出线段BD的垂直平分线交BD于点O，以O为圆心，以OD为半径作圆，
如下图：
⊙O即为所求．
证明：连接OC，
根据作图可知：点O是Rt△DBC斜边的中点，即OC=12BD=OD=OB，
即点C在以BD为直径的圆上，
即⊙O经过点B、C、D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，掌握圆周角定理是解答本题的关键．
23．（2023·福建龙岩·校考一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)综合运用：请根据所作的图，若AC=8，sin∠OBC=13，求OB的长．
【答案】(1)见解析
(2)212
【分析】（1）根据角平分线和圆的尺规作图方法作图即可；
（2）如图所示，过点O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得到OC=OD，设OC=OD=x，OA=8−x，解Rt△OBC求出OB=3x，BC=22x，再证明△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性质求出AD=22，在Rt△ADO中，由勾股定理得，8−x2=x2+222，解得x=72，则OB=3x=212．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点O作OD⊥AB于D，
∵OB平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，
∴OC=OD，
设OC=OD=x，OA=8−x，
在Rt△OBC中，sin∠OBC=OCOB=13，
∴OB=3OC=3x，
∴BC=OB2−OC2=22x，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠ACB，
∴△ADO∽△ACB，
∴ADAC=ODBC，即AD8=x22x，
∴AD=22，
在Rt△ADO中，由勾股定理得OA2=OD2+AD2，
∴8−x2=x2+222，
解得x=72，
∴OB=3x=212．
【点睛】本题主要考查角平分线和圆的尺规作图，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
24．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知△ABC中，∠A=22.5°，∠B=45°．
(1)求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点；（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
(2)在（1）所作的图形中，若与AB相交于D，连接CD，
①求证：直线BC是⊙O的切线；
②求tan∠BCD的值．
【答案】(1)图见解析
(2)①见解析②2−1．
【分析】（1）作线段AC的中垂线，交AB于点O，O点即为圆心，以OA为半径画圆即可；
（2）①连接OC，根据圆周角定理，可得∠COD=2∠A=45°，进而得到∠OCB=90°，即可得证；
②易证∠OAC=∠BCD，过点C作CH⊥AD于点H，得到△CHO为等腰直角三角形，求出CH,OH的长，进而求出AH的长，即可得解．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）①证明：连接OC，则：∠COD=2∠A=45°，
∵∠B=45°，
∴∠OCB=90°，即：OC⊥BC，
∵OC为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线；
②解：∵OA=OC=2，AD是⊙O的直径，
∴∠OAC=∠OCA,∠ACD=90°，
∴∠OAC+∠OCD=∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
过点C作CH⊥AD于点H，则：∠CHO=90°，
∵∠COD=45°，
∴CH=OH=22OC=2，
∴AH=OA+OH=2+2，
∴tan∠BCD=tanA=CHAH=22+2=2−1．
【点睛】本题考查基本作图—中垂线，画圆，以及圆周角定理，切线的判定，解直角三角形．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
25．（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
【答案】见解析
【分析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作⊙P，再过D点作AB的垂线交⊙P于Q点，接着在AC上截取AF=AQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，OF为半径作圆即可．
【详解】如图，⊙O为所作．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
26．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．
(1)作△ABC的外接圆O（尺规作图）；
(2)若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)245
【分析】（1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，先作线段AB和AC的垂直平分线确定点O的位置，再以O为圆心，以OB的长为半径画圆即可；
（2）如图所示，连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，由直径所对的圆周角是直角得到∠ABE=90°，再由圆周角定理得到∠E=∠C，进而证明△ABE∽△ADC得到ABAD=AEAC，由此代入数值计算求出AE的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图所示，连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，
∴∠ABE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
又∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴ABAD=AEAC，即85=AE6，
∴AE=485，
∴OA=12AE=245，
∴△ABC的外接圆O半径的长为245．
【点睛】本题主要考查了画三角形外接圆，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
27．（2023·山东青岛·校考一模）如图1，已知直线a∥b，直线c分别与a，b交于点M，N．在线段MN上求作一点A，使点A到a，b的距离相等．
如图2，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦，且圆心P到∠AOB两边的距离相等．
【答案】见解析
【分析】如图1中，作线段MN的垂直平分线垂足为A，点A即为所求．如图2中，作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT交EF于点P，点P即为⊙P的圆心，画出⊙P即可．
【详解】解：如图1中，点A即为所求；
如图2中，点⊙P即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线之间的距离，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°．
(1)在图1中求作⊙O，使⊙O经过B、C两点，且与直线AB、AC相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
(2)已知BC=6，则⊙O的半径为______．（如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）分别以B、C为圆心，以适当半径作弧，交直线AB与M、N，直线AC于E、F，分别作MN、EF的垂直平分线交点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O即可；
（2）先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再根据∠B=∠C=30°证出△OBC是等边三角形，即可得解.
【详解】（1）解：⊙O如图所示，
；
（2）解：∵AB是圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠CBO=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，切线的性质；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
29．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BC于点P，以P为圆心，BP为半径作⊙P即可．
【详解】解：如图，⊙P即为所求作．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考一模）已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．
【答案】见解析
【分析】先作∠AOB的平分线OM，在射线OB上取一点C，再过C点作OB的垂线，在垂线上截取CD=a，然后过D点作CD的垂线交OM于P，最后以P点为圆心，a为半径作圆．
【详解】解：∵⊙P与∠AOB的两边相切，
∴点P到角两边的距离相等，即：点P在∠AOB的角平分线上，
作∠AOB的平分线OM，在射线OB上取一点C，过C点作OB的垂线，在垂线上截取CD=a，过D点作CD的垂线交OM于P（平行线间的距离处处相等），以P点为圆心，a为半径作圆，如图，⊙P即为所作．
【点睛】本题考查基本作图，切线的性质，角平分线的判定定理．熟练掌握切线的性质，得到圆心在角的平分线上，以及角平分线和垂线的作图方法，是解题的关键．
类型四、格点作图
31．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图．
(1)在图（1）中作出△ABC的中线CD；
(2)请在图（2）中找一格点E，使得S△ABE=S△ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点E，F，连接EF交AB于点D，连接CD即可；
（2）利用等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，CD即为所求，
，
理由：∵AE=BF，AE∥BF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∴AD=BD，
∴CD是△ABC的中线；
（2）解：如图，即为所求，
，
理由：
连接CE，
，
根据勾股定理，可求AC=52+12=26，BE=52+12=26，AB=42+12=17，CE=42+12=17，
∴AC=BE，CE=AB，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴C，E到AB的距离相等，
∴S△ABE=S△ABC．
【点睛】本题考查了格点作图，掌握三角形等面积法，勾股定理，平行四边形的判定与性质是解题的关键．
32．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在格点上．
(1)将△ABC先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到△MNP（点A的对应点是M，点B的对应点是N，点C的对应点是P），请画出△MNP；
(2)在（1）画出△MNP后，在网格中画出△DEF（点F在格点上），使∠EDF=45°，△DEF的面积为152；
(3)连接PF，并直接写出线段PF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)PF=35
【分析】（1）根据平移规则，画出△MNP即可；
（2）根据题意，取格点F，如详解图，画出△DEF即可；
（3）利用勾股定理求出PF的长即可．
【详解】（1）解：如图所示，△MNP即为所求；
（2）解：如图所示，△DEF即为所求；
由图可知：DH2=22+12=5=HF2,DF2=32+12=10，
∴DH2+HF2=10=DF2，
∴∠DHF=90°,DH=HF，
∴∠HDF=45°，
∵DE=62+32=35，DH=5，
∴S△DEF=12DE⋅FH=12×35×5=152；
∴△EDF即为所求；
（3）解，连接PF，
由勾股定理，可得：PF=62+32=35．
【点睛】本题考查平移作图，勾股定理与网格问题，以及利用勾股定理逆定理判定直角三角形．熟练掌握平移的性质和勾股定理，是解题的关键．
33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)图①是由边长为1的小等边三角形构成的网格，ΔABC为格点三角形．在图①中，画出ΔABC中AB边上的中线CM；
(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，画出BC边的垂直平分线n．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出AB的中点M，连接CM即可；
（2）连接AC，BD交于点O，延长BA交CD的延长线于点S，作直线SO即可．
【详解】（1）如图1中，线段CM即为所求．
（2）如图2中，直线n即为所求．
证明：
∵∠BAD=∠ADC∴180°−∠BAD=180°−∠ADC∴∠SAD=∠SDA∴SA=SD
∵AD∥BC∴∠SAD=∠SBC∠SDA=∠SCB
∴∠SBC=∠SCB∴SB=SC
∴点S在BC的垂直平分线上
∵AB=CD，∠BAD=ADC，AD=AD∴ΔABD≌ΔDCA(SAS)∴∠ABD=∠DCA
∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∠DAC=∠ACB
∴∠OBC=∠OCB∴OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
所以SO是BC的垂直平分线
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．（2023春·吉林长春·九年级校联考阶段练习）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3．
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5．
(3)在图③中，画平行四边形ABEF，使∠ABE=135°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点C，连接AC，BC，得到△ABC即为所求，再利用三角形的面积计算方法求得到符合题意的图形，即可；
（2）取格点D，连接AD，BD，得到△ABD即为所求，再根据勾股定理逆定理，即可证明；
（3）取格点E，F，连接AF，EF，BE，即可得到平行四边形ABEF，由勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质即可证明．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；
理由：由图可知AB=32+12=10，AC=32+12=10，BC=2，
∴AB=AC，S△ABC=12×2×3=3；
（2）解：如图，△ABD即为所求；
理由：由图可知AB=32+12=10，AD=32+12=10，BD=22+42=25，
∴AB=AD，且AB2+AD2=BD2，
∴△ABD为等腰直角三角形，S△ABD=12AB⋅AD=12×10×10=5；
（3）解：如图，平行四边形ABEF即为所求；
理由：连接BF，
由图可知AB=EF=32+12=10，AF=BE=BF=22+12=5
∴四边形ABEF是平行四边形，AF2+BF2=AB2，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°，∠AFB=∠EBF=90°，
∴∠ABE=135°．
【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键．
35．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点成为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图．
(1)在图①中，在AC上找一点D，使AD:CD=2:3；
(2)在图②中，在AC上找一点E，使S△ABE:S△BCE=1:2；
(3)在图③中，在△ABC内部找一点F，使S△ACF:S△ABF:S△BCF=4:3:3．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）如图，取格点M,N，连接MN交AC于点D，点D即为所求；
（2）根据S△ABE:S△BCE=1:2，得到AE:CE=1:2，取格点P,Q连接PQ交AC于点E，E点即为所求；
（3）由S△ACF:S△ABF:S△BCF=4:3:3可得点F到AB、BC的距离相等，即F在∠ABC的角平分线BH上，设BH与AC交于点H，由题意可得：HF:BF=2:3，取格点K,S，连接KS，交BH于点F，点F即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求；
由图可知：△ADM∽△CDN，
∴AD:CD=AM:CN=2:3，
∴D点即为所求；
（2）解：如图所示，点E即为所求；
由图可知：△APE∽△CEQ，
∴AE:CE=AP:CQ=1:2，
∴S△ABE:S△BCE=AE:CE=1:2，
∴点E即为所求；
（3）解：由S△ACF:S△ABF:S△BCF=4:3:3可得点F到AB、BC的距离相等，即F在∠ABC的角平分线BH上，设BH与AC交于点H，则H为AC的中点，
由题意可得：S△CFH=12S△ACF，
∴S△CFH:S△BCF=2:3，即FH:BF=2:3，
取格点K,S，连接KS，交BH于点F，由图可知：FH:BF=SH:BK=2:3，
则：点F即为所求，如图：
【点睛】此题考查了网格作图，涉及了相似三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是根据面积比确定出相应点的位置．
36．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE；连接PE交AC于F，则sin∠APF=______
(2)在图2中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC
(3)在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N连接PM，MN，使得PM+MN最小.
【答案】(1)31010
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，利用格点可得Rt△AGB≌Rt△EKA，由此可得点E，再证Rt△HAP∽Rt△KEA，可得APEA=AHEK=13，即EA=3AP，再由勾股定理可得PE=AP2+EA2=10AP，进而可得sin∠APF；
（2）连接TX交AC于点Q，连接PQ，点Q即为所作；
（3）连接SL交AC于点M，取格点B'，连接AB'交网格线于点P'，连接P'M并延长交BC于点N，点M，N即为所作．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段．
由图可知，AG=EK=3，∠AGB=∠EKA=90°，GB=KA=4，
∴ Rt△AGB≌Rt△EKASAS，
∴ ∠GAB=∠KEA，AB=AE，
∵ ∠KAE+∠KEA=90°，
∴ ∠GAB+∠KAE=90°，
∴ ∠BAE=90°，
∴线段AE即为所求；
∵ ∠HAP=∠KEA，∠AHP=∠EKA=90°，
∴ Rt△HAP∽Rt△KEA，
∴ APEA=AHEK=13，
∴ EA=3AP，
∴ PE=AP2+EA2=10AP，
∴ sin∠APE=AEPE=3AP10AP=31010，
∴ sin∠APF= 31010，
故答案为：31010．
（2）解：如图，连接TX交AC于点Q，连接PQ，点Q即为所作；
∵ AZ∥BY，BY=2AZ，
∴ APBP=AZBY=12，
∵ AX∥CT，CT=2AX，
∴ AQQC=AXCT=12，
∴ APBP=AQQC，
∴ PQ∥BC；
（3）解：如图，连接SL交AC于点M，取格点B'，连接AB'交网格线于点P'，连接P'M并延长交BC于点N，
设小正方形的边长为1，
∵ AO=CO=4，∠AOC=90°，
∴ △AOC是等腰直角三角形，∠ACB=45°，
∴ ∠ACB'=90°−∠ACB=45°，
又∵ BC=B'C=7，
∴ △BAC和△B'AC关于AC对称，
∴点P和点P'关于AC对称，
∴ PM=P'M，PM和P'M关于AC对称，
由（2）可知PM∥BC，
∴ ∠AMP=∠ACB=45°，
∴ ∠AMP'=45°，
∴ ∠PMP'=45°+45°=90°，
∴ MP'⊥BC，
∴ PM+MN=P'M+MN=P'N，
即此时PM+MN最小，
∴点M，N即为所作．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．
37．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；
(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；
（2）设AE与⊙I的交点为C，根据网格的特点和平行线的求得直线BF交⊙I于M，N两点，然后连接AN，CM交于点D，连接DI并延长交MN与点G即可求解．
【详解】（1）如图所示，连接AD，BC相交于点O，
由网格可得，AD1=BC=3，
由网格的特点可得，D2B∥AC
∵点A，C，B，D2在同一个圆上
∴AD2=BC=3
∴点D1和D2即为所要求作的D点；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，
∴点O即为所求作的点；
‘
（2）如图所示，∵AC∥MN，点A，C，N，M在⊙I上
∴AM=CN
∴四边形AMNC是等腰梯形，
∴AN=CM，AD=CD,MD=ND
∴DG⊥MN，且DG平分MN，
∴点G即为所求作的点．

【点睛】本题考查了复杂作图，利用了垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．
38．（2023秋·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图1中作∠ABC的角平分线BP；
(2)在图2中过点C作直线l，使点A，B到直线l的距离相等，请作出所有满足条件的直线l．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）连接AC，HG，AC与HG交于点P，作射线BP即可；
（2）取格点D，过点C和点D作直线l，或者连接AB，EP相交于点H，过点H，C作直线l0．
【详解】（1）解：如图1，
连接AC、HG，AC与HG交于点P，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段AC和HG是矩形的两条对角线且交于点P，
∴ AP=CP，
又∵ AB=22+12=5，BC=22+12=5，
∴ AB=BC，
∴ △ABP≅△CBPSSS，∠ABP=∠CBP，
∴ BP平分∠ABC，
∴射线BP即为所作；
（2）解：如图2，符合条件的直线有两条，分别为直线l和直线l0．
①直线l：连接AD、AB、BC、CD，直线l经过点C和点D，
设小正方形的边长为1个单位，
∴ AB=22+12=5，AD=22+12=5，
BC=22+12=5，CD=22+12=5，
∴ AB=AD=CD=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵ AE=DF=1，BE=AF=2，∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
AE=DF∠AEB=∠DFABE=AF
∴ △AEB≌△DFASAS，
∴ ∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE+∠BAE=90°，
∴ ∠DAF+∠BAE=90°，
∴ ∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴ AD⊥l，BC⊥l，且AD=BC，
∴直线l即为所作．
②直线l0：连接AB，EP相交于点H，过点H，C作直线l0，作AM⊥l0，垂足为点M，作BN⊥l0，垂足为N，
∵ AB、EP是矩形AEBP的对角线，
∴AH=BH，
∵∠AMH=∠BNH=90°，∠AHM=∠BHN，AH=BH，
∴△AMH≅△BNHAAS,
∴AM=BN,
∴直线l0即为所作．
故符合条件的直线有两条，分别为直线l和直线l0．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
39．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
(1)画出以AB为直角边的△ABC，点C在方格纸上的格点上，tan∠BAC=12；
(2)在（1）的条件下，线段AC绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD（点A与点D为对应点），点D在方格纸上的格点上，连接AD，直接写出四边形ABCD的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)15
【分析】（1）先判断出∠ABC是直角，再根据正切三角函数的定义可得BC=5，结合网格特点画出图形即可；
（2）先根据旋转的性质、勾股定理可得∠ACD=90°,CD=AC=5，再根据四边形ABCD的面积等于SRt△ABC+SRt△ACD即可得．
【详解】（1）解：由网格可知，AB=22+42=25，
∵△ABC是以AB为直角边，且tan∠BAC=12，
∴∠ABC是直角，
∴tan∠BAC=BCAB=12，
解得BC=12AB=5．
则画出图形如下：
（2）解：由题意，画出图形如下：
由旋转的性质得：∠ACD=90°,CD=AC=AB2+BC2=5，
则四边形ABCD的面积为SRt△ABC+SRt△ACD=12×5×25+12×25×25=15．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
40．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图（1）中，⊙P经过格点C，画弦BD，使BD平分∠ABC，在弧AC上画点E，使得∠ECB=45°；
(2)任图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG=FA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点T，连接AT交BC于点P，连接AC，取AC的中点W，作射线PW交⊙P于点D，线段BD即为所求作；取格点H，连接BH，弦AC与BH交于点F，作射线PF交⊙P于点E，点E即为所求；
（2）取格点J，连接AB，AJ延长AJ交⊙P于Q，连接BQ可得圆心P，取格点R，⊙P与格线的交点D，连接FR，DR，作DR交⊙P于G，连接FG，可证FA=FR=FG，线段FG即为所求作．
【详解】（1）如图，点P，线段BD即为所求作．
（2）如图，点P，线段FG即为所求作．
【点睛】本题考查作图-应用与设计垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．