专题18数形结合思想（最新模拟40道押题预测：与数轴、坐标系、函数、几何）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

这是一份专题18数形结合思想（最新模拟40道押题预测：与数轴、坐标系、函数、几何）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】，文件包含专题18数形结合思想最新模拟40道押题预测与数轴坐标系函数几何-临考预测2023中考数学重难题型押题培优全国通用原卷版docx、专题18数形结合思想最新模拟40道押题预测与数轴坐标系函数几何-临考预测2023中考数学重难题型押题培优全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。

（最新模拟40道押题预测：与数轴、坐标系、函数、几何）
类型一、数轴与数形结合思想
1．（2023•济南二模）如图，下列结论正确的是（ ）
A．b﹣a＞0B．a+b＜0C．|a|＞|b|D．ac＞0
【分析】根据数轴确定a，b，c的符号和绝对值的大小，根据有理数的加减运算法则，有理数的乘法法则判断即可．
【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|a|＜|b|＜|c|，
∴b﹣a＞0，故A符合题意；
a+b＞0，故B不符合题意；
|a|＜|b|，故C不符合题意，
ac＜0，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确结合数轴上数字位置分析是解题关键．
2．（2023•碑林区一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b＝0．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【分析】根据a+b＝0，A、B两点间的距离为6判断出点A、B分别表示的数即可．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a、b互为相反数，
∵A、B两点间的距离为6，
∴点A、B分别在距离原点3的位置上，
∴点A表示的数为﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查数轴上点的位置以及相反数，解题关键是找到点A、B分别所在的位置．
3．（2023•鼓楼区校级模拟）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（ ）
A．﹣2bB．﹣2a﹣2cC．﹣2b+2cD．2a﹣2b
【分析】先根据数轴上点的位置推出a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0，然后化简绝对值即可得到答案．
【解答】解：由题意得：c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|
＝﹣（a+c）﹣（b﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c﹣b+a﹣b+c
＝﹣2b，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减法计算，整式的加减计算，化简绝对值，正确根据题意得到a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0是解题的关键．
4．（2023•海淀区校级模拟）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A．a＞bB．﹣ab＜0C．|a|＜|b|D．a＜﹣b
【分析】根据各点在数轴上的位置得出a、b两点到原点距离的大小，进而可得出结论．
【解答】解：∵由图可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜﹣b．
故选：D．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
5．（2023•秦皇岛一模）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A．﹣B．﹣2C．D．
【分析】借助数轴，可直观得结论，亦可运用有理数的加减得结论．
【解答】解：点A向左移动2个单位，
点B对应的数为：﹣2＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了点在数轴上的移动，点沿数轴往正方向移动，点对应的数加移动的距离得到移动后的数，点沿数轴往负方向移动，点对应的数减移动的距离得到移动后的数．
6．（2023•陈仓区模拟）如图，将刻度尺放在数轴上，若4cm和6cm刻度分别与数轴上表示1和2的两点对齐，则数轴上与零刻度对齐的点表示的数为 ﹣1 ．
【分析】由数轴的概念即可求解．
【解答】解：∵4cm和6cm刻度分别与数轴上表示1和2的两点对齐，
∴数轴的单位长度是2cm，
∴原点对应2cm的刻度，
∴数轴上与零刻度对齐的点表示的数是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．
7．（2023•碑林区校级模拟）如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1），则点C表示的数是 ﹣1 ．
【分析】根据数轴上表示的数互为相反数的性质：到原点的距离相等，再由两点之间的距离确定出A表示的数即可得出答案．
【解答】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数，
∴A，B两点到原点的距离相等，
∵点A与点B之间的距离为6个单位长度，
∴点A到原点的距离为6÷2＝3，
∵点A在原点的左侧，
∴点A表示的数是﹣3，
∴点C表示的数是﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了数轴，以及相反数，弄清数轴上互为相反数两个数到原点的距离相等这个性质是解本题的关键．
8．（2023•榆林一模）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|+|b﹣1|＝ ﹣a+c﹣b+1 ．
【分析】先根据数轴上各点的位置确定2a、a+c、b﹣1的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：由数轴可得c＜a＜0＜b＜1，
∴2a＜0，a+c＜0，b﹣1＜0，
∴原式＝﹣2a+（a+c）﹣（b﹣1）
＝﹣2a+a+c﹣b+1
＝﹣a+c﹣b+1．
故答案为：﹣a+c﹣b+1．
【点评】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，根据数轴上各点的位置对2a、a+c、b﹣1的符号作出判断是解答此题的关键．
9．（2023•碑林区校级一模）如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为 ﹣6 ．
【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【解答】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB＝4﹣（﹣1），AC＝﹣1﹣x，
根据题意AB＝AC，
∴4﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，
解得x＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
10．（2023•保定一模）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为﹣4，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺3.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 7 个单位长度．
（2）数轴上点B所对应的数b为 ﹣1 ，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到CB的中点P1处，第二次从P1点跳动到P1B的中点P2处，第三次从P2点跳动到P2B的中点P3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点P4所表示数为 ．
【分析】（1）根据点A、C是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解；
（2）根据线段AC的长度及刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现你点B对齐刻度尺1.5cm，点C对齐刻度尺3.5cm处，即可通过比例关系求出b的值，然后分别先求出线段的长度，既可以根据线段中点的概念进行求解．
【解答】解：（1）∵A，C是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为﹣4，3，
∴AC＝3﹣（﹣4）＝7；
故答案为：7；
（2）∵刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺3.5cm处，AC＝7，
∴，
∴数轴上点B对应的数b为﹣1，
∴BC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到CB的中点P1处，
∴点P1表示的数为，
∵第二次从P1点跳动到P1B的中点P2处，
∴点P2表示的数为，
∵第三次从P2点跳动到P2B的中点P3处，
∴点P3表示的数为，
∵第四次从P3点跳动到P3B的中点P4处，
∴点P4表示的数为．
故答案为：7，﹣1，．
【点评】本题主要考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键．
类型二、坐标系中的数形结合思想
11．（2023•市中区校级模拟）用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形生物园的一边长为xm，则围成长方形生物园的面积为Sm2，选取6组数对（a，b）在坐标系中描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意列出S与x的函数关系式，再根据关系式判断S与x的关系是一次函数、二次函数还是反比例函数，再选出正确答案即可．
【解答】解：由题意得＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，
S是x的二次函数，且开口向下．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据题意列函数关系式及一次函数、二次函数、反比例函数图像的特征，熟练掌握以上函数图像的特征是解题的关键．
12．（2023•金水区校级一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（3，0）C．（1，4）D．（8，3）
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2023除以6得到337余1，说明点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环的第一次，因此点P的坐标为（3，0）．
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∵第6次反弹时回到出发点，
∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2023÷6＝337⋯⋯1，
∴点P第2023次碰到矩形的边时是第338个循环的一次，
坐标为（3，0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标，根据作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
13．（2023•郸城县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA方向匀速循环前行，当机器人前行了2023s时，其所在位置的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（1，1）
【分析】由点可得ABCD是长方形，智能机器人从点A出发沿着A﹣B﹣C﹣D回到点A所走路程是10，即每过10秒点P回到A点一次，判断2023÷10的余数就是可知智能机器人的位置．
【解答】解：由点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
可知ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝2，CB＝AD＝3，
∴机器人从点A出发沿着A﹣B﹣C﹣D回到点A所走路程是：2+2+3+3＝10，
∵2023÷10＝202余3，
∴第2023秒时机器人在BC与x轴的交点处，
∴机器人所在点的坐标为（﹣1，0），
故选：A．
【点评】本题考查规律型﹣点的坐标，平面内点的坐标特点．能够找到点的运动每10秒回到起点的规律是解题的关键．
14．（2023•沈河区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，3）D．（2，4）
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点A2023的坐标即可．
【解答】解：∵A1的坐标为（2，4），
∴A2（﹣3，3），A3（﹣2，﹣2），A4（3，﹣1），A5（2，4），
……，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴点A2023的坐标与A3的坐标相同，为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
15．（2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P，若P（1，1），则AB的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】由P（1，1），得OP＝，根据OP∥AB，有△COP∽△CBA，即得＝，故AB＝2．
【解答】解：∵P（1，1），
∴OP＝，
∵OP∥AB，
∴∠ABC＝∠COP，∠BAC＝∠P，
∴△COP∽△CBA，
∴＝＝，即＝，
∴AB＝2，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
16．（2023•泌阳县一模）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图②方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2022次后，点B的横坐标为（ ）
A．2022+673B．2022+674C．2023+674D．2023+673
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为3+，进而可得滚动2022次后，点B的横坐标．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴△ABC的周长为3+，
根据题意可得，每滚动3次，点B的横坐标增加3+，
∵2022÷3＝674，
∴滚动2022次后，点B的横坐标增加了674×（3+），
∴滚动2022次后，点B的横坐标为1+674×（3+）＝2023+674，
故选：C．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键．
17．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，点A（0，2）、B（0，4）是y轴上定点，连接AC、BD，则AC+BD的最小值为 3 ．
【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C平移后为点B'，即B'C＝BD，进而得出B'（﹣3，4），再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'B'，即可求解答案．
【解答】解：如图，平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C＝BD，
∵CD＝3，B（0，4），
∴点B'（﹣3，4），
作点A关于x轴的对称点A'，此时点A'，C，B'在同一条线上时，AC+BD最小，
∵A（0，2），
∴A'（0，﹣2），
连接A'B'，则AC+BD的最小值为．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'B'是解本题的关键．
18．（2023•和平区一模）如图，△AOB的顶点O（0，0），顶点A在第一象限，顶点B在y轴正半轴上，点C为OA上的一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，CD＝2，则B点的坐标为 （0，6） ．
【分析】由点B在y轴上，且CD∥OB，得CD∥y轴，则△ACD∽△AOB，得比例式可得OB＝6，从而得结论．
【解答】解：∵点B在y轴上，且CD∥OB，
∴CD∥y轴，
∴△ACD∽△AOB，
∴＝，
∵AC：OC＝1：2，
∴＝，
∴＝，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（0，6）．
故答案为：（0，6）．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、图形与坐标等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ACD∽△AOB是解题的关键．
19．（2023•孟村县校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为 （0，4） ，点A2023的坐标为 ﹣3，1） ；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 ﹣1＜a＜1且0＜b＜2 ．
【分析】根据点A1的坐标结合伴随点的定义，即可找到点A2，A3，A4，A5的坐标，进而得出坐标的变化规律：每4个点为一个循环组依次循环，按照此规律即可得出答案；根据点A1的坐标为（a，b）和伴随点的定义，即可求得点A2，A3，A4，A5，A6，……的坐标，总结得出规律，再根据“对于任意的正整数n，点An均在x轴上方”列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点A1的坐标为（3，1），
∴点A2的坐标为（0，4），点A3的坐标为（﹣3，1），点A4的坐标为（0，﹣2），点A5的坐标为（3，1），
点A6的坐标为（0，4）．…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505⋅⋅⋅3，
∴点A2023的坐标与A3的坐标相同，为（﹣3，1）．
∵点A1的坐标为（a，b），
∴点A2的坐标为（﹣b+1，a+1），点A3的坐标为（﹣a，﹣b+2），点A4的坐标为（b﹣1，﹣a+1），点A5的坐标为（a，b），
∴点An的坐标四次一循环．
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴，
解得：﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
故答案为：（0，4）；（﹣3，1）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
【点评】本题考查了点的坐标规律，解不等式组等，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义找出规律是解题关键．
20．（2023•锡山区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为 90 ．
【分析】由题意可作出以OA为直径的⊙M，根据已知条件及圆的相关知识可得答案．
【解答】解：如图，在平面直角坐标系中作出以OA为直径的⊙M，
设直线y＝1与⊙M相切于点P，则MP垂直于直线y＝1，
根据三角形内角和定理可知，要使得m+n取得最小值，则需∠OPA取得最大值．
∵点P到x轴的距离为1，而PM为半径，
∴PM＝1，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OM＝1，
∴∠OPA为以OA为直径的圆的一个圆周角，
∴∠OPA＝90°．
在直线y＝1上任取一点不同于点P的一点P'，连接OP'，交⊙M于点Q，连接AQ，
则∠AQO＝90°＞∠AP'O，
∴∠OPA＞∠AP'O，
∴∠OPA的最大值为90°，
∴m+n的最小值为90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是解题的关键．
类型三、函数与数形结合思想
21．（2023•大同二模）如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（℃）之间的对应关系，观察该图可知（ ）
A．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小
B．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20℃
C．当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
D．当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
【分析】根据函数图象解答即可．
【解答】解：由图象可知，
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而增大，故选项A不符合题意；
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度小于20℃，故选项B不符合题意；
当温度为10℃时，硝酸钾的溶解度小于氯化氨的溶解度，故选项C不符合题意；
当温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度，说法正确，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（2023•九龙坡区模拟）如图是小贝散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．下列说法错误的是（ ）
A．小贝在散步过程中停留了5min
B．小贝在第25min～50min时间段匀速步行
C．小贝匀速步行的速度是m/min
D．小贝在散步过程中步行的平均速度是40m/min
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合思想进行计算即可解答．
【解答】解：由图象可知：
小贝在散步过程中停留了25﹣20＝5（min），故A选项正确，不符合题意；
小贝在第25min～50min时间段匀速步行，故B选项正确，不符合题意；
小贝匀速步行的速度为（2000﹣1200）÷（50﹣25）＝32m/min，故C选项错误，符合题意；
小贝在散步过程中步行的平均速度为2000÷50＝40m/min，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，利用函数图象中的信息，进行正确的计算是解题关键．
23．（2023•海淀区校级模拟）某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得，则n的取值不可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．
【解答】解：设＝k，
则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）也都在函数y＝kx的图象上，
即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，
由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．
24．（2023•晋州市模拟）如图1所示，正方形ABCD中，点E是BC边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，PD﹣PB＝y，图2是点P运动时y随x变化关系的图象，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用y＝PD﹣PB开始为0，到最大值为3，也就是P到达B点时，即PD＝3，PB＝0，可求得对角线BD＝3，从而求得边长AB＝3，从而Q的横坐标为3+＝，根据勾股定理可求出PD和PB的长，进而可得结论．
【解答】解：根据图2可知，
点P到B点时，y＝PD﹣PB＝0，
点P到C点时，y＝PD﹣PB＝3，
即AC＝BD＝3，
∴AB＝AD＝3．
点P到E点时，y＝﹣＝﹣，
点Q的横坐标为：3+＝，
∴Q（，﹣）．
故选：C．
【点评】本题考查的是正方形中的动点问题，解题的关键是找到图中的关键点及对应的关键数．
25．（2023•河南模拟）如图1所示，动点P从正六边形的A点出发，沿A→B→C→D→E以1cm/s的速度匀速运动到点E，图2是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则图2中的m为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AC、EC，过点B作BG⊥AC于点G，根据图形可知，当点P运动到C点时，△APE面积最大，由图2可求出AB＝，再根据正六边形的性质证明△AEC为等边三角形，然后由面积公式求出m得值．
【解答】解：连接AC、EC，过点B作BG⊥AC于点G，过点A作AH⊥EP于点H，
当点P运动到C点时，△APE面积最大，
由图2知，AB+BC＝2，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠B＝∠F＝∠D＝120°，
∴AB＝，
∴AG＝AB•sin60°＝×＝，
∴AC＝2AG＝3，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠B＝∠F＝∠D＝120°，
∴△ABC≌△EDC≌△AFE，
∴AC＝EC＝AE，
∴△AEC为等边三角形，
∴AH＝AC，
∴S△AEC＝EC•AH＝×AC•AC＝××32＝，
∴m＝．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键．
26．（2023•和平区模拟）如图（单位：cm），等腰直角△EFG以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到EF与BC重合，当运动时间为xs时，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出x≤5时与5≤x≤10时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可
【解答】解：如图1，当x≤5时，重叠部分为三角形，面积y＝•2x•2x＝2x2，
如图2，当5≤x≤10时，重叠部分为梯形，面积y＝×10×10﹣（2x﹣10）2＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
27．（2023•白银模拟）如图1，将边长为a的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和a的Rt△GEF的一边GF重合，正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动，设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当秒时，重叠部分的面积为（ ）
A．2B．C．1D．
【分析】因为t＝2﹣，当0≤t≤2时，BG＝t，BE＝2﹣t，运用△EBP∽△EGF的相似比可表示PB＝4﹣2t，S为梯形PBGF的面积，则S＝（4﹣2t+4）•t＝﹣t2+4t，其图象为开口向下的抛物线的一部分，据此解答即可．
【解答】解：当0≤t≤2时，如图，
BG＝t，BE＝2﹣t，
∵PB∥GF，
∴△EBP∽△EGF，
∴＝，
即＝，
∴PB＝4﹣2t，
∴S＝（PB+FG）•GB＝（4﹣2t+4）•t＝﹣t2+4t，
∴S＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象是解题的关键．
28．（2023•中原区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，DE是中位线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1.5cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△DEP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为（ ）
A．3B．C．D．4.5
【分析】先根据图2求出BC的长度，再根据中位线定理求出DE的长度，然后根据三角形面积公式结合P和D重合时面积最大，求出a的值．
【解答】解：由图象知，当点P在BC上运动时，△DEP的面积的面积不变，
∴BC＝（a+4﹣a）×1.5＝6（cm），
∵DE是中位线，
∴DE＝BC＝3（cm），
当点P在线段DC上时，
S△DEP＝DE•PD＝×3×1.5x，
由图象知，当点P和点C重合时，即x＝a时，△DEP的面积＝3，
∴×3×1.5a＝3，
解得a＝．
故选：C．
【点评】本题考查了动点的函数图象问题，涉及三角形中位线定理，关键是结合图2得出BC的长度．
29．（2023•香洲区校级一模）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】由A、C关于BD对称，推出NA＝NC，推出AN+MN＝NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC＝2，就可以求出正方形的边长．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N'．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N'是△ABC的重心，
∴N'O＝BO，
∴N'D＝BD，
∵A、C关于BD对称，
∴NA＝NC，
∴AN+MN＝NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC＝2，
设正方形的边长为m，则BM＝m，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，
∴，
∴m＝4（负值已舍），
∴正方形的边长为4．
故选：C．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
30．（2023•咸宁模拟）如图①，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿A→B→C的路线运动，当点E到达点C时停止运动．若FE⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y，已知y关于x的函数图象如图②所示，当x＝5时，y的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据图②得到AB，BC的数值，然后根据相似三角形列出比例式即可求得．
【解答】解：当点E在A点时，即x＝0时，由图象可知：y＝4，
∴AB＝CD＝4，
当点E在B点和C点时，y＝0，
根据图象可知：BC＝6﹣4＝2，
当x＝5时，点E在BC中点，
∴BE＝CE＝1，
如图，
∵FE⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠CEF＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题，相关知识点有：函数图象、矩形性质、相似三角形的判定与性质，理解动点的完整过程是解题关键．
类型四、几何与数形结合思想
31．（2023•泽州县一模）如图，∠AOB＝45°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线OE，过点E分别作EG∥OA交OB于点G，EF⊥OA于点F．若EG＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点E作EH⊥OB于点H，由题意可知，OE为∠AOB的平分线，即可得EF＝EH，由平行线的性质可得∠BGE＝∠AOB＝45°，则EH＝EF＝＝，从而可得答案．
【解答】解：过点E作EH⊥OB于点H，
由题意可知，OE为∠AOB的平分线，
∴EF＝EH，
∵EG∥OA，
∴∠BGE＝∠AOB＝45°，
在Rt△EHG中，EH＝＝，
∴EF＝．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及作图方法是解答本题的关键．
32．（2023•南山区一模）如图，已知∠AOB＝150°．现按如下步骤作图：①以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点E，连接EO交于F；③以E为圆心，OD长为半径画弧，交OE于点G；④以G为圆心，DF长为半径画弧，交前弧于点H；⑤作射线EH交OA于点I．若测得OI＝6，则点E到OB的距离为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】由尺规作图可知，OE平分∠AOB，∠OEI＝∠BOE，可得∠EOI＝∠BOE＝∠OEI＝＝75°，∠EIO＝30°，过点O作OM⊥EI于点M，过点E作EN⊥OB于点N，在Rt△OIM中，可得OM＝OI＝3，则EN＝3，即可得出答案．
【解答】解：由尺规作图可知，OE平分∠AOB，∠OEI＝∠BOE，
∴∠EOI＝∠BOE＝∠OEI＝＝75°，
∴∠EIO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
过点O作OM⊥EI于点M，过点E作EN⊥OB于点N，
∴OM＝EN，
在Rt△OIM中，
∵∠EIO＝30°，
∴OM＝OI＝3，
∴EN＝3，
即点E到OB的距离为3．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，熟练掌握角平分的作图方法以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
33．（2023•东莞市校级一模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；通过证明△BDE∽△DPE，可得∠EPD＝∠BDE＝45°，可求∠DPF＝∠BHP＝105°，可证△BHP∽△DPF，故③④正确；由相似三角形的性质可得＝＝，故②错误，根据∠BPC＝∠EPF＝60°，得∠ABE＝30°，△BPC是等边三角形，PC＝PB，PE＝PF，得CF＝BE，所以BE＝2AE②正确；即可求解．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正确；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正确；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③错误，
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
34．（2023春•涟源市月考）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2.4B．4.8C．5D．6
【分析】连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则点A与点B关于直线CD对称，所以AE＝BE，AI＝BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以证明当点E与点I重合，且BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，由×5BG＝×6×4＝S△ABC，求得BG＝4.8，则AE+EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，
∵CD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝BC＝5，
∴AD＝BD＝AB＝×6＝3，
∴CD＝＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE＝BE，AI＝BI，
∴AE+EF＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，
∵AC•BG＝AB•CD＝S△ABC，
∴×5BG＝×6×4，
∴BG＝4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
35．（2023春•牡丹区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，AD，BE为高．点M，N分别为AB，AD上的动点，那么MN+BN的最小值为 1 ．
【分析】设BE与AD的交点为N'，作N'M'⊥AB，垂足为M'，则BN'+M'N'为所求的最小值，根据含30°的直角三角形的性质求出BE即可．
【解答】解：如下图，设BE与AD的交点为N'，作N'M'⊥AB，垂足为M'，则BN'+M'N'为所求的最小值，
∵AB＝AC＝2，AD为高，∴AD是∠BAC的平分线，∴M'N'＝N'E，∴BN'+M'N'＝BN'+N'E＝BE，∵BE为高，∴BE是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°×2＝30°∴，∴MN+BN的最小值是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值．
36．（2023春•拱墅区月考）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有 ②③ ．
【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD．
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∵H不是DE的中点，
∴BE＝DE≠2EC，故①错误；
∵AB＝CD，BH＝CD，
∴AB＝BH，故③正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；
故答案为：②③．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
37．（2023春•永康市月考）随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机（如图1）的跑道可以旋转（如图2），图3为跑道CD绕点D旋转到DC位置时的侧面图，其中AE为显示屏，AF为扶手，点A，E，C在同一直线上，GH为可伸缩液压支撑杆，G、H的位置不变，GH的长度可变化．
（1）已知AB＝80cm，csB＝，∠EAB+∠B＝180°，则BC＝ 120 cm；
（2）在（1）的条件下，若BG＝40cm，GH∥AB，∠B＝2∠DHG，且A、H、C恰好在同一直线上，则AD＝ cm．
【分析】（1）根据补角性质可得∠CAB＝∠B，作AM⊥BC，垂足为M，再根据三角函数及勾股定理可得BC的长；
（2）CI⊥AB于I，DJ∥BC于J，由等腰三角形性质及相似三角形的判定与性质得GH的长，最后根据平行四边形的判定与性质可得答案．
【解答】解：（1）∵点C在直线AE上，
∴∠EAB+∠CAB＝180°，
∵∠EAB+∠B＝180°，
∴∠CAB＝∠B，
∴AC＝BC，
如图，作AM⊥BC，垂足为M，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵csB＝，AB＝80cm，
∴BM＝AB•cnB＝（cm），
∴AM＝＝（cm），
∵AC＝BC，
在直角三角形AMC中，CM2+AM2＝AC2，
∴（BC﹣BM）2+AM2＝AC2＝BC2，
∴BC＝120（cm）．
故答案为：120．
（2）作CI⊥AB于I，DJ∥BC于J，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BI＝AI＝40cm，
∵AB∥GH且A、H、C三点共线，
∴△ABC∽△HGC，
∴，
∴GH＝GC＝（BC﹣BG）＝（cm），
∵DJ∥BC，
∴∠ADJ＝∠B＝2∠DHG，
∵AB∥GH，
∴∠ADH＝∠DHG，
∴∠ADJ＝∠ADC﹣∠ADH＝∠DHG，
∴DJ＝HJ，
∵AB∥GH，DJ∥BC，
∴四边形BGJD是平行四边形，
∴DJ＝BG＝40cm，
∴HJ＝40cm，
∴BD＝GJ＝GH﹣HJ＝﹣40＝（cm），
∴AD＝AB﹣BD＝80﹣＝（cm）．
故答案为：．
【点评】此题考查的是解直角三角形，能够掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解决此题关键．
38．（2023•潜江校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGF∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OG⋅OC．其中正确的结论是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】利用ASA证明△COE≌△DOF即可判断①；得到S△COE＝S△DOF，进而推出S△COD＝S四边形CEOF，再由正方形的性质得到，则，即可判断③；由∠FGO不一定是90°，得到∠FGO＝∠CGF不一定成立，即可判断△OGF与△FGC不一定相似，即可判断②；证明△OEG∽△OCE，得到OE2＝OC•OG，根据勾股定理得CF2+CE2＝EF2，再由BE＝CF，得到DF2+BE2＝EF2，在等腰直角△OEF中，EF2＝2OE2，则DF2+BE2＝2OC•OG，即可判断④．
【解答】解：∵正方形ABCD，∠EOF＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC＝∠COD＝90°，∠ODF＝∠OCD＝∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠DOF＝90°﹣∠COF＝∠COE，
在△DOF和△COE中：
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
∴S△COE＝S△DOF，
∴S△COE+S△COF＝S△DOF+S△COF，
∴S△COD＝S四边形CEOF，
∵正方形ABCD，
∴，
∴，
故③正确；
∵∠FGO不一定是90°，
∴∠FGO＝∠CGF不一定成立，
∴△OGF与△FGC不一定相似，故②错误；
∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠OEG＝∠OCE＝45°，
又∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴，
∴OE2＝OC•OG．
在直角△CEF中，根据勾股定理得CF2+CE2＝EF2，
∵△COE≌△DOF，
∴DF＝CE，
又∵BC＝DC，
∴BE＝CF，
∴DF2+BE2＝EF2，
在等腰直角△OEF中，EF2＝2OE2，
∴DF2+BE2＝2OC•OG，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明△COE≌△DOF是解题的关键．
39．（2023•北仑区一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝8，，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长．
【分析】（1）过A点作BC的垂线AD，求得AD的长度即可；
（2）如图2中，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线段，设EF＝x．作AH⊥BC于H．构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H．作FG⊥BH于G．设DE＝x．构建方程即可解决问题．②如图3﹣2中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H．作EG⊥BD于G．设FH＝y，则BF＝2y，BH＝y．构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）过A点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线，
∴AD＝AB×sin60°＝3×＝．
故答案为：；
（2）作AH⊥BC于H，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设EF＝x，
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍弃），
∴BC边的等级垂分线段的长度为．
（3）①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BH于G，
设EF交BD于H．设DE＝x，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝6，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
∴EH＝2x，，
∴，
∵∠A＝∠C＝90°，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠FHB＝∠HBA，
∴∠FHB＝∠FHB，
∴FH＝FB，
∵FG⊥BH，
∴，
∵△FGB∽△DAB，
∴，，
∴．
∵四边形EFCD的面积＝四边形EFBA的面积，△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴△DEH的面积＝△BHF的面积，
∴，
解得：（负根已经舍弃），
∴．
②作EG⊥BD于G，EF交BD于H，当线段EF是等积垂分线段时，设FH＝y，
∴BF＝2y，．
∵EF∥AD，
∴∠ADH＝∠EHD，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∵EG⊥DH，
∴，
∵，
∴，，
∴．
由△DEH的面积＝△BHF的面积，
∴，
解得（负根已经舍弃），
∴．
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
40．（2023•海淀区校级模拟）A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是 ∠AP2B，∠AP3B ；
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点A是以C（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙C与x轴交于点B（点B在点C的右边）．现有点M（1，0），N（0，2），对于线段MN上每一点P，都存在点C，使∠APB是AB关于⊙C的最佳内直角，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；
（2）求得直线AB的解析式，当直线y＝2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b＝5，则答案可求出；
（3）可知线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．
【解答】解：（1）①如图，
∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），
∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，
∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），
∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，
∴P2A2+P2B2＝AB2，
∴∠AP2B＝90°，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
②∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A（0，﹣5），B（4，3），
∴BD＝4，AD＝8，
并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y轴于点F，
∵OA＝OB，AH＝BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，
∴△OAH∽△BAD，
∴，
∴，
∴OH＝EO，
∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，
∴△EOF≌△HOA（ASA），
∴OF＝OA＝5，
∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，
∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．
（2）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2．
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT＝90°，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM＝1，ON＝2，
∴MN＝＝，
∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，
∴△GHM≌△NOM（ASA），
∴MN＝GM＝，
∴OG＝﹣1，
∴OT＝+1，
当T与M重合时，t＝1，
∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，
∴此时t的取值范围是1≤t＜5，
综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．
【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．