2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的开口方向是( )
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右
2.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )
A. 5B. 8C. 10D. 15
3.已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )
A. x2=y5B. x5=y2C. xy=25D. x2=5y
4.如图，四边形ABCD和AB′CD是以点O为位似中心的位似图形.若OA：OA=1：3，四边形ABCD的周长是3，则四边形A′B′C′D′的周长是( )
A. 1
B. 3
C. 9
D. 27
5.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是( )
A. 12B. 24C. 1188D. 1176
6.小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了( )
A. 2 5mB. 5mC. 5 3mD. 10m
7.如图，在⊙O中，∠A=30°，劣弧AB的度数是( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
8.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t−5t2，下列说法正确的是( )
A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C. 小球的飞行高度可以达到25m
D. 小球从飞出到落地要用4s
9.二次函数y=2x2+4x+m+1(m为常数)的图象过A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)，D(4,y4)四个点，下列说法一定正确的是( )
A. 若y1y2>0，则y3y4>0B. 若y1y4>0，则y2y3>0
C. 若y3y40D. 若y2y30
10.在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形(△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG)和矩形EFGH拼成大矩形ABCD.连结CH，设∠CHG=α，∠CDG=β.若BC=2AB，tanβ=tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为( )
A. 1334B. 717C. 1534D. 817
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为______．
12.有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为______．
13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径为2.5米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______米.
14.在Rt△ABC中，∠C=90°.若tanA=34，则sinB的值是______．
15.如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(2,0)和点B(−1,−3).作射线BA，P是线段上的动点，将射线BA绕点P逆时针旋转90°得射线B′A′.若射线B′A与抛物线y=ax2+bx只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为______．
16.如图，△ABC内接于⊙O，高AD，CE相交于点F，若AF=AO，CF=5，BC= 39，则⊙O的半径为______，AB的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2sin60°+cs230°−tan60°+tan45°．
18.(本小题6分)
在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率．
(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球颜色不相同的概率(要求画树状图或列表)．
19.(本小题6分)
如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC(顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形)，请按下列要求完成作图(要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论)．

(1)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1(点B1与点B是对应点).(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB找一点P，使APPB=34．
20.(本小题8分)
如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA(可绕O点转动)和活动杆DFE(D,E,F均为可转动支点)组成.该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°.现测得OD=OE=60cm，AD=BE=40cm，DF=EF=15cm．

(1)求支架底端A，B张开的最大距离．
(2)工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定(如图3)，请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．
(参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25)
21.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
22.(本小题10分)
【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为30cm的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒.怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为y cm3．
任务1请你写出y关于x的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积y随x的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内y随x的增大而增大，在一定范围内y随x的增大而减小．
任务3利用函数图象回答：当x为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
23.(本小题10分)
已知二次函数y=x2−2tx+t2−t．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标(用含t的代数式表示)．
(2)点P(m,n)在该二次函数图象上，其中t−2≤m≤t+1．
①当t=2时，求n的取值范围．
②请探究n的最大值与最小值之差是否会随着t的变化而变化.若不变，请求出这个差；若变化，请用含t的代数式表示这个差．
24.(本小题12分)
如图1，以Rt△ABC的直角边AB为直径画⊙O，过A作斜边AC的垂线交⊙O于点D，连结CD，交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．

(1)求证：∠ACD=∠EBC．
(2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形时．
①求∠BCD的正切值；
②求CEBE的值．
(3)若AB=1，设CD=x，CEEF=y，求y关于x的函数表达式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2中，a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故选：A．
根据a>0，得出抛物线开口向上，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次项系数大于0，抛物线开口向上是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵AB是半径为6的圆的一条弦，
∴0−1−(−4)>1−(−1)>−1−(−2)，
∴y4>y1>y3>y2，
若y4>0>y1>y3>y2，则y1y2>0，y3y4y1>y3>0>y2，则y1y4>0，y2y3y1>0>y3>y2，则y3y40>y3，
∴y1y4>0，选项D正确．
故选：D．
通过解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而判断出y1>y4>y2>y3，然后分别判断四个选项求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BC=2AB，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AD=2CD，
设CG=x，HG=y，
∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，
∴∠AHD=∠DGC=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠ADH+∠CDG=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∴△ADH∽△DCG，
∴DHCG=AHDG=ADCD=2，
∴DH=2x，
∴DG=2x+y，AH=4x+2y，EH=3x+2y，
∵∠CHG=α，∠CDG=β，tanβ=tan2α，
∴x2x+y=x2y2，即2x2+xy=y2，
∴y2−xy−2x=0，
∴(y−2x)(y+x)=0，
∵y+x≠0，
∴y=2x，
∴DG=4x，DC= 17x，EH=3x+2y=7x，
∴AD=2 17x，
∴S矩形EFGHS矩形ABCD=7x×2x 17x×2 17x=717，
故选：B．
设CG=x，HG=y，证△ADH∽△DCG，用含x、y的式子表示DG、AH、EH，再根据tanβ=tan2α，推出x与的关系，最后利用勾股定理求出DC、EH和AD的长，代入矩形面积计算即可．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】1：4
【解析】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
12.【答案】14
【解析】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两位老师同坐2号车的结果数为1，
所以两位老师同坐2号车的概率=14．
故答案为：14．
画树状图展示所以4种等可能的结果，再找出两位老师同坐2号车的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
13.【答案】1
【解析】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，AD=BD=12AB=2米，
在Rt△OAD中，OA=2.5米，AD=2米，
∴OD= OA2−AD2= (2.5)2−22=1.5(米)，
∴CD=OC−OD=2.5−1.5=1(米)，
即点C到弦AB所在直线的距离是1米，
故答案为：1．
连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=2米，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC−OD即可求解．
本题考查的是垂径定理的应用，涉及到圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
14.【答案】45
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34，
∴设BC=3x，则AC=4x，AB= AC2+BC2=5x．
∴sinB=ACAB=45．
故答案为：45．
根据tanA=34设出两直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，运用三角函数的定义解答．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．
15.【答案】−1≤x