2023-2024学年湖北省随州市曾都区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省随州市曾都区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一个三角形的两边长分别为3，4，则它的第三边长可能为( )
A. 1B. 2C. 7D. 8
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. (2a)3=8a3D. a6÷a2=a3
3.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )
A. 注意安全B. 水深危险
C. 必须戴安全帽D. 注意通风
4.下列多项式中，与−x+y相乘的结果为x2−y2的多项式是( )
A. x+yB. x−yC. −x+yD. −x−y
5.化简m−1m2÷m−1m的结果是( )
A. mB. 1mC. m−1D. 1m−1
6.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是( )
A. 七B. 八C. 九D. 十
7.已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作其最长边上的高，下列图形满足要求的是( )
A. B.
C. D.
8.在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：(x−3y)⋅(−6x)=x⋅(−6x)□(−3y)⋅(−6x)，你认为“□”内应填的符号为( )
A. +B. −C. ⋅D. ÷
9.如图，AC⊥BD于P，AP=CP，添加下列一个条件，能利用“HL”判定△ABP≌△CDP的条件是( )
A. AB/​/CD
B. ∠B与∠C互余
C. BP=DP
D. AB=CD
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE与CD交于点M，AE与BF交于点N，连接CN.下列说法正确的有( )
①∠BCD=2∠CAE；
②∠CME=∠CEM；
③CN=CE；
④若AC：AB=2：3，则S△ACE：S△ABE=2：3．
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为 ．
12.若m，n为常数，多项式x2+mx+n可因式分解为(x−1)(x+2)，则(m+n)2023的值为______．
13.式子2xx−1+(x+2)0有意义的条件是______．
14.“三等分角”是古希腊三大几何问题之一.如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠AOB= ______°.
15.用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的腰长为______cm．
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAD=110°，∠C=70°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为______度.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
按要求解下列各题：
(1)计算：3y⋅(−2xy)−6x2y2÷(−3x)；
(2)因式分解：x−4xy+4xy2；
(3)先化简，再求值：(2x−1)(2x+1)−x(4x−3)，其中x=−13．
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)；
(2)若CD=3，∠A=30°，求AC的长．
19.(本小题7分)
生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板(△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°；△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°)拼接图形．
(1)如图1，点D在BC上，求∠CDE的度数；
(2)如图2，点B与点D重合，AC交BF于点M，若∠AMB=75°，判断并证明BC与EF的位置关系．
20.(本小题8分)
已知在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE，连接AD，AE．
(1)如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
(2)如图2，当∠DAE=∠C=45°时，过点B作BF⊥AB交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有顶角等于45°的等腰三角形．
21.(本小题8分)
观察以下等式：
第1个等式：21−11=11，
第2个等式：23−12=16，
第3个等式：25−13=115，
第4个等式：27−14=128，
第5个等式：29−15=145，
…
(1)按照以上规律，接着再写两个等式；
(2)写出你猜想到的第n个等式(用含n的等式表示)；
(3)运用有关知识，推理证明(2)中的猜想是正确的．
22.(本小题10分)
甲、乙两人加工同一种零件，乙每天加工的数量比甲每天加工数量多50%，两人各加工600个这种零件，甲比乙多用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)现有3000个这种零件的加工任务，由甲单独加工m天后剩余任务由乙单独完成，试用含m的代数式表示乙单独完成剩余任务的天数(结果要求化简)；
(3)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是120元和150元，在(2)的情况下，如果总加工费不超过7800元，那么甲最多加工多少天？
23.(本小题10分)
有两类正方形A，B，其边长分别为a，b(a>b)，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16．
(1)用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为______，乙图中阴影部分的面积为______；
(2)求正方形A，B的面积之和；
(3)三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
24.(本小题12分)
在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等边△ABP和等边△ACQ，连接PC，BQ交于点O．
(1)如图1，易证△APC≌△ABQ，其依据是______，从而得出结论：PC ______BQ与∠PBQ ______∠PBA+∠APC(用“=”、“>”或“<”填空)；
(2)如图2，若AC=BC，请探究线段PC与BQ的数量关系及直线PB与BQ的位置关系，并给出证明；
(3)在(2)的条件下，若PC交于AB于点D，QE⊥PC于点E(如图2)，试探究DE，PD，CE之间存在的等量关系，并给予证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵三角形的两边为3和4，
∴第三边的取值范围是：1在这个范围内的都符合要求．
故选：B．
根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；
故选：C．
根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据积的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
本题考查了同底数幂的除法，根据法则计算是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：
选项A、B、C中的图形是轴对称图形，
选项D不是轴对称图形．
故选：D．
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
4.【答案】D
【解析】解：(−x+y)(−x−y)=x2−y2．
故选：D．
利用平方差公式的特征判断即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：m−1m2÷m−1m
=m−1m2⋅mm−1
=1m，
故选：B．
先把除法运算变为乘法运算，然后约分计算即可．
本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键，注意结果应是最简的结果．
6.【答案】A
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，(n−2)×180°=3×360°−180°，
解得n=7，
故选：A．
多边形的内角和为(n−2)×180°，外角和为360°，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°列出方程求解即可．
本题考查了多边形的内角和、外角和，熟记这两个定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、所作的不是原三角形的高，不符合题意；
B、所作的是边长为9的边上的高，不符合题意；
C、所作的是最长边上的高，符合题意；
D、所作的不是原三角形的高，不符合题意；
故选：C．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
8.【答案】A
【解析】解：∵(x−3y)⋅(−6x)=x⋅(−6x)+(−3y)⋅(−6x)，
∴“□”内应填的符号是“+”，
故选：A．
运用单项式城单项式的计算方法进行求解．
此题考查了多项式乘单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识．
9.【答案】D
【解析】解：∵AC⊥BD于P，AP=CP，
利用“HL”判定△ABP≌△CDP，必须添加斜边相等，即AB=CD，
故选：D．
能利用“HL”判定△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们添加加必须斜边相等．
此题考查了直角三角形的判定，熟记“HL”定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵CD是高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ACD+∠DAC=90°，∠BCD+∠DBC=90°，
而∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DAC，∠ACD=∠DBC，
∵AE是角平分线，
∴∠CAD=2∠CAE，
∴∠BCD=2∠CAE，所以①正确；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CME=∠CAE+∠ACD，∠CEM=∠BAE+∠DBC，
而∠ACD=∠DBC，
∴∠CME=∠CEM，所以②正确；
∵∠CME>∠CNE，
∴∠CEM>∠CNE，
∴CN>CE，所以③错误；
∵AE是角平分线，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△ACE：S△ABE=AC：AB=2：3，所以④正确．
故选：C．
利用等角的余角相等证明∠BCD=∠DAC，∠ACD=∠DBC，再根据角平分线的定义得到∠CAD=2∠CAE，所以∠BCD=2∠CAE，从而可对①进行判断；根据角平分线的定义得到∠CAE=∠BAE，根据三角形外角性质得到∠CME=∠CAE+∠ACD，∠CEM=∠BAE+∠DBC，所以∠CME=∠CEM，则可对②进行判断；根据三角形外角性质得到∠CME>∠CNE，所以∠CEM>∠CNE，则利用大边对大角得到CN>CE，于是可对③进行判断；根据角平分线的性质得到点E到AB和AC的距离相等，则根据三角形面积公式得到S△ACE：S△ABE=AC：AB，从而可对④进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．
11.【答案】3.4×10−10
【解析】解：0.00000000034=3.4×10−10．
故答案为：3.4×10−10．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】−1
【解析】解：∵(x−1)(x+2)=x2+x−2=x2+mx+n，
∴m=1，n=−2，
∴(m+n)2023=(1−2)2023=(−1)2023=−1．
故答案为：−1．
根据多项式乘多项式的计算方法计算(x−1)(x+2)=x2+x−2即可确定m、n的值，再代入计算即可．
本题考查十字相乘法，掌握多项式乘多项式的计算方法以及十字相乘法是正确解答的关键．
13.【答案】x≠1或−2
【解析】解：由题意得：x−1≠0，x+2≠0，
解得：x≠1或−2，
故答案为：x≠1或−2．
根据分式有意义的条件可得x−1≠0，根据零指数幂的条件可得x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式和零指数幂有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，零指数幂：a0=1(a≠0)．
14.【答案】24
【解析】解：∵OC=CD=DE，
∴∠COD=∠CDO，∠DCE=∠DEC，
∵∠DCE=∠COD+∠CDO，
∴∠DEC=2∠COD，
∴∠BDE=∠DEC+∠COD=3∠COD，∠BDE=72°，
∴∠COD=24°，
即∠AOB=24°，
故答案为：24．
根据等边对等角的性质，得到∠COD=∠CDO，∠DCE=∠DEC，再根据三角形外角的定义，得出∠DEC=2∠COD，进而求得∠COD=24°，即可得到∠AOB的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．
15.【答案】8或10.5
【解析】解：设一边为x cm，则另一边为1.5x cm，
①当长为x cm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为x cm、x cm、1.5x cm，
由题意可列方程：x+x+1.5x=28，
解得x=8，
此时三角形的三边长分别为：8cm、8cm和12cm，满足三角形三边之间的关系，符合题意；
②当长为x cm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：x cm、1.5x cm、1.5x cm，
由题意可列方程：x+1.5x+1.5x=28，
解得：x=7，
此时三角形的三边长分别为：7cm、10.5cm、10.5cm，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；
∴这个三角形的腰长为8cm或10.5cm．
故答案为：8或10.5．
可设一边为x cm，则另一边为1.5x cm，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．
16.【答案】40
【解析】解：延长AB到点E，使EB=AB，延长AD到点F，使FD=AD，连接EM、FN，
∵∠ABC=90°，∠BAD=110°，∠C=70°，
∴∠ADC=360°−90°−110°−70°=90°，
∵BC垂直平分AE，DC垂直平分AF，
∴点A与点E关于直线BC对称，点A与点F关于直线DC对称，
∴AM=EM，AN=FN，
连接EF交BC于点G，交DC于点H，
∵AM+MN+AN=EM+MN+FN，且AM+MN+AN≥EF，
∴当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM+MN+AN=EM+MN+FN=EF，此时△AMN的周长最小，
∵∠GEA=∠GAE，∠HFA=∠HAF，
∴∠AGH=∠GEA+∠GAE=2∠GEA，∠AHG=∠HFA+∠HAF=2∠HFA，
∴∠AGH+∠AHG=2(∠GEA+∠HFA)=2(180°−∠BAD)=2×(180°−110°)=140°，
∴∠MAN=∠GAH=180°−(∠AGH+∠AHG)=180°−140°=40°，
故答案为：40．
延长AB到点E，使EB=AB，延长AD到点F，使FD=AD，连接EM、FN，则AM=EM，AN=FN，连接EF交BC于点G，交DC于点H，当点M与点G重合且点N与点H重合时，△AMN的周长最小，由∠GEA=∠GAE，∠HFA=∠HAF，求得∠AGH=2∠GEA，∠AHG=2∠HFA，进而求得∠AGH+∠AHG=140°，则∠MAN=∠GAH=40°，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、两点之间线段最短、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3y⋅(−2xy)−6x2y2÷(−3x)
=−6xy2+2xy2
=−4xy2；
(2)x−4xy+4xy2
=x(1−4y+4y2)
=x(1−2y)2；
(3)(2x−1)(2x+1)−x(4x−3)
=4x2−1−4x2+3x
=3x−1，
当x=−13时，原式=3×(−13)−1=−1−1=−2．
【解析】(1)先算乘除，后算加减，即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
(3)先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，射线BD即为所求；

(2)∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴BD=2CD=6，
∵∠A=∠ABD=30°，
∴AD=DB=6，
∴AC=CD+AD=3+6=9．
【解析】(1)根据要求作出图形；
(2)证明BD=AD=6，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1)∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=180°−∠BAC−∠B=180°−90°−45°=45°，
∵∠EDF=90°，∠E=60°，
∴∠F=180°−∠EDF−∠E=180°−90°−60°=30°，
∵∠ACB=∠F+∠CDF，
∴∠CDF=∠ACB−∠F=45°−30°=15°，
∵∠CDE=∠EDF−∠CDF=90°−15°=75°；
(2)EF//BC，证明如下：
由(1)可知∠ACB=45°，
∵∠AMB=∠ACB+∠MBC，
∴∠MBC=∠AMB−∠ACB=75°−45°=30°，
由(1)可知∠F=30°，
∴∠MBC=∠F，
∴EF/​/BC．
【解析】(1)先根据已知条件和三角形内角和定理，求出∠ACB，∠F，然后根据外角性质和∠CDF，从而求出∠CDE即可
(2)根据(1)中所求的∠ACB，利用外角性质和已知角求出∠MBC，然后证明∠MBC=∠F，利用平行线的判定定理证明即可．
本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的判定，解题关键是正确识别图形，理解有关角与角之间的数量关系．
20.【答案】证明：(1)∵AB=AC，
∵∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴△ADE为等腰三角形；
(2)∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∵BF⊥AB，
∴BF//AC，
∴∠FBD=∠C=45°，
∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°，∠BDF=∠ADE，
∴∠F=∠BDF，∠BEA=∠BAE，∠CDA=∠CAD，
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．
【解析】(1)根据SAS可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可求解；
(2)根据等腰三角形的判定即可求解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握它们的性质与定理．
21.【答案】解：(1)∵第1个等式：21−11=11，
第2个等式：23−12=16，
第3个等式：25−13=115，
第4个等式：27−14=128，
第5个等式：29−15=145，
∴第6个等式为：211−16=166，
第7个等式为：213−17=191(答案不唯一)；
(2)∵第1个等式：21−11=22×1−1−11=11=1[(2×1−1)]×1，
第2个等式：23−12=22×2−1−12=16=1[(2×2−1)]×2，
第3个等式：25−13=22×3−1−13=115=1[(2×3−1)]×3，
…
∴第n个等式为：22n−1−1n=1(2n−1)n；
(3)证明：∵22n−1−1n
=2n(2n−1)n−2n−1(2n−1)n
=1(2n−1)n．
【解析】(1)类比前5个式子写出另外两个类似的式子；
(2)根据题目所给的等式归纳出第n个等式；
(3)运用分式知识进行推导、证明．
此题考查了算式规律问题的解决能力，关键是能准确根据题目所给算式进行猜想、归纳和证明．
22.【答案】解：(1)设甲每天加工x个这种零件，则乙每天加工(1+50%)x个这种零件，
根据题意得：600x−600(1+50%)x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=(1+50%)×40=60(个)．
答：甲每天加工40个这种零件，乙每天加工60个这种零件；
(2)根据题意得：乙单独完成剩余任务的天数为3000−40m60=(50−23m)天；
(3)根据题意得：120m+150(50−23m)≤7800，
解得：m≤15，
∴m的最大值为15．
答：甲最多加工15天．
【解析】(1)设甲每天加工x个这种零件，则乙每天加工(1+50%)x个这种零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“两人各加工600个这种零件，甲比乙多用5天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲每天加工这种零件的数量，再将其代入(1+50%)x中，即可求出乙每天加工这种零件的数量；
(2)利用乙单独完成剩余任务的天数=(3000−甲每天加工这种零件的数量×甲单独加工这种零件的时间)÷乙每天加工这种零件的数量，即可用含m的代数式表示出乙单独完成剩余任务的天数；
(3)利用总加工费=甲每天的加工费×甲工作的时间+乙每天的加工费×乙工作的时间，结合总加工费不超过7800元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出乙单独完成剩余任务的天数；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(a−b)2 2ab
【解析】解：(1)图甲阴影部分面积为：(a−b)2；
图乙阴影部分面积为：(a+b)2−(a2+b2)=a2+2ab+b2−a2−b2=2ab．
故答案为：(a−b)2；2ab．
(2)根据题意，得：(a−b)2=1，2ab=12，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=1+12=13，
∴正方形A，B的面积之和为13．
故答案为：13．
(3)由(2)知：(a−b)2=1，2ab=12，a>b，
∴ab=6，a−b=1，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=1+24=25，
∵a+b>0，
∴a+b=5，
∴图丙阴影部分面积为：(2a+b)2−3a2−2b2=a2−b2+4ab=(a+b)(a−b)+4ab=5×1+4×6=29．
(1)利用正方形面积公式即可得出答案；
(2)根据题意，建立方程并利用乘法公式即可解决问题；
(3)由面积和差公式可求解．
本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】SAS = =
【解析】解：(1)∵△ABP和△ACQ是等边三角形，
∴AB=AP，AQ=AC，∠PAB=∠QAC=60°，
∴∠PAB+∠BAC=∠QAC+∠BAC，
即∠PAC=∠BAQ，
在△PAC和△BAQ中，
AP=AB∠PAC=∠BAQAC=AQ，
∴△APC≌△ABQ(SAS)，
∴PC=BQ，∠APC=∠ABQ，
∵∠PBQ=∠PBA+∠ABQ，
∴∠PBQ=∠PBA+∠APC，
故答案为：SAS，=，=；
(2)PC=BQ，PB⊥BQ，证明如下：
同(1)得：△APC≌△ABQ(SAS)，
∴PC=BQ，∠APC=∠ABQ，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠APB=∠ABP=60°，PA=PB，
在△APC和△BPC中，
PA=PBAC=BCPC=PC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠APC=∠BPC=12∠APB=30°，
∴∠ABQ=30°，
∴∠PBQ=∠ABP+∠ABQ=60°+30°=90°，
∴PB⊥BQ；
(3)DE=PD+CE，证明如下：
由(2)可知，PC=BQ，∠PBQ=90°，∠ABQ=30°，PC⊥AB，
∴∠BDO=90°，
∴OD=12OB，
∵QE⊥PC，
∴∠QEO=90°，
∵∠QOE=∠POB，
∴∠OQE=∠BPC=30°，
∴OE=12OQ，
∴OD+OE=12OB+12OQ=12(OB+OQ)=12BQ=12PC，
即DE=12PC，
∴PD+CE=12PC，
∴DE=PD+CE．
(1)证△APC≌△ABQ(SAS)，得PC=BQ，∠APC=∠ABQ，再由∠PBQ=∠PBA+∠ABQ，即可得出结论；
(2)同(1)得△APC≌△ABQ(SAS)，则PC=BQ，∠APC=∠ABQ，再证△APC≌△BPC(SSS)，得∠APC=∠BPC=30°，则∠ABQ=30°，然后证∠PBQ=∠ABP+∠ABQ=90°，得PB⊥BQ即可；
(3)由(2)可知，PC=BQ，∠PBQ=90°，∠ABQ=30°，PC⊥AB，再由含30°角的直角三角形的性质得OD=12OB，OE=12OQ，然后证OD+OE=12BQ=12PC，即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．