2024安徽省六校教育研究会高三下学期第二次素养测试（2月）数学含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）由得．
由正弦定理得，
得，
得．
因为，所以，
即，
又，所以．
（2）由余弦定理，，
可得，
又
则
16．（15分）
解：（1）取棱上一点，使得，连接，
，且，
，且，
，且
又平面平面
平面
（2）取中点，连接，作，垂足为，
菱形中，，
为等边三角形，
是二面角的平面角，即，且平面
，即
又
又平面
又
平面
平面
分别以为为轴的正方向，建立空间直角坐标系
则点，
所以，
设平面，记与平面所成角大小为，
由，取
，
综上，与平面所成角的正弦值为．
17．（15分）
证明：（1）令
则在单调递增，所以即；
令
则在单调递增，所以即
所以，所以
综上，；
（2）结合第（1）问，对任意的恒成立，
令，则，
即
．
所以．
18．（17分）
解：（1）依据表中数据，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．
（2）设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”，
则两两互灰，．
根据题意得，
．
（ⅰ）由，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．
（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，
则，由全概率公式，得
故①
同理②
③
④
由①②，，
由④，，
代入②，得：，即，
故是首项为，公比为的等比数列，
即，
所以
于是，当时
综上所述：
19．（17分）
解：（1）由题意可得，且为的中点，
又为的中点，
所以，且．
因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线．
故曲线的方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，
解得，且
，①
由，得直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
所以的中点为定点．1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
A
A
D
A
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